Biểu diễn dây chuyền của đồng cấu Lannes-Zarat
2.2.Biểu diễn ở mức độ dây chuyền của đồng cấu Lannes Zarat
Zarati
Để khảo sát dáng điệu của đồng cấu Lannes-Zarati modulo p với p lẻ, đầu tiên chúng tôi xây dựng biểu diễn ở mức độ dây chuyền của(ϕMs )#trên phức dây chuyền Singer-Hưng-Sum và sau đó là biểu diễn ở mức độ dây chuyền của ϕs trên đại số Lambda.
Biểu diễn ở mức độ dây chuyền của (ϕM
s )# trên phức dây chuyền Singer-Hưng- Sum được cho bởi định lý dưới đây.
Định lý 2.2.1(Chơn-Như [17, Định lý 3.1]). VớiA-môđun không ổn định M, phép nhúng(ϕeMs )# :RsM //(Γ+M)s được cho bởi
γ 7→(−1)(s−2)(2s−1)γ
là biểu diễn ở mức độ dây chuyền của đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati(ϕMs )#.
Dựa trên cách xây dựng đồng cấu Lannes-Zarati (Mục 1.3), ta có đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati modulop(ϕMs )#được cảm sinh bởi ánh xạ(ϕsM)#= iΣs1−sM◦
(αs(ΣM))−1 : ΣRsM → TorAs (Fp,Σ1−sM)(xem (1.4)). Do đó, để chứng minh Định lý 2.2.1 chúng tôi xây dựng biểu diễn ở mức độ dây chuyền của(αs(ΣM))−1 : ΣRsM → Ds(Σ1−sM).
Cho phần tử thuần nhấtγ =λSts(m)∈ RsM vớim∈M2n+δ. Khi đó theo Mệnh đề 2.1.2 và Hệ quả 2.1.4,γ có thể được mô tả bởi
γ = X I∈Iγ ωI(−1)snu11v(p−1)(i1+nps −1)−1 1 · · ·us s v(p−1)(is+n)−s s Ss(m)∈ (Γ+M)s,
ở đâyωI ∈F∗pvàI = (1, i1, . . . , s, is)thỏa điều kiện (2.1) vàIγ được xác định một cách duy nhất phụ thuộc vàoγ.
Đặt γ := X I∈Iγ ωI(−1)snu11v(p−1)(i1+nps −1)−1 1 · · ·us s v(p−1)(is+n)−s s Ss(Σ1−sm) ∈ (Γ+Σ1−sM)s.
Vì |ui| = 1 và |vi| = 2 với I ∈ Iγ nên tổng 1 + · · · + s = degγ + δ
mod 2. Do đó, qua đẳng cấu Σ1−s(Γ+M)s // (Γ+Σ1−sM)s, ảnh của Σ1−sγ bằng với(−1)(s−1)(degγ+δ)γ.
Với phần tử γ ở trên, ta cũng định nghĩa các phần tử eγ ∈ Bs−1(A,A,Σ1−sM), X(eγ)∈ Bs(A,A,Σ1−sM)vàY(eγ)∈Bs(Fp,A,Σ1−sM)theoγ như sau:
e γ := X I∈Iγ ωI(−1)e(I) ×β1−1Pi1+nps−1[β1−2Pi2+nps−2| · · · |β1−sPis+n]Σ1−sm∈ Bs−1(A,A,Σ1−sM), X(eγ) := X I∈Iγ ωI(−1)e(I) ×[β1−1Pi1+nps−1|β1−2Pi2+nps−2| · · · |β1−sPis+n ]Σ1−sm∈Bs(A,A,Σ1−sM),
và Y(eγ) := X I∈Iγ ωI(−1)e(I) ×[β1−1Pi1+nps−1|β1−2Pi2+nps−2| · · · |β1−sPis+n ]Σ1−sm∈Bs(Fp,A,Σ1−sM), ở đâye(I) =1+i1+· · ·+s+is.
Dễ thấyX(eγ)đại diện cho phần tử không tầm thường trongDBs(A,A,Σ1−sM). Hơn nữa, phép chiếu chính tắc B∗(A,A,Σ1−sM) B∗(Fp,A,Σ1−sM)đặt tương ứng phần tửX(γe)với phần tử[1⊗A X(γe)] = Y(eγ).
Biểu diễn ở mức độ dây chuyền của ánh xạ(αs(ΣM))−1 được cho bởi mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 2.2.2(Chơn-Như [17, Mệnh đề 3.2]). Ánh xạ
ψsΣM : ΣRsM //DBs(A,A,Σ1−sM)
được cho bởi
Σγ 7→(−1)(s−2)(2s−1)+(s−1)(degγ+δ)
[X(eγ)]
là biểu diễn ở mức dây chuyền của đồng cấu
(αs(ΣM))−1 : ΣRsM //Ds(Σ1−sM). Chúng tôi sẽ chứng minh Mệnh đề 2.2.2 ở Mục 2.3.
Chứng minh Định lý 2.2.1. Theo Mệnh đề 2.1.2 suy ra(ϕeMs )#là một đơn cấu. Để chứng minh định lý ta cần chứng minh biểu đồ sau đây giao hoán.
DBs(A,A,Σ1−sM) ΣRsM DBs(A,A,Σ1−sM) ψΣsM ΣRsM Σ1−s◦(ϕeMs )#◦Σ−1 //ΣΣ11−s−s(Γ(Γ++MM))ss Bs(Fp,A,Σ1−sM). Σ1−s(Γ+M)s Σ1−s(Γ+M)s =∼ //(Γ(Γ++ΣΣ11−s−sMM))ss Bs(Fp,A,Σ1−sM). _ ιΣ1−sM s DBs(A,A,Σ1−sM) Bs(Fp,A,Σ1−sM). ˜iΣ1−sM s / / ΣRsM DBs(A,A,Σ1−sM) ΣRsM (Γ(Γ++ΣΣ11−s−sMM))ss Bs(Fp,A,Σ1−sM). Ở đây ánh xạ dây chuyền
· · · //DBs(A,A,Σ1−sM) // ˜iΣ1−sM s DBs−1(A,A,Σ1−sM) // ˜iΣ1−sM s−1 · · · · · · //Bs(Fp,A,Σ1−sM) //Bs−1(Fp,A,Σ1−sM) //· · ·
được cho bởi (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
˜iΣ1−sM
s ([z]) = [1⊗A z]
là một biểu diễn ở mức độ dây chuyền của ánh xạ iΣs1−sM : Ds(Σ1−sM) // TorA
s (Fp,Σ1−sM). Từ định nghĩa củaX(˜γ)vàY(eγ), dễ dàng kiểm tra được
˜iΣ1−sM
s ([X(eγ)]) = [1⊗A X(eγ)] = Y(eγ).
Mặt khác, từ Mệnh đề 2.2.2 suy raψΣsM(Σγ) = (−1)(s−2)(2s−1)+(s−1)(degγ+δ)[X(eγ)]. Điều đó có nghĩa là ( ¯ϕMs )# : ΣRsM // TorA
s(Fp,Σ1−sM) (xem biểu đồ (1.4)) được biểu diễn bởi ánh xạ đặt tương ứng phần tử Σγ trong ΣRsM với phần tử
(−1)(s−2)(2s−1)+(s−1)(degγ+δ)Y(eγ)trongBs(Fp,A,Σ1−sM).
Hơn nữa, trong Bs(Fp, A,Σ1−sM), vì phần tử Y(eγ) là ảnh của γ dưới đơn cấu ιΣs1−sM : (Γ+Σ1−sM)s // Bs(Fp, A,Σ1−sM) (xem (1.15) và (1.14)) và đồng cấu thứ 2 của hàng đầu tiên biếnΣ1−sγ thành(−1)(s−1)(degγ+δ)γ nên biểu đồ ở trên giao hoán.
Định lý đã được chứng minh.
VớiM = Fp vớiplà số nguyên tố lẻ, Zarati [74] đã chỉ ra rằngRsFp ∼=B[s]. Do đó, ta có hệ quả sau.
Hệ quả 2.2.3(Chơn-Như [17, Hệ quả 3.3]). Phép nhúng(ϕeFp
s )# : B[s] //Γ+
s được cho bởi
γ 7→(−1)(s−2)(2s−1)γ
là biểu diễn ở mức độ dây chuyền của đối ngẫu của đồng cấu Lannes-Zarati(ϕFp
s )#.
Mặt khác,Rs đẳng cấu vớiB[s]#như là mộtA-đối đại số (xem May [19, Phần 3 Chương I]), trong đóA−tác động trênRs được dẫn xuất từ các quan hệ Nishida.
Do đó, lấy đối ngẫu của Hệ quả 2.2.3, ta có mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 2.2.4(Chơn-Như [17, Mệnh đề 3.4]). Phép chiếuϕeFp
s : Λs //Rs được xác
định bởi
λI 7→(−1)(s−2)(2s−1)QI
là biểu diễn ở mức độ dây chuyền của đồng cấu Lannes-ZaratiϕFp
Đây là công cụ chính để nghiên cứu dáng điệu của đồng cấu Lannes-Zarati modulo p ϕFp
s .
Lấy đối ngẫu của Định lý 2.2.1, ta có kết quả sau đây
Mệnh đề 2.2.5(Chơn-Như [18, Mệnh đề 3.7]). VớiA-môđun không ổn định bất kỳ
M, phép chiếuϕeMs : Λs ⊗M# //(RsM)#được cho bởi (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
λI ⊗`7→ (−1)(s−1)(2s−2)[QI ⊗`]
là một biểu diễn ở mức độ dây chuyền của đồng cấu Lannes-ZaratiϕMs .
Mệnh đề này là trường hợp tổng quát của Mệnh đề 2.2.4 đối với trường hợp A- môđun không ổn định bất kì.