Trong chương này, chúng tôi bắt đầu với bài toán quen thuộc xoay quanh kiến thức về phương tích và một số vấn đề liên quan.
4.1 Mô hình cơ bản
Cho đường tròn tâm (O). Cho điểm M nằm ngoài (O), vẽ các tiếp tuyến M A, M B và cát tuyến M CD tới (O), với M C < M D và d không đi qua tâm O. I là trung điểm của CD. AB cắt M O tại H..
4.2 Khai thác mô hình
Câu 4.2.1 Chứng minh rằng: M A2 =M C.M D.
Câu 4.2.2 Chứng minh rằng OH.OM+M C.M D=M O2
Câu 4.2.3 Chứng minh rằng năm điểm M, A, I, O, B thuộc một đường tròn.
Câu 4.2.4 Gọi H1 là trực tâm ∆M AB. Chứng minh rằng độ dài của H1A không phụ thuộc vào vị trí của điểmM.
Câu 4.2.5 IM là tia phân giác của AIB.[
Câu 4.2.6 Chứng minh rằng: Tứ giác CHOD nội tiếp một đường tròn.
Câu 4.2.7 HA là tia phân giác của CHD.\
Câu 4.2.8 BI cắt (O) tại Y0. Chứng minh rằng: AY0//M D.
Câu 4.2.9 (Trích đề thi vào 10 Hà Nội, 2013-2014) Kẻ đường thẳng d//M O cắt đường kính AA0 tại Y. Chứng minh rằng: IY //A0C.
Câu 4.2.11 Gọi J giao điểm của M O với (O). Chứng minh rằng J là tâm đường tròn nội tiếp∆M AB.
Câu 4.2.12 Gọi N là giao điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: Tứ giác OHN I nội tiếp một đường tròn.
Câu 4.2.13 Chứng minh rằng: M A2 =M N.M I.
Câu 4.2.14 Tiếp tuyến tại CvàDcủa (O)cắt nhau tạiK. TừK kẻ đường thẳng vuông góc với M O cắt (O) tại A và B. Chứng minh M A và M B là tiếp tuyến của (O).
Câu 4.2.15 Tiếp tuyến tạiC và Dcủa (O)cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: A, B, K
thẳng hàng.
Câu 4.2.16 M, C, D cố định. Đường tròn (O) nhưng luôn qua C và D. Chứng minh
A, B luôn chuyển động trên đường tròn cố định.
Câu 4.2.17 Đường thẳng đi quaC và vuông góc vớiOA cắtAB, AD lần lượt tạiA1 và