Định lí Ostrogradsky Gauss cho điện trƣờng- 123docz.net

Định nghĩa: Điện trƣờng là một dạng tồn tại vật chất trong không gian bao quanh các điện tích mà biểu hiện cụ thể của nó là tác dụng lựcnên các điện tích đặt trong nó. Lực này đƣợc gọi là lực điện và đƣợc xác định bằng định luật Cu- lông

Ta xét hai điện tích điểm q và qo, theo định luật Cu-lông lực điện tƣơng tác giữa hai điện tích điểm này là:

2 1 4 o qq F r   (2.2)

Vậy cƣờng độ điện trƣờng E gây bởi điện tích q ở một điểm cách nó một khoảng r là : 2 1 4 q E r   (2.3)

Vì lực F là một đại lƣợng vector nên cƣờng độ điện trƣờng là một đại lƣợng vector, nên ta có thể biểu diễn lại cƣờng độ điện trƣờng nhƣ sau:

3 2 1 1 4 4 o q q E r r r r     (2.4)

Trong đó r là bán kính vector hƣớng từ điện tích q đến điểm ta xét, rolà vector đơn vị theo phƣơng r

Biểu thức (2.4) là biểu thức xác định cƣờng độ điện trƣờng E ở mọi điểm trong không gian và qua đây thì ta cũng xác định đƣợc lực F tác dụng lên một điện tích qođặt trong điện trƣờng thông qua: F  q Eo (2.5)

Biểu thức (2.5) là cách biểu diễn khác của định luật Cu-lông và nó có ý nghĩ tổng quát hơn công thức (2.2). Biểu thức (2.5) phù hợp với nguyên lí tác dụng gần nó đúng trong mọi trƣờng hợp và không phụ thuộc vào nguyên nhân gây ra điện trƣờng.

Từ (2.4) ta suy ra đƣợc biểu thức vector cảm ứng điện:

1 4 2 o q D E r r     (2.6)

Đơn vị của cảm ứng điện qua biểu thức là Cu-lông trên mét vuông (C/m2 ) Một điện tích q gây ra xung quanh nó một điện trƣờng. Trong điện trƣờng này ta xét một diện tích dS đủ nhỏ để có thể coi nó là một mặt phẳng và cƣờng độ điện trƣờng E trong nó coi nhƣ đều.

Vẽ vector pháp tuyến n cho dS, ta có d S ndS (2.7) Với d S là vector đặc trƣng cho nguyên tố diện tích dS.

Điện thông (hay thông lƣợng điện trƣờng) qua nguyên tố diện tíchd S là:

cos

e n

d  E dS  EdS   Ed S (2.8)

là góc hợp bởi E và d S, En là hình chiếu của E lên phƣơng pháp tuyến n của d S

Muốn xác định điện thông  qua một mặt S hữu hạn ta phải chia nhỏ mặt đó ra thành những nguyên tố diện tích dS và tính điện thông qua mỗi yếu tố diện tích dS theo (2.8 ). Nhƣ vậy điện thông qua mặt S lúc này đƣợc tính nhƣ sau: e n S S E dS Ed S      (2.9) Hình 2.5

Định lí Ostrogradsky –gauss cho điện trƣờng

Việc tính toán điện trƣờng sẽ đơn giản hơn rất nhiều nếu ta sử dụng định lí Ostrogradsky –gauss. Để đƣa ra định lí tổng quát ta xét trƣờng hợp một điện tích q dƣơng, bao quanh nó là một mặt cầu S có bán kính r và có tâm là điểm đặt điện tích q. Quy ƣớc chiều dƣơng của pháp tuyến với mặt cầu là chiều hƣớng từ tâm ra ngoài. Trên mặt cầu cƣờng độ điện trƣờng E có giá trị nhƣ nhau tại mọi điểm, góc giữa đƣờng sức với pháp tuyến dƣơng của mặt cầu S luôn bằng 0 và cos

Hình 2.2

Ðiện thông không phụ thuộc vào bán kính mặt cầu và có giá trị bằng nhau đối với các mặt cầu đồng tâm với S ví dụ S1. Ðiều đó cho thấy là ở khoảng không gian giữa hai mặt cầu S và S1 nơi không có các điện tích các đƣờng sức là liên tục và đƣợc bảo toàn (tức là không thêm ra hoặc mất đi). Cũng chính vì thế, nên điện thông qua mặt kín S2bất kì bao quanh điện tích q cũng bằng điện

Điện thông qua mặt cầu S là:

(2.10) Vì q là điện tích điểm nên ta có:

(2.11)

Mà nên ta thu đƣợc kết quả cuối cùng là:

thông qua S và S1và không phụ thuộc vào hình dạng của mặt S2cũng nhƣ vị trí của q bên trong nó.

Nếu có mặt kín S3 không bao quanh q thì do tính chất liên tục của các đƣờng sứccó bao nhiêu đƣờng sức đi vào mặt S3 có bấy nhiêu đƣờng sức đi ra khỏi mặt S3. Ðiện thông do các đƣờng sức đi vào S3 gây ra mang giá trị âm vì góc giữa vector cƣờng độ điện trƣờng và pháp tuyến (hƣớng từ trong ra ngoài mặt) là góc tù, còn điện thông do các đƣờng sức đi ra khỏi S3 gây ra mang giá trị dƣơng. Chúng có giá trị tuyệt đối bằng nhau. Do đó, điện thông toàn phần qua mặt kín S3không bao quanh điện tích q có giá trị bằng không.

Từ kết quả trên, ta thấy điện thông qua mặt kín không phụ thuộc vào vị trí của điện tích ở bên trong nó. Áp dụng nguyên lí chồng chất điện trƣờng, ta thấy kết quả (2.12) cũng đúng cho cả trƣờng hợp bên trong mặt kín có nhiều điện tích phân bố bất kì, chỉ cần chú ý rằng q là tổng đại số các điện tích có mặt bên trong mặt kín.

Các kết luận trên đƣợc biểu thị qua định lí Ostrogradsky – Gauss: Điện thông qua một mặt kín có giá trị bằng tổng đại số các điện tích có bên trong mặt đó chia cho 1 i i S Ed S q q      (2.13)

Chú ý rằng để đƣa đến định lí trên, chúng ta đã xuất phát từ định luật Coulomb. Nếu trong công thức của định luật Coulomb, số mũ của khoảng cách r không phải là 2 mà là một giá trị khác, thì ta sẽ không đi đến kết quả trên. Vì thế ta nói rằng định lí Ostrogradski - Gauss là hệ quả của định luật Coulomb.

Trong các trƣờng hợp khác nhau đặc biệt là khi nghiên cứu trong trƣờng điện môi ngƣời ta dùng khái niệm về vector điện dịch hay vector cảm ứng điện

D. Mặt khác theo (2.6) ta có:

Ta cũng đƣa ra đƣợc cách biểu diễn điện trƣờng bằng các đƣờng điện dịch hay các đƣờng cảm ứng từ. Đây là những đƣờng mà tiếp tuyến ở mỗi điểm trùng với vector cảm ứng điện ở điểm đó và có chiều trùng với vectorD. Thông lƣợng điện dịch  qua một mặt đƣợc tính bằng số đƣờng dịch qua mặt đó:

D n

S S

Dd S D dS

     (2.14)

Với khái niệm điện dịch công thức của định lí Ostrogradski – Gauss có dạng : ( ) ( ) D i i S S Dd S Ed S q q         (2.15)

Ðịnh lí Ostrogradski - Gauss phát biểu: Thông lƣợng điện dịch qua một mặt kín có giá trị bằng tổng đại số các điện tích có mặt bên trong mặt đó.

Nếu ta có một hệ điện tích phân bố liên tục trong không gian ta có thể chia nó thành những nguyên tố điện tích vô cùng nhỏ dqdVvà coi mỗi nguyên

tố điện tích đó giốngnhƣ một điện tích điểm.

Mặt khác ta lại có q dqdV thay vào biểu thức (2.15) ta đƣợc:

( )S V

Dd S  dV

  (2.16)

Trong đó V là thể tích do mặt S bao bọc.

Dựa vào biểu thức Ostrogradski – Gauss trong toán học (biểu thức (2.1)) ta suy ra đƣợc: (S) V Dd S  divDdV   (2.17) Đồng nhất hai biểu thức (2.16) và (2.17) ta có: V V divDdV  dV  

Vì mặt kín S và thể tích V do nó bao bọc là bất kì nên các lƣợng trong dấu tích phân là bằng nhau:

divD (2.18)

Biểu thức (2.18) là biểu thức dạng vi phân của định lí Ostrogradski – Gauss cho điện trƣờng và cũng là một trong những phƣơng trình Macxuen.

*Ý nghĩađịnh lí Ostrogradski – Gauss:

Định lí Ostrogradski – Gauss dùng để tính toán điện thông, thông lƣợng điện trƣờng hay cƣờng độ điện trƣờng sẽ đơn giản hơn rất nhiều khi ta sử dụng định luật Cu-lông và nguyên lí chồng chất điện trƣờng.