Môn Đại số
Câu 1. Cho số nguyên dương m >1và số phức cvới |c|= 1. Chứng minh rằng phương trình ³1 +ix 1−ix ´m =c có các nghiệm đều thực.
Câu 2. Cho hai ma trận A, B vuông cấp n thoả mãn các điều kiện
AB =BA, A1999 =On, B2000 =On.
Chứng minh rằngA+B+In khả nghịch, với In là ma trận đơn vị.
Câu 3. Ma trậnA= (aij)vuông cấp n được gọi là ma trận phản đối xứng nếu aij +aji = 0, ∀i, j (1 6 i, j 6 n). Chứng minh rằng tích của hai ma trận phản đối xứng A, B là một ma trận phản đối xứng khi và chỉ khi AB =−BA.
Câu 4. Cho ma trậnA vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo chính bằng 0, các phần tử còn lại bằng 1 hoặc 2000. Chứng minh rằng
rank(A) bằng n hoặc n−1.
Câu 5. Cho a, b∈R. Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn
Môn Giải tích
Câu 1. Tìm tất cả các hàm số f(x) khả vi liên tục trên Rsao cho
f(x+y) = f(x) +f(y) + 2xy, ∀x, y ∈R.
Câu 2. Cho hàm số g(x) liên tục trên [0,1], khả vi trong(0,1)và g(0) =g(1) = 0.
Chứng minh rằng∃c∈(0,1) sao cho g0(c) = g(c).
Câu 3. Cho a∈(0,1)và hàm số f(x) liên tục trên[0,1]
với f(0) =f(1) = 0.
Chứng minh rằng∃b ∈[0,1]
sao cho f(b) =f(b−a) hoặc f(b) =f(b+a−1).
Câu 4. Cho trước a ∈R.
Xét dãy số thực {xn}được xác định như sau
x1 =b, xn+1 =x2n+ (1−2a)xn+a2, n >1.
Xác địnhb để dãy{xn}hội tụ và tìm lim
n→∞xn khi đó.
Câu 5. Cho hàm số f(x) liên tục trên[1,2]và thoả mãn điều kiện
Z β α [f(x)]2dx6 β 3−α3 3 , ∀α, β ∈[1,2], α6β. Chứng minh rằng Z 2 1 f(x)dx6 3 2.