Gọi D là tập con không rỗng, lồi, compact của không gian vectơ tôpô X,
K là tập không rỗng và Y là không gian vectơ tôpô. Giả sử các ánh xạ đa trị F : D ×K → 2Y, G : D ×D → 2Y và C : D → 2Y sao cho với mỗi
x ∈ D, C(x) là nón không rỗng và lồi trong Y. Xét các bài toán cân bằng vectơ sau:
1. Bài toán cân bằng vectơ yếu: Tìm x¯∈ D sao cho
F(¯x, y) 6⊆ −intC(¯x) với mọi y ∈ K,
ở đây ta luôn giả thiết intC(x) 6= ∅ với mọi x∈ D.
2. Bài toán cân bằng vectơ lí tưởng: Tìm x¯∈ D sao cho
F(¯x, y) ⊆C(¯x) với mọi y ∈ K.
Định nghĩa 2.3.4. Cho D, K là tập khác rỗng, lồi trong của không gian
vectơ X, Z, tương ứng và Y là không gian vectơ. Gọi F : D×K →2Y và
C : D → 2Y là các ánh xạ đa trị sao cho với mỗi x ∈ D, C(x) là nón lồi. Ta nói rằng:
(i) F là C- tựa lồi đối với biến thứ hai nếu với mỗi x ∈ D, y1, y2 ∈ K và
t∈ [0,1], tồn tại chỉ số i ∈ {1,2} sao cho
F(x, yi) ⊆ F(x, ty1 + (1−t)y2) +C(x).
(ii)F làC- giống tựa lồi đối với biến thứ hai nếu với mỗix ∈ D,y1, y2 ∈ K
và t∈ [0,1], tồn tại chỉ số i ∈ {1,2} sao cho
Định lí 2.3.5. Giả sử các ánh xạ đa trị F, G và C thỏa mãn các điều kiện dưới đây:
(i) Với mỗi x ∈ D, G(x, x) 6⊆ −intC(x);
(ii) Với mỗi y ∈ K, tồn tại z ∈ D sao cho
G(x, z) ⊆ F(x, y) với mọi x ∈ D;
(iii) G là lsc trên ∆D := {(x, x) : x ∈ D} và với mỗi y ∈ K, ánh xạ đa trị x 7→F(x, y)−C(x) là đóng;
(iv) G là C- giống tựa lồi đối với biến thứ hai.
Khi đó tồn tại x¯ ∈ D sao cho
F(¯x, y) 6⊆ −intC(¯x) với mọi y ∈ K.
Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ đa trị T :D ×K → 2D bởi
T(x, y) ={z ∈ D : G(x, z) ⊆ F(x, y)−C(x)}.
Với mỗi y ∈ K, ta kí hiệu
M := {x ∈ D : x ∈ T(x, y)} = {x ∈ D : G(x, x) ⊆F(x, y)−C(x)}.
Ta chứng minh M là tập đóng. Thật vây, lấy dãy {xt} ⊆ M hội tụ về x. Từ G là lsc trên ∆D nên với mỗi v ∈ G(x, x), tồn tại dãy {vt} sao cho
vt → v và vt ∈ G(xt, xt) với mọi t. Vì {xt} ⊆ M nên
vt ∈ F(xt, y)−C(xt) với mọi t.
Từ ánh xạ x7→ F(x, y)−C(x) là đóng nên
v ∈ F(x, y)−C(x).
Điều này chứng tỏ x ∈ M. Vậy M là đóng. Giả sử {y1, y2, ..., yn} là tập con hữu hạn của K. Bởi giả thiết (ii), tồn tại {z1, z2, ..., zn} ⊆ D sao cho
Gọi I ⊆ {1,2, ..., n} là tập con không rỗng tùy ý và z ∈ conv{zi : i ∈ I}. Từ giả thiết (iv), với mỗi x∈ D, tồn tại ix ∈ I sao cho
G(x, z) ⊆ G(x, zix)−C(x) ⊆F(x, yix)−C(x).
Do đó
conv{zi : i ∈ I} ⊆ [ i∈I
T(x, yi) với mọi x ∈ D.
Áp dụng Định lí 2.2.2, tồn tại x¯∈ D sao cho
¯
x ∈ \
y∈K
T(¯x, y).
Ta chứng minh
F(¯x, y) 6⊆ −intC(¯x) với mọi y ∈ K.
Thật vậy, giả sử tồn tại y ∈ K sao cho
F(¯x, y) ⊆ −intC(¯x).
Khi đó từ x¯∈ T(¯x, y) ta suy ra
G(¯x,x¯) ⊆F(¯x, y)−C(¯x) ⊆ −intC(¯x)−C(¯x) =−intC(¯x).
Điều này mâu thuẫn với (i). Vậy
F(¯x, y) 6⊆ −intC(¯x) với mọi y ∈ K.
Định lí được chứng minh.
Định lí 2.3.6. Giả sử các ánh xạ đa trị F, G và C thỏa mãn các điều kiện
dưới đây:
(i) Với mỗi x ∈ D, G(x, x) 6⊆C(x);
(ii) Với mỗi y ∈ K, tồn tại z ∈ D sao cho
(iii) Ánh xạ đa trị x 7→ G(x, x) +C(x) là đóng và với mỗi y ∈ K, ánh xạ
F(., y) là lsc;
(iv) G là C- tựa lồi đối với biến thứ hai.
Khi đó tồn tại x¯ ∈ D sao cho
F(¯x, y) ⊆C(¯x) với mọi y ∈ K.
Chứng minh. Ta định nghĩa ánh xạ đa trị T :D ×K → 2D bởi
T(x, y) ={z ∈ D : F(x, y) ⊆ G(x, z) +C(x)}.
Với mỗi y ∈ K, ta kí hiệu
M := {x ∈ D : x ∈ T(x, y)} = {x ∈ D :F(x, y) ⊆ G(x, x) +C(x)}.
Ta chứng minh M là tập đóng. Thật vây, lấy dãy {xt} ⊆ M hội tụ về x. Từ F(., y) là lsc nên với mỗi v ∈ F(x, y), tồn tại dãy {vt} sao cho vt → v
và vt ∈ G(xt, y) với mọi t. Vì {xt} ⊆ M nên
vt ∈ G(xt, xt) +C(xt) với mọi t.
Từ ánh xạ x7→ G(x, x) +C(x) là đóng nên
v ∈ G(x, x) +C(x).
Điều này chứng tỏ x ∈ M. Vậy M là đóng. Giả sử {y1, y2, ..., yn} là tập con hữu hạn của K. Bởi giả thiết (ii), tồn tại {z1, z2, ..., zn} ⊆ D sao cho
F(x, yi) ⊆ G(x, zi) với mọi i ∈ {1,2, ..., n} và x ∈ D.
Gọi I ⊆ {1,2, ..., n} là tập con không rỗng tùy ý và z ∈ conv{zi : i ∈ I}.
Từ giả thiết (iv), với mỗi x∈ D, tồn tại ix ∈ I sao cho
G(x, zix) ⊆ G(x, z) +C(x).
Do đó
Điều này kéo theo z ∈ T(x, yix) ⊆ [ i∈I T(x, yi). Từ đó suy ra conv{zi : i ∈ I} ⊆ [ i∈I T(x, yi) với mọi x ∈ D.
Áp dụng Định lí 2.2.2, tồn tại x¯∈ D sao cho
¯ x ∈ \ y∈K T(¯x, y). Từ đó suy ra F(¯x, y) ⊆ G(¯x,x¯) + C(¯x) ⊆C(¯x) +C(¯x) =C(¯x) với mọi y ∈ K. Định lí được chứng minh.
Nhận xét. Trong Định lí 2.3.5 và Định lí 2.3.6, tập con K chỉ cần không
rỗng mà không cần tính lồi hay đóng. Ví dụ dưới đây minh họa cho điều đó.
Ví dụ 2.3.7. Gọi K là tập con không rỗng tùy ý của tập [1,+∞), D =
[0,1], Y = R và các ánh xạ đa trị G(x, z) = (−∞, z −x], nếu z ≤ 1 2, (−∞, x−z], nếu z > 12. F(x, y) = (−∞,1−xy] và C(x) = (−∞,0].
Vì F(x, y) ⊆G(x,1) với mọi y ∈ K và x ∈ D nên điều kiện (ii) của Định lí 2.3.6 thỏa mãn. Các giả thiết còn lại của Định lí 2.3.6 hiển nhiên thỏa mãn. Hơn nữa, x¯= 1 là nghiệm của bài toán cân bằng lí tưởng.
Kết luận
Trong luận văn này, chúng tôi đã trình bày một số kết quả chính sau: 1. Trình bày một số định lí tương giao trong không gian vectơ tôpô
(Định lí 2.1.3, Định lí 2.1.4, Định lí 2.1.5).
2. Trình bày một số định lí điểm bất động chung của họ vô hạn các ánh xạ đa trị trong không gian vectơ tôpô (Định lí 2.2.2, Định lí 2.2.3, Định lí 2.2.8, Định lí 2.2.9, Định lí 2.2.10).
3. Trình bày một số ứng dụng của định lí điểm bất động chung vào bài toán bất đẳng thức tựa biến phân Stampacchia (Định lí 2.3.2 và Định lí 2.3.3) và bài toán cân bằng vectơ (Định lí 2.3.5 và Định lí 2.3.6).
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Nguyễn Đông Yên (2007), "Giải tích đa trị", Nhà xuất bản khoa học tự nhiên và công nghệ.
Tiếng Anh
[2] R. P. Agarwal, M. Balaj, D. O’Regan (2009), "Common fixed point theorems and minimax inequalities in locally convex Hausdorff topo- logical vector spaces", Appl. Anal., 88, 1691- 1699.
[3] R. P. Agarwal, M. Balaj, D. O’Regan (2014), "A common fixed point theorem with applications", J. Optim. Theory Appl., 163, 482- 490.
[4] R. P. Agarwal, M. Balaj, D. O’Regan (2017), "Common Fixed Point Theorems in Topological Vector Spaces via Intersection Theorems", J. Optim. Theory Appl., DOI 10.1007/s10957-017-1082-7.
[5] M. Balaj (2010), "A common fixed point theorem with applications to vector equilibrium problemss", Appl. Math. Lett., 23, 241- 245.
[6] L.E.J. Brouwer (1912), ¨Uber Abbildung von Mannigfaltigkeiten, Math. Ann. 71, 97–115.
[7] F. E. Browder (1984), " Coincidence Theorems, minimax Theorems and variational inequalities contemp", Math, 26 , 67-80.
[8] K. Fan (1961), "A Generalization of Tychonoff’s Fixed Point Theo- rem", Mathematische Annalen, 142, 305-310.
[9] Gopfert, A., Riahi, H., Tammer, C., Zalinescu, C. (2003), Variational Methods in Partially Ordered Spaces. New York, Springer Verlag. [10] I. Glicksberg (1952), A further generalization of Kakutani fixed point
theorem with applications to Nash equilibrium points. Proc. Amer. Math. Soc. 3, 170–174
[11] S. Kakutani (1944), " A generalization of Brouwers fixed point theo- rem", Duke Math. J, 8, 457-459.
[12] S. Kakutani (1938), "Two fixed point theorems concerning bicompact convex sets", Proc. Imp. Akad. Tokyo, 14, 242- 245.
[13] L. J. Lin (2010), "Some results on systems of quasi-variational inclu- sion problems and systems of generalized quasi-variational inclusion problems", Nonlinear Analysis, 72, 37-49.
[14] A. Markov (1936), "Quelques théoremes sur les ensembles abéliens", Dokl. Akad. Nauk. SSSR, 10, 311- 314.
[15] W. Rudin (2000), Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-hill.
[16] M.Sion, On general minimax theorems,Pacific J. Math. 8, (1958) 171 –176.
[17] N. X. Tan (2018), Quasi-equilibrium problems and fixed point the- orems of separately l.s.c and u.s.c mappings. Numer. Funct. Anal. Optim. 39(2), 233–255.