2.3.1. Bài tập về đa giác 2.3.1.1. Kiến thức cơ bản (a) Tam giác
Các trường hợp bằng nhau của tam giác: c -c - c ; c - g - c; g - c - g . Các đường trong tam giác.
Đường cao: Ba đường cao đồng qui tại một điểm, điểm đĩ gọi là trực tâm của tam giác.
Đường trung bình: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng phân nửa cạnh thứ ba.
Đường trung tuyến: Ba đường trung tuyến đồng qui tại một điểm, điểm đĩ gọi là trọng tâm.
Đoạn thẳng xuất phát từ đỉnh đến trọng tâm bằng
2
3 độ dài đường trung tuyến. Đường trung tuyến của tam giác vuơng thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Đường phân giác: Ba đường phân giác đồng qui tại một điểm, điểm đĩ là tâm của đường trịn nội tiếp tam giác (cách đều ba cạnh của tam giác).
Đường trung trực: Ba đường trung trực đồng qui tại một điểm, điểm đĩ là tâm của đường trịn ngoại tiếp tam giác (cách đều ba đỉnh của tam giác).
(b) Tam giác vuơng
Hệ thức lượng trong tam giác vuơng. Tỉ số lượng giác của gĩc nhọn.
Để chứng minh một tam giác là tam giác vuơng ta cĩ thể chứng minh. -Tam giác cĩ một gĩc vuơng (hai gĩc phụ nhau).
-Tam giac cĩ đường trung tuyến bằng nửa cạnh tương ứng. -Sử dụng định lí Pitago đảo.
-Tam giác nội tiếp đường trịn cĩ một cạnh là đường kính.
(c) Tam giác đồng dạng
Các trường hợp đồng dạng.
Tỉ số giữa hai đường cao, hai đường trung tuyến, hai đường phân giác, hai chu vi bằng tỉ số đồng dạng.
Tỉ số hai diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng.
Định lí Talet.
(d)Tứ giác
Học sinh cần nắm các kiến thức về định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết, cơng thức tính chu vi, diện tích các hình như hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuơng. S = a2 a a Diện tích hình vuông. S = ab b a Diện tích hình chữ nhật.
S = 1 2(a+b)h h a b Diện tích hình thang. S =1 2d1d2 d2 d1 Diện tích hình thoi S = ah a h Diện tích hình bình hành. 2.3.1.2. Một số dạng tốn và phương pháp giải Dạng 1. Chứng minh các đường thẳng đồng quy
Để chứng minh các đường thẳng đồng quy ta cĩ thể thực hiện theo một trong các phương pháp sau
- Chứng minh một đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng kia. - Dựng một đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng cho trước rồi chứng minh đường thẳng này trùng với đường thẳng thứ ba.
- Qua giao điểm của hai đường thẳng cho trước dựng hai đường thẳng rồi chứng minh các đường này trùng với đường thẳng thứ ba.
- Chứng minh các đường đều đi qua một điểm cố định. - Sử dụng các định lí về đồng qui.
Ví dụ 2.3.1.1 ([16], tr.82)
Chứng minh ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy.
Lời giải. F I E B M C D A
Trên tia đối của tia IA lấy điểm M sao cho IA = IM. Nối BM, CM.
Ta cĩ ID // MC (ID là đường trung bình của AMC). Suy ra IB // MC (1) và EI // BM (EI là đường trung bình củaAMB). (2)
Từ (1)(2) suy ra BICM là hình bình hành.
Do đĩ IM và BC cắt nhau tại trung điểm F. Suy ra F là trung điểm BC hay AF là đường trung tuyến ABC.
Suy ra I AF.
Vậy AF, BD, CE đồng quy tại I.
Dạng 2.Chứng minh một tam giác đặc biệt, một tứ giác đặc biệt
Phương pháp. Dựa vào các dấu hiệu nhận biết tam giác đặc biệt hoặc tứ giác đặc biệt.
Ví dụ 2.3.1.2 ([16], tr.86) Cho ABC, trên tia đối của tia BA, CA lần lượt lấy điểm P, Q sao cho BP = CQ. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn BC, PQ. Đường MN cắt AB, AC theo thứ tự tại B’, C’. Chứng minh AB’C’ cân tại A.
Lời giải. 1 1 1 1 1 I P N M Q C B A C' B'
Gọi I là trung điểm của PC.
CPB cĩ IM là đường trung bình. Suy ra
1 2
IM PB
.
CPQ cĩ IN là đường trung bình. Suy ra
1 2
IN CQ
. Mà PB = CQ (gt) nên IM = IN
Suy ra IMN cân tại I hay Mˆ1Nˆ1 .(1) Ta cĩ Bˆ1 Mˆ1 (đồng vị do IM // AP). Nˆ1 Cˆ1 (so le trong do IN // C’Q). (2) Mà AC B' 'Cˆ1 (đối đỉnh).(3)
Từ (1),(2) và (3) suy ra AB C' 'AC B' '. Vậy AB’C’ cân tại A.
Ví dụ 2.3.1.3 ([5], tr.145) Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm O. Gọi điểm
đối xứng với điểm A qua điểm O là D và H là trực tâm của tam giác ABC.
a)Chứng minh rằng tứ giác BHCD là hình bình hành.
b)Với điều kiện nào của tam giác ABC thì tứ giác BHCD là hình thoi, là hình chữ nhật ? Hãy giải thích điều đĩ ?.
Lời giải. O H F E D C B A
a) Ta cĩ ADC và ADB nội tiếp đường trịn cĩ một cạnh AD là đường kính nên ADC vuơng tại C và ADB vuơng tại B.
Do ADC vuơng tại C nên DC AC
Mà BE AC hay BH AC nên BH // DC. (1)
Do ADB vuơng tại B nên DBAB. Mà CFAB hay CHAB nên CH // DB. (2) Từ (1)(2) suy ra tứ giác BHCD là hình bình hành.
b) BHCD là hình thoi khi DH BC.
Khi DH BC thì A, H, D thẳng hàng. Suy ra AD BC hay AH BC. Do đĩ ABC cân tại A .
Tứ giác BHCD là hình vuơng khi Dˆ 900 hay ABC vuơng tại A .
Ví dụ 2.3.1.4 ([6], tr.50) Cho ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC. Gọi O, H, G lần lượt là tâm đường trịn ngoại tiếp, trực tâm, trọng tâm ABC. Chứng minh rằng.
a) ABH MNO. b) AGH MOG.
N M C B A O G H
a) Chứng minh ABH MNO. Xét ABH vàMNO cĩ
BAH NMO (do OM // AH và AB // MN) ABH ONM (do BH // ON và AH // OM) Suy ra ABH MNO (g - g). b) Chứng minh AGH MOG .
Ta cĩ HAG GMO (sole trong) và
1 2
GM
AG (vì G là trọng tâm của tam giác ABC).
Mặt khác
1 2
AM OM
AB AH (do ABH MNO). Suy ra
1 2
GM OM
AG AH .
VậyAGH MOG (c - g - c).
Dạng 3. Chứng minh hai đoạn thẳng (hoặc hai gĩc) bằng nhau.
Để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau (hoặc hai gĩc) bằng nhau ta cĩ thể Dựa vào các trường hợp bằng nhau của tam giác.
Dùng đoạn thẳng thứ ba hay gĩc thứ ba làm trung gian. Vận dụng các tính chất của tam giác cân.
Vận dụng tính chất của hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuơng. Vận dụng đường trung bình của tam giác.
Dựa vào các định lý về đường trịn. Dựa vào hai đường thẳng song song. Dựa vào tam giác đồng dạng.
Ví dụ 2.3.1.5 ([16], tr.26) Cho tam giác ABC, vẽ ra phía ngồi của nĩ những tam
giác vuơng cân ABD và ACE vuơng tại A . a) Chứng minh BE = CD.
H D M x F E C B A Phân tích bài tốn
Ta thấy các tam giác vuơng cân ABD và ACE cĩ AC = AE, AB = AD. Mà hai đoạn thẳng phải chứng minh bằng nhau là BE và CD lại tạo với hai cặp đoạn thẳng trên thành các ACD và AEB. Vì vậy ta phải nghĩ đến nếu ACD = AEB ta sẽ cĩ được CD = BE. Muốn vậy phải chứng minh được CAD BAE . Ta dựa vào các gĩc vuơng BAD và CAE để suy ra.
Để chứng minh MD = ME ta kẻ Dx // AE cắt tia AM tại F. Chứng minh tứ giác ADFE là hình bình hành ta sẽ được MD = ME.
Lời giải. a) Chứng minh BE = CD. Xét AEB và ACD cĩ AE = AC (gt) AB = AD (gt) ( ) ( ) AE AC gt BAE CAD AD AB gt
(hai gĩc tù cĩ cạnh tương ứng vuơng gĩc) Suy ra AEB = ACD (c - g - c). Vậy BE = CD.
b) Chứng minh MD = ME . Kẻ Dx // AE cắt tia HA tại F. Xét DAF và ABC cĩ AD = AB (gt) AE AC (gt)
mà DF // AE nên DF AC. Suy ra ADF BAC (hai gĩc nhọn cĩ cạnh tương ứng vuơng gĩc).
Ta lại cĩ AD AB (gt).Vì AH BC (gt) nên B BAHˆ 900 (tính chất tam giác vuơng) (1)
Do HAF 1800 mà BAD 900 nên DAF BAH 900. (2)
Từ (1) và (2) suy ra B DAFˆ .Vậy DAF = ABC (g - c - g).Suy ra DF = AC mà AE = AC (gt) nên DF = AE.
Tứ giác ADFE cĩ DF // AE và DF = AE nên ADFE là hình bình hành cĩ hai đường chéo AF và DE cắt nhau tại M. Vậy MD = ME .
Ví dụ 2.3.1.6 ([16], tr.35) Cho ABC, các đường phân giác AD, BE, CF gặp nhau tại O. Từ O vẽ OI vuơng gĩc với BC. Chứng minh BOD COI .
2 1 2 1 2 1 O I D B C F E A Phân tích bài tốn
Hai gĩc BOD và COI khơng đối đỉnh, cũng khơng phải là hai gĩc tương ứng của hai tam giác bằng nhau. Nhưng từ OI BC nên ta cĩ COI phụ với Cˆ1
. Nếu chứng minh được BOD cùng phụ với Cˆ1
bài tốn được giải quyết. Tiếp tục khai thác giả thiết A =A ; B =B ; C =Cˆ1 ˆ2 ˆ1 ˆ2 ˆ1 ˆ2
và A+B+C=180ˆ ˆ ˆ 0 để suy ra A +B +C =90ˆ2 ˆ1 ˆ1 0
và tìm mối quan hệ giữa Â2, Bˆ1
với BOD trong ABO.
Lời giải. Ta cĩ 1 2 ˆA ˆ ˆ A =A = (gt), 2 1 2 ˆB ˆ ˆ B =B = (gt), 2 1 2 ˆC ˆ ˆ C =C = (gt) 2 và A+B+C=180ˆ ˆ ˆ 0 (định lí tổng ba
gĩc trong tam giác). Suy ra
0 0 2 1 1 ˆ ˆ ˆ A B C 180 ˆ ˆ ˆ A +B +C = + + = =90 2 2 2 2 .
Ta lại cĩ A +B =BODˆ2 ˆ1
(tính chất gĩc ngồi của tam giác) suy ra BOD C ˆ1 900 . (1) Mà OI BC (gt) nên COI là tam giác vuơng tại I. Suy ra COI C ˆ1900
(tính chất tam giác vuơng). (2)
Từ (1) và (2) suy ra BOD COI (vì cùng phụ với Cˆ1 ).
Dạng 4. Chứng minh hai đoạn thẳng song song (hoặc vuơng gĩc) với nhau Để chứng minh hai đoạn thẳng song song (hoặc vuơng gĩc) với nhau ta cĩ thể Dựa vào mối quan hệ giữa các gĩc sole trong, hoặc gĩc đồng vị hoặc các gĩc trong cùng phía.
Dựa vào đường thẳng thứ ba làm trung gian (các hệ quả của tiên đề Ơclit). Chứng minh cho các đoạn thẳng là cạnh đối của một hình bình hành). Dựa vào đường trung bình của tam giác hoặc đoạn thẳng tỉ lệ.
Chứng minh cho hai đoạn thẳng cắt nhau tạo thành một gĩc bằng gĩc vuơng cho trước hoặc dựa vào hai gĩc phụ nhau.
Dựa vào tính chất về đường phân giác của gĩc ở đỉnh của tam giác cân. Dựa vào tính chất ba đường cao trong tam giác.
Dựa vào tính chất đối xứng của đường trịn.
Ví dụ 2.3.1.7 ([16], tr.47) Cho tam giác ABC và ba đường trung tuyến AM, BN, CE,
kẻ Ax // BC và kẻ Ny // AB, Ax cắt Ny tại D. Chứng minh rằng DC//AM và ED // BN. D y x N E M C B A Phân tích bài tốn
Muốn chứng minh DC // AM mà đã cĩ AD // MC thì tứ giác ADCM phải là hình bình hành. Muốn vậy AD phải bằng MC. Nhưng ta lại cĩ EN // MC và EN = MC nên ta phải chứng minh được ADNE là hình bình hành. Khi đĩ ta cùng cĩ luơn được BEDN là hình bình hành để suy ra ED // BN.
Lời giải. Do AE=EB (gt), AN=NC (gt) nên EN là đường trung bình của ABC. (1) Suy ra EN // BC mà AD // BC (gt). Do đĩ EN // AD.
Tứ giác ADNE cĩ DN // AE (vì DN // AB) và EN // AD nên tứ giác ADNE là hình bình hành. Suy ra AD = EN; ND = AE (theo tính chất hình bình hành).
Từ (1) ta cĩ 2 ( )
BC
EN MC gt
suy ra AD = MC.
Tứ giác ADCM cĩ AD // MC (vì Ax // BC) và AD = MC nên tứ giác ADCM là hình bình hành suy ra DC // AM .
Từ ND = AE ND = BE (vì BE = AE (gt)).
Tứ giác BEDN cĩ DN // BE và ND = BE nên tứ giác BEDN là hình bình hành suy ra ED // BN.
Ví dụ 2.3.1.8 ([16], tr.48) Cho tam giác ABC vuơng tại A. Lấy AB và BC làm cạnh,
dựng về phía trong của tam giác các hình vuơng ABDE và BCFI. Chứng minh rằng IA và DC vuơng gĩc với nhau.
H 2 2 2 1 1 1 E D I F C B A Phân tích bài tốn
Để chứng IA DC ta kéo dài IA và DC cho cắt nhau tại H và dựa vào các gĩc nhọn trong tam giác vuơng phụ nhau và biến đổi để tam giác ACH cĩ hai gĩc phụ nhau mà suy ra gĩc H vuơng hay IA DC.
Lời giải. Ta cĩ BI BC (BCFI là hình vuơng), BD BA (ABDE là hình vuơng) Suy ra Bˆ1Bˆ2
(gĩc cĩ cạnh tương ứng vuơng gĩc).
Xét IBA và CBD cĩ BI = BC (BCFI là hình vuơng), BA = BD (ABDE là hình vuơng) và Bˆ1Bˆ2
Suy ra IBA = CBD (c - g - c). Do đĩ A = Dˆ2 ˆ1 . Do BAE 900 (giả thiết) nên Â2 + Â1 = 900. Mà BDE D ˆ1Dˆ2 900
(giả thiết). Suy ra A = Dˆ1 ˆ2
(vì cùng phụ với hai gĩc phụ nhau là ˆA2 và ˆD1).
Mặt khác CDE vuơng tại E (giả thiết) nên D DCEˆ 900 hay Aˆ1DCE900 . Mà DCE ACH (đối đỉnh) nên Aˆ1ACH 900
. Ta cĩ ACH cĩ Aˆ1ACH 900
nên AHC900. Vậy IA DC tại H.
Dạng 5. Chứng minh ba điểm thẳng hàng
Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta cĩ thể
Dựa vào tính chất hai cạnh ngồi của hai gĩc kề bù thì tạo thành một đường thẳng hay gọi là hai tia đối nhau (tính chất hai gĩc kề bù).
Dựa vào tiên đề về đường thẳng song song.
Dựa vào tính chất đường vuơng gĩc: hai đường thẳng cùng vuơng gĩc với đường thẳng và cùng đi qua một điểm.
Dựa vào hai gĩc bằng nhau.
Ví dụ 2.3.1.9 ([16], tr.69) Cho tam giác ABC vuơng tại A. Gọi I là trung điểm của
BC, E và F là hai điểm lần lượt đối xứng với I qua AC và AB; IF cắt AB tại M; IE cắt AC tại N. Chứng minh rằng đoạn thẳng FN đi qua trung điểm O của AM và ba điểm F, A, E thẳng hàng. 3 2 1 3 2 1 O B I C N M F A E Phân tích bài tốn
Chứng minh FN đi qua trung điểm O của AM nghĩa là chứng minh ba điểm F, O, N thẳng hàng. Ta cĩ hai cách chứng minh: Biết trước điểm O là trung điểm của AM, ta chứng minh cho F, O, N thẳng hàng hoặc là nối FN và AM tại O và chứng minh cho O là trung điểm của AM.
Lời giải.
Chứng minh FN đi qua trung điểm O của AM
Do F đối xứng với I qua AB (gt) nên FI AB và IM = MF .(1) Ta lại cĩ AC AB (vì ABC vuơng). Suy ra FI // AC .
Tương tự ta cũng cĩ EI // AB. Suy ra AN = IM (tính chất hai đoạn chắn). (2) Từ (1) và (2) suy ra MF = AN.
Xét MOF và AON cĩ MF = AN (chứng minh trên), OA = OM (gt), và 0
ˆ ˆ 90
M N . VậyMOF = AON (c - g - c). Suy ra Ơ1 = Ơ3 .
Ta cĩ Ơ3 + Ơ2 = 1800 nên Ơ1 + Ơ2 = 1800 .
Vậy F, O, N thẳng hàng hay là FN đi qua trung điểm O của AM.
Chứng minh F, A, E thẳng hàng.
Do E đối xứng với I qua AC (gt) nên NE = NI. Do EI // AB và FI // AC nên NE = AM.
Xét vuơng AMF và vuơng ANE cĩ MF = AN, AM = NE Vậy AMF = ANE (c - g - c). Suy ra AFM Aˆ3
. Mà AFM Aˆ1900
(tính chất tam giác vuơng) hay Aˆ3Aˆ1 900
và Aˆ2 900 . Do đĩ Aˆ1Aˆ2Aˆ3 900900 1800 FAE . Vậy F, A, E thẳng hàng . Dạng 6. Chứng minh các đoạn thẳng tỉ lệ Để chứng minh các đoạn thẳng tỉ lệ ta cĩ thể Dựa vào định lí Ta-lét.
Dựa vào tính chất đường phân giác của một gĩc trong tam giác hoặc dựa vào