Vụựi maựy tớnh ủieọn tửỷ, xuaỏt hieọn moọt dáng ủề thi hóc sinh gioỷi toaựn mụựi: keỏt hụùp hửừu cụ giửừa suy luaọn toaựn hóc vụựi tớnh toaựn trẽn maựy tớnh ủieọn tửỷ. Coự nhửừng baứi toaựn khoự khõng nhửừng chổ ủoứi hoỷi phaỷi naộm vửừng caực kieỏn thửực toaựn (lớ thuyeỏt ủồng dử, chia heỏt, …) vaứ saựng táo (caựch giaỷi ủoọc ủaựo, suy luaọn ủaởc bieọt, …), maứ trong quaự trỡnh giaỷi coứn phaỷi xeựt vaứ loái trửứ nhiều trửụứng hụùp. Neỏu khõng duứng maựy tớnh thỡ thụứi gian laứm baứi seừ raỏt lãu. Nhử vaọy maựy tớnh ủieọn tửỷ ủaồy nhanh toỏc ủoọ laứm baứi, do ủoự caực dáng toaựn naứy raỏt thớch hụùp trong caực kyứ thi hóc sinh gioỷi toaựn keỏt hụùp vụựi maựy tớnh ủieọn tửỷ. (Trớch lụứi daĩn cuỷa Tá Duy Phửụùng - Vieọn toaựn hóc).
Moọt soỏ vớ dú minh hóa Vớ dú 1: (Thi khu vửùc, 2003, lụựp 9)
Tỡm taỏt caỷ caực soỏ tửù nhiẽn n (1010n2010) sao cho an 20203 21n cuừng laứ soỏ tửù nhiẽn. -- Giaỷi --
Vỡ 1010 n 2010 nẽn 203,5 41413 an 62413 249,82.
Vỡ an nguyẽn nẽn 204 n 249. Ta coự an2 = 20203 + 21n = 21.962 + 1 + 21n. Suy ra: an2 – 1 = 21(962+n), hay (an - 1)(an + 1) = 3.7.(962+n).
Do ủoự, a 12n a 1 a 1n n chia heỏt cho 7.
Chửựng toỷ (an - 1) hoaởc (an + 1) chia heỏt cho 7. Vaọy an = 7k + 1 hoaởc an = 7k – 1.
* Neỏu an = 7k – 1 thi do 204 n =7k-1 249 => 29,42 k 35,7. Do k nguyẽn nẽn
k 30;31;32;33;34;35 . Vỡ a 1 7k(7k 2)2n chia heỏt cho 21 nẽn k chổ laứ: 30; 32; 33; 35. Ta coự:
k 30 32 33 35
n 1118 1406 1557 1873 an 209 223 230 244
* Neỏu an = 7k + 1 thi do 204 n =7k-1 249 => 29,14 k 35,57. Do k nguyẽn nẽn
k 30;31;32;33;34;35 . Vỡ a 1 7k(7k 2)2n chia heỏt cho 21 nẽn k chổ laứ: 30; 31; 33; 34. Ta coự:
Nhử vaọy ta coự taỏt caỷ 8 ủaựp soỏ.
Vớ dú 2: Tớnh A = 999 999 9993
k 30 32 33 35
n 1118 1406 1557 1873
-- Giaỷi --
Ta coự: 93=729; 993= 970299; 9993=997002999; 99993= 99992.9999=99992(1000-1)= 999700029999. Tửứ ủoự ta coự quy luaọt:
3
n 1 chửừsoỏ n 1 chửừ soỏ nchửừ soỏ 9 n chửừ soỏ 9 99...9 99...9 7 00...0 299...9 Vaọy 999 999 9993 = 999 999 997 000 000 002 999 999 999.
Baứi taọp toồng hụùp
Baứi 1: (Thi khu vửùc, 2002, lụựp 9, dửù bũ)
a. Tỡm soỏ tửù nhiẽn n nhoỷ nhaỏt sao cho n3 laứ moọt soỏ coự ba chửừ soỏ ủầu vaứ boỏn chửừ soỏ cuoỏi ủều baống 1, tửực laứ n3 = 111...1111.
b. Tỡm soỏ tửù nhiẽn n sao cho (1000 n 2000) sao cho an 57121 35n laứ soỏ tửù nhiẽn.
c. Tỡm taỏt caỷ caực soỏ tửù nhiẽn n sao cho n2 = 2525******89, caực daỏu * ụỷ vũ trớ khaực nhau coự theồ laứ caực soỏ khaực nhau.
d. Tỡm taỏt caỷ caực soỏ n coự ba chửừ soỏ sao cho n69 = 1986..., n121 = 3333...
Baứi 2: (Thi khu vửùc 2003, lụựp 9, dửù bũ)
a. Tỡm caực chửừ soỏ a, b, c ủeồ ta coự: a5 bcd 7850
b. Tỡm caực soỏ coự khõng quaự 10 chửừ soỏ maứ khi ta ủửa chửừ soỏ cuoỏi cuứng lẽn vũ trớ ủầu tiẽn thỡ soỏ ủoự taờng lẽn gaỏp 5 lần.
c. Haừy tỡm 5 chửừ soỏ cuoỏi cuứng cuỷa soỏ 22241 (Soỏ Fecma thửự 24)
d. Giaỷi phửụng trỡnh x2 – 2003 x + 2002 = 0 vụựi x laứ phần nguyẽn cuỷa x.
Baứi 3: (Thi khu vửùc 2003, lụựp 12) Tỡm soỏ dử khi chia 20012010 cho soỏ 2003.
Baứi 4: (Thi khu vửùc 2001, lụựp 10)
a. Tỡm caực ửụực soỏ nguyẽn toỏ nhoỷ nhaỏt vaứ lụựn nhaỏt cuỷa soỏ 2152 + 3142.
b. Tỡm soỏ lụựn nhaỏt vaứ nhoỷ nhaỏt trong caực soỏ tửù nhiẽn dáng 1x2y3z4 chia heỏt cho 7.
Baứi 5: (Sụỷ GD Cần Thụ 2003) Soỏ 312 – 1 chia heỏt cho hai soỏ tửù nhiẽn naốm trong khoaỷng 70 ủeỏn 79. Tỡm hai soỏ ủoự?
Baứi 6: (Thi khu vửùc 2002, lụựp 12) Tỡm UCLN cuỷa hai soỏ sau: a = 24614205; b = 10719433.
Baứi 7: Kieồm nghieọm trẽn maựy tớnh caực soỏ dáng 10n + 1 laứ hụùp soỏ vụựi n = 3, …, 10. Chửựng minh
raống, soỏ dáng 10n + 1 coự theồ laứ soỏ nguyẽn toỏ chổ khi n coự dáng n = 2p. (Giaỷ thieỏt: 10n + 1 laứ soỏ nguyẽn toỏ khi vaứ chổ khi n = 1 hoaởc n = 2).
Baứi 8: Tỡm taỏt caỷ caực caởp soỏ ab vaứ cdsao cho khi ủoồi ngửụùc hai soỏ ủoự thỡ tớch khõng ủoồi, tửực laứ:
ab cd ba dc (Vớ dú: 12.42 = 21.24 = 504)
Baứi 9: Tỡm phãn soỏ
m
n xaỏp xổ toỏt nhaỏt m
2 ( m,n 2
n
laứ nhoỷ nhaỏt), trong ủoự m, n laứ soỏ coự hai chửừ soỏ.
Baứi 10: (Trửụứng THCS ẹồng Nai – Caựt Tiẽn, 2005) Cho soỏ tửù nhiẽn n (5050 n 8040) sao cho an = 80788 7n cuừng laứ soỏ tửù nhiẽn.
a. an phaỷi naốm trong khoaỷng naứo?
b. Chửựng minh raống an chổ coự theồ laứ moọt trong caực dáng sau: an = 7k + 1 hoaởc an = 7k – 1 (vụựi k
N)
Baứi 11: (Sụỷ GD Lãm ẹồng, 2005) Cho k = a1 + a2 + a3 + … + a100 vaứ k 2 2
2k 1 a (k k) . Tớnh k?
Nhaọn xeựt: Dáng baứi naứy thửùc chaỏt laứ baứi thi hóc sinh gioỷi toaựn, noự nãng cao yự nghúa cuỷa múc
tuựi giuựp cho ta daĩn daột tụựi nhửừng giaỷ thuyeỏt, nhửừng quy luaọt toaựn hóc, nhửừng nghiẽn cửựu toaựn hóc nghiẽm tuực.
Trong caực kyứ thi tổnh dáng baứi naứy chieỏm khoaỷng 20% - 40%, caực kyứ thi khu vửùc khoaỷng 40% - 60% soỏ ủieồm baứi thi. Coự theồ noựi dáng toaựn naứy quyeỏt ủũnh caực thớ sinh tham dửù kyứ thi coự ủát ủửụùc giaỷi hay khõng. Nhử vaọy, yẽu cầu ủaởt ra laứ phaỷi gioỷi toaựn trửụực, rồi mụựi gioỷi tớnh.
Hieọn nay, ủa soỏ thớ sinh coự maởt trong ủoọi tuyeồn, cuừng nhử phú huynh nhaọn ủũnh chửa chớnh xaực quan ủieồm về mõn thi naứy, thửụứng ủaựnh giaự thaỏp hụn mõn toaựn (thaọm chớ coi mõn thi naứy laứ moọt mõn hóc khõng chớnh thửực, chổ mang tớnh chaỏt hỡnh thửực “thửỷ cho bieỏt”) nhửng thửùc teỏ hầu heỏt caực thớ sinh ủát giaỷi laứ caực thớ sinh hoaứn thaứnh ủửụùc caực baứi taọp dáng naứy. Trong khi xu hửụựng cuỷa toaựn hóc hieọn ủái laứ keỏt hụùp hửừu cụ giửừa suy luaọn toaựn hóc vaứ maựy tớnh ủieọn tửỷ (vi tớnh), ngay caỷ trong chửụng trỡnh hóc chớnh khoựa, SGK luõn coự baứi taọp về sửỷ dúng maựy tớnh ủieọn tửỷ. IX.
D ngạ 9: TèM NGHIỆM GẦN ẹÚNG CỦA PHệễNG TRèNH
Trong raỏt nhiều trửụứng hụùp ủeồ giaỷi moọt phửụng trỡnh ta chổ coự theồ tỡm nghieọm gần ủuựng cuỷa noự (nghieọm thửụứng laứ nhửừng soỏ thaọp phãn võ hán), caực phửụng trỡnh ửựng dúng trong cuoọc soỏng thửùc teỏ phần lụựn thuoọc dáng phửụng trỡnh naứy, caực phửụng trỡnh coự nghieọm nguyẽn chổ laứ hửừu hán maứ thõi.
Phửụng phaựp laởp: Giaỷ sửỷ phửụng trỡnh ủa thửực f(x) = 0 coự nghieọm trong a,b.
Ta bieỏn ủoồi f(x) thaứnh dáng x = g(x) (1). Laỏy moọt giaự trũ x1 (ủuỷ lụựn) naứo ủoự tuứy yự trong khoaỷng nghieọm a,b. Thay x1 vaứo (1) ta ủửụùc: x2 = g(x1) (2). Thay x2 vaứo (2) ta ủửụùc: x3 = g(x2) (3), …, cửự tieỏp túc nhử vaọy cho ủeỏn bửụực n + 1 maứ sao cho caực giaự trũ liẽn tieỏp … = xn-1 = xn = xn+1 thỡ giaự trũ x ủoự laứ nghieọm gần ủuựng cuỷa phửụng trỡnh f(x) = 0.
Vớ dú 1: Tỡm nghieọm gần ủuựng cuỷa phửụng trỡnh:x16 + x – 8 = 0. -- Giaỷi --
Ta coự: x16 + x – 8 = 0 <=> x = 168 x . Chón x1 = 2.
Qui trỡnh aỏn maựy (fx-500MS vaứ fx-570 MS)
Duứng pheựp laởp: x = 168 x
Ấn caực phớm: 2 16 SHIFT x ( 8 Ans ) ...
Keỏt quaỷ: 1,128022103
Vớ dú 2: Tỡm nghieọm gần ủuựng x x 1
-- Giaỷi --
Ta coự: x = 1 + x. Chón x1 = 2.
Qui trỡnh aỏn maựy (fx-500MS vaứ fx-570 MS)
Duứng pheựp laởp: x = 1 + x
Ấn caực phớm: 2 Ans 1 ...
Keỏt quaỷ: 2,618033989
Nhaọn xeựt: Phửụng phaựp laởp ủeồ tỡm nghieọm gần ủuựng cuỷa phửụng trỡnh, xeựt về caựch laứm tửụng ủoỏi ủụn giaỷn, chổ cần thay nhửừng vũ trớ coự x trong g(x) baống bieỏn nhụự Ans, sau khi aỏn phớm giaự trũ keỏ tieỏp theo lái ủửụùc thay theỏ vaứo g(x). Nhửng ủãy laứ dáng toaựn maứ hay bũ sai ủaựp soỏ nhaỏt, lyự do laứ caựch bieỏn ủoồi ủeồ nhaọn ủửụùc bieồu thửực x = g(x) khõng hụùp lyự, bieồu thửực g(x) caứng phửực táp thỡ sai
soỏ caứng lụựn daĩn ủeỏn nhửừng ủaựp soỏ khõng chớnh xaực, coự trửụứng hụùp do chón bieồu thửực x = g(x) khi thửùc hieọn pheựp laởp laứm traứn boọ nhụự maựy tớnh hoaởc quaự taỷi.
Vớ duù: ễÛ vớ dú 1 neỏu bieỏn ủoồi x = 8 – x16, cho x = 2 laứ giaự trũ ban ủầu thỡ sau ba lần thửùc hieọn pheựp laởp maựy tớnh seừ baựo loĩi Math ERROR. ễÛ vớ dú 2, neỏu bieỏn ủoồi xx 1 2 vaứ chón x = 2 laứ giaự trũ ban ủầu thỡ coự hai nghieọm 0 vaứ 1 nhửng ủều laứ soỏ nguyẽn, coứn neỏu chón x = 15 thỡ sau moọt soỏ lần laởp maựy baựo loĩi Math ERROR. Nhửng x = 1 + x thỡ x ban ủầu lụựn bao nhiẽu maựy vaĩn cho nghieọm laứ 2,618033989 sau moọt soỏ lần laởp vaứ hieồn nhiẽn khõng theồ chón x ban ủầu laứ ãm ủửụùc.
Nhử vaọy khi duứng pheựp laởp ủeồ tỡm moọt nghieọm gần ủuựng cuỷa x = g(x), vieọc hoọi tú cuỷa daừy xn g x n 1 (caực giaự trũ x1 > x2 >… > xn-1 = xn = xn+1)tuứy thuoọc vaứo ủiều kieọn hoọi tú cuỷa haứm x = g(x) vaứ giaự trũ ban ủầu x1 trẽn ủoán a,b chửựa nghieọm coự thoỷa maừn thỡ mụựi coự keỏt quaỷ. Moọt phửụứng trỡnh ủa thửực coự theồ tỡm ủửụùc nhiều nghieọm gần ủuựng, do ủoự khi laứm baứi cần ghi roừ laứ duứng pheựp laởp naứo vaứ caồn thaọn bieỏn ủoồi caực haứm x = g(x) cho phuứ hụùp.
Baứi taọp toồng hụùp (Xem trong caực ủề thi ụỷ chửụng sau)
X.