hin w new
3.3 Thu“t to¡n !
>t v k‚t thóc sau hœu h⁄n b÷îc:
Input : Ms v Mt bi”u di„n cho c¡c thø tü b›t ƒu v Gs l cì sð Grobner
Output : Gi¡ trà cuŁi còng cıa Gnew = cì sð Grobner Mold := Ms Gold := Gs wnew := ws Mnew := w new done := f alse
W HILE done = f alse DO
In := in
wnew
(G
old)
InG := gbasis(In; >Mnew )
Gnew := Lif t(InG; Gold; In; Mnew; Mold) Gnew := Interreduce(Gnew; Mnew) u := N extCone(Gnew; wnew; wt) IF wnew = wt T HEN done := true ELSE M old := M new G old := G new
wnew := (1 u)wnew + uwt
3.3 Thu“t to¡n ! ! w new Mnew := M t RET U RN(Gnew)
Chøng minh. Chóng ta dàch chuy”n theo o⁄n thflng tł ws ‚n wt. ” chøng minh t‰nh dłng, nh“n x†t r‹ng qu⁄t Grobner cıa I = hGs i ch¿ câ hœu h⁄n h…nh nân, mØi h…nh nân ch¿ câ hœu h⁄n si¶u phflng bao quanh. Lo⁄i bä c¡c si¶u phflng câ chøa o⁄n thflng tł ws ‚n wt, c¡c si¶u phflng cÆn l⁄i x¡c ành mºt t“p hæp hœu h⁄n c¡c i”m °c bi»t tr¶n o⁄n thflng. B¥y gií ta x†t
ulast = N extCone(Gnew; wnew; wt)
nh÷ trong thu“t to¡n. i•u n y sß döng (3.2) vîi wold ÷æc thay th‚ b‹ng gi¡ trà hi»n t⁄i cıa wnew. Hìn nœa, l÷u þ r‹ng thø tü ìn thøc luæn xu§t ph¡t tł mºt ma tr“n câ d⁄ng
luæn ÷æc thäa m¢n. N‚u ulast = 1, th… gi¡ trà ti‚p theo cıa wnew l wt, ” m thu“t to¡n k‚t thóc sau mºt lƒn nœa i qua vÆng l°p ch‰nh.
M°t kh¡c, n‚u ulast = uj < 1, th… gi¡ trà ti‚p theo cıa wnew n‹m tr¶n si¶u phflng w:vj = 0, ¥y l mºt trong sŁ hœu h⁄n si¶u phflng cıa chóng ta. Tuy nhi¶n, (3.2) ngö þ r‹ng wt:vj < 0 v w:vj 0, ” si¶u phflng giao vîi o⁄n thflng t⁄i mºt i”m duy nh§t. Do â gi¡ trà ti‚p theo cıa wnew l mºt trong nhœng i”m °c bi»t cıa chóng ta. Hìn nœa, BŒ • 3.2 ngö þ r‹ng ulast > 0 do â, n‚u wnew hi»n t⁄i kh¡c vîi wt, th… chóng ta ph£i chuy”n sang i”m °c bi»t kh¡c xa hìn, dåc theo o⁄n thflng. Do â cuŁi còng chóng ta ph£i ⁄t ÷æc wt, t⁄i thíi i”m thu“t to¡n k‚t thóc.
” chøng minh t‰nh óng ›n, nh“n x†t r‹ng trong mØi lƒn i qua vÆng l°p ch‰nh, c¡c gi£ thuy‚t cıa M»nh • 3.3 ÷æc thäa m¢n. Hìn nœa, mºt khi gi¡ trà cıa wnew ⁄t ‚n wt, lƒn ti‚p theo i qua vÆng l°p s‡ t‰nh to¡n
cì sð Grobner
â gi¡ trà cuŁi còng cıa Gnew l cì sð Grobner ÷æc ¡nh d§u cho >t. 3.3 Thu“t to¡n
º phøc t⁄p cıa ÷íng i Grobner phö thuºc nhi•u v o sŁ l÷æng h…nh
nân i qua dåc theo ÷íng i cıa qu⁄t Grobner v sŁ h…nh nân câ chøa i”m wnew ð mØi b÷îc. Chóng ta s‡ t…m hi”u rª hìn v• i•u n y trong c¡c v‰ dö d÷îi ¥y.
V‰ dö 3.1. Chóng ta b›t ƒu vîi mºt v‰ dö ìn gi£n v• ÷íng i Grobner. X†t i ¶an I = x2 y; xz y2 + yz Q[x; y; z]. Chóng ta ¢ t‰nh to¡n to n bº qu⁄t Grobner cho I ð tr¶n (xem H…nh 2.2). Gi£ sß ta bi‚t
Gs = G(1) = x 2 y; y2 xz yz :
¥y l cì sð Grobner cıa I Łi vîi>(5;4;1);grevlex (trong sŁ nhi•u thø tü kh¡c). Gi£ sß chóng ta muŁn x¡c ành cì sð Grobner Łi vîi >(6;1;3);lex (l G(6)). Chóng ta câ th” ti‚n h nh nh÷ sau. °t
0 1 5 4 1 Ms = B1 1 1C @ A 1 1 0 v“y ws = (5; 4; 1). Chóng ta sß döng ma tr“n vuæng x¡c ành còng thø tü thay v… ma tr“n 4 3 vîi h ng ƒu ti¶n (5; 4; 1) v ba h ng ti‚p theo tł ma tr“n 3 3 x¡c ành thø tü grevlex. T÷ìng tü nh÷ v“y, 0 1 6 1 3 Mt = B1 0 0C @ A 0 1 0 v wt = (6; 1; 3). Chóng ta s‡ chån ma tr“n vuæng x¡c ành c¡c thø tü th ‰ch hæp trong t§t c£ c¡c t‰nh to¡n sau b‹ng c¡ch xâa h ng phö thuºc tuy‚n t‰nh th‰ch hæp. Chóng ta b›t ƒu b‹ng c¡ch xem x†t thø tü ÷æc x¡c ành bði
0 5 4 1 1
Mnew = B6 1 3C
@ A
1 0 0
(sß döng vectì trång sŁ wnew = (5; 4; 1) tr÷îc, sau â tinh ch¿nh theo thø tü ‰ch). C¡c d⁄ng wnew-d¤n ƒu cıa a thøc cì sð Grobner Łi vîi thø tü
3.3 Thu“t to¡n
n y giŁng nh÷ c¡c d⁄ng cıa Gs, v… v“y cì sð khæng thay Œi trong lƒn ƒu ti¶n i qua vÆng l°p ch‰nh.
Sau â, ta gåi thı töc NextCone vîi wnew thay cho wold. H…nh nân cıa >Mnew ÷æc x¡c ành bði ba b§t flng thøc thu ÷æc b‹ng c¡ch so s¡nh
x2 so vîi y v
(1 u)(5; 4; 1) + u(6; 1; 3) n‹m trong h…nh nân n y v
x2 v y :
v1 = (2; 1; 0); wt:v1 = 6 6= 0! u1 = 1
v2 = ( 1; 2; y2 v yz : v2 = (0; 2; 1); wt:v3 = Gi¡ trà u nhä nh§t ð ¥y l wnew = (1 M old v 0 1 Mnew = B 6 1 3 @ A 1 0 0
÷æc c“p nh“t cho lƒn ti‚p theo thæng qua vÆng l°p ch‰nh. Trong ÷íng chuy•n thø hai, In = fy2 xz; x2g. Chóng ta t‰nh to¡n cì sð Grobner cho hIni Łi vîi >new ( Łi vîi thø tü n y, tł d¤n ƒu cıa phƒn tß ƒu ti¶n l xz) v t…m
H = f y2 + xz; x2; xy2; y4g Bi”u di„n theo c¡c phƒn tß sinh cıa hIni, ta câ
y2 + xz = 1:(y2 xz) + 0:(x2) x2 = 0:(y2 xz) + 1:(x2) xy2 = x:(y2 xz) + z:(x2)
3.3 Thu“t to¡n
y4 = (y2 + xz):(y2
V… v“y, theo M»nh • 3.3, ” câ ÷æc cì sð Grobner ti‚p theo, chóng tæi n¥ng l¶n 1:(y2 x z yz) + 0:(x2 y) = xz + yz y2 0:(y2 xz yz) + 1:(x2 y) = x2 y x:(y2 x z yz) + z:(x2 y) = xy2 xyz yz (y2 + xz):(y2 x z yz) + z2:(x2 y) = y4 y3z xyz2 yz2
Rót gån l¤n nhau Łi vîi >new, ta câ ÷æc cì sð Grobner ÷æc ¡nh d§u Gnew cho bði
fxz + yz y2; x 2 y; xy2 y3 + y2z yz; y4 2y3z + y2z2 yz2g
¥y l G(5). Nh›c tîi N extCone trong l÷æt n y, chóng ta sß döng tham sŁ (1 u) (479 ; 103 ; 139 ) + u(6; 1; 3). Sß döng (3.2) nh÷ tr¶n, chóng ta thu ÷æc ulast =
17
35 , trong â wnew = (285 ; 115 ; 115 ): Trong lƒn thø ba i qua vÆng l°p ch ‰nh, cì sð Grobner khæng thay Œi nh÷ mºt t“p. Tuy nhi¶n, tł d¤n ƒu
cıa d⁄ng ban ƒu cıa a thøc cuŁi còng y42y3z + y2z2yz2 Łi vîi >Mnew b¥y gií l y2z2 k” tł
0 1
Mnew = B 6 1 3
@ A
1 0 0
Sß döng M»nh • 3.3 nh÷ b…nh th÷íng ” t‰nh to¡n cì sð Grobner mîi Gnew, chóng ta ÷æc
fxz + yz y2; x y; xy2 2 y3 + y2z yz; y2z2 2y3z + y4 yz2g (3.6) ¥y l G(6). Nh›c l⁄i N extCone tr£ v• ulast = 1, v… khæng câ c°p sŁ n o ⁄t ÷æc trång sŁ b‹ng nhau cho b§t ký i”m n o tr¶n o⁄n ÷íng ÷æc tham sŁ hâa bði
(1 u)(28
5; 11
5; 11
5) + u(6; 1; 3):
3.3 Thu“t to¡n
Do â wnew = wt. Sau mºt lƒn nœa v÷æt qua vÆng l°p ch‰nh, trong â Gnew khæng thay Œi, thu“t to¡n k‚t thóc. Do â, ƒu ra cuŁi còng l (3.6), l cì sð Grobner ÷æc ¡nh d§u cıa I Łi vîi thø tü ‰ch.
V‰ dö 3.2. p döng ÷íng i Grobner ” chuy”n Œi cì sð G(3) cho i ¶an
ð tr¶n cho cì sð G(4) . L§y >
s = >
(2;7;1); grevlex v >
t = >
(3;1;6); grevlex :
Nhi•u ÷u th‚ cıa ÷íng i bà m§t n‚u câ nhi•u sŁ h⁄ng trong wnew-d¤n ƒu. i•u n y câ xu h÷îng x£y ra n‚u mºt phƒn cıa ÷íng n‹m trong mºt m°t cıa h…nh nân n o â, ho°c n‚u ÷íng i qua c¡c i”m câ nhi•u h…nh nân giao nhau.
V‰ dö ti‚p theo l mºt øng döng cıa thu“t to¡n ÷íng i Grobner cho mºt v§n • nh÷ t…m ph÷ìng tr…nh 'n l§y c£m høng tł c¡c v‰ dö ÷æc nghi¶n cøu trong thi‚t k‚ robot v thi‚t k‚ câ sü hØ træ m¡y t‰nh.
°t C1 v C2 l hai ÷íng cong trong R3. M°t ph¥n gi¡c cıa C1 v C2 l quÿ t ‰ch cıa c¡c i”m P câ còng kho£ng c¡ch vîi C1 v C2. Ph¥n gi¡c ÷æc sß döng, v‰ dö, trong k‚ ho⁄ch chuy”n ºng ” t…m ÷íng tr¡nh ch÷îng ng⁄i v“t trong mæi tr÷íng xung quanh. Chóng ta s‡ ch¿ xem x†t tr÷íng hæp C1 v C2 ho n to n trìn tru c¡c ÷íng cong ⁄i sŁ giao nhau C1 = V (f1; g1)
vC2 = V (f2; g2). ( i•u n y bao gçm hƒu h‚t c¡c tr÷íng hæp quan t¥m ‚n mæ h…nh ki”u khŁi, chflng h⁄n nh÷ c¡c ÷íng thflng, vÆng trÆn v c¡c h…nh nân kh¡c, v.v.). P = (x; y; z) n‹m tr¶n ÷íng ph¥n gi¡c cıa C1 v C2 n‚u tçn t⁄i Q1 = (x1; y1; z1) 2 C1 v Q2 = (x2; y2; z2) 2 C2 sao cho kho£ng c¡ch tł P ‚n Ci l tŁi thi”u t⁄i Qi; i = 1; 2 v kho£ng c¡ch tł P ‚n Q1 b‹ng kho£ng c¡ch tł P ‚n Q2. Thay v… nh§n m⁄nh v o møc tŁi thi”u tuy»t Łi cıa h m kho£ng c¡ch tł P ‚n Ci t⁄i Qi, ìn gi£n hìn l h m kho£ng c¡ch ìn gi£n ch¿ câ mºt i”m tîi h⁄n ð â. D„ d ng th§y r‹ng i•u ki»n n y t÷ìng ÷ìng vîi vi»c nâi r‹ng o⁄n thflng tł P ‚n Qi l trüc giao vîi ÷íng ti‚p tuy‚n vîi Ci t⁄i Qi.
V‰ dö 3.3. Chøng minh r‹ng kho£ng c¡ch tł Ci ‚n P câ mºt i”m tîi h⁄n t⁄i Qi khi v ch¿ khi o⁄n thflng tł P ‚n Qi l trüc giao vîi ÷íng ti‚p tuy‚n vîi Ci t⁄i Qi, v i•u n y t÷ìng ÷ìng vîi
(rfi(Qi) gi(Qi)):(P Qi) = 0
Trong â rfi(Qi) bi”u thà vectì º dŁc cıa fi t⁄i Qi v l ph†p nh¥n trong R3. B‹ng b i t“p n y, chóng ta câ th” t…m th§y ph¥n gi¡c nh÷ sau. °t (xi; yi; zi) l mºt i”m chung Qi tr¶n Ci v P = (x; y; z). X†t h» ph÷ìng tr…nh 0 = f1(x1; y1; z1) 0 = g1(x1; y1; z1) 0 = f2(x2; y2; z2) 0 = g2(x2; y2; z2) 0 = (rf1(x1; y1; z1) rg1(x1; y1; z1)):(x x1; y 0 = (rf2(x2; y2; z2) rg2(x2; y2; z2)):(x x2; y 0 = (x x1)2 +(y y1)2 +(z z1)2 (x x2)2 (y y2)2 (z z2)2:
°t J R[x1; y1; z1; x2; y2; z2; x; y; z] l i ¶an ÷æc t⁄o bði b£y a thøc n y. Khi â, ph¥n gi¡c s‡ ÷æc chøa trong V (I), trong â I l i ¶an khß
I = J \ R[x; y; z]. Chøng minh ÷æc ti‚n h nh nh÷ sau. P = (x; y; z) n‹m tr¶n ph¥n gi¡c cıa C1 v C2 khi v ch¿ khi tçn t⁄i Qi = (xi; yi; zi) sao cho Qi 2 Ci; Qi l gi¡ trà nhä nh§t cıa h m kho£ng c¡ch ‚n P, bà giîi h⁄n ‚n Ci v P Q1 = P Q2. Do â, P n‹m trong ph¥n gi¡c khi v ch¿ khi c¡c ph÷ìng tr… nh trong (3.7) thäa m¢n cho mºt sŁ (xi; yi; zi) 2 Ci. Do â, P
l h…nh chi‚u cıa mºt sŁ i”m trong V (J), do â n‹m trong V (I). L÷u þ r‹ng (3.7) chøa b£y ph÷ìng tr…nh vîi ch‰n 'n sŁ, v… v“y chóng tæi hy vång r‹ng V (J) v ph†p chi‚u V (I) cıa nâ câ hai chi•u nâi chung. Chflng h⁄n,
n‚u C1 l khŁi xo›n V (y
th… J i ¶an cıa l
J = hy1 x12; z1 x13; x2; y2
(x x1)2 + (y y1)2 + (z
p döng ÷íng i Grobner
3.3 Thu“t to¡n
(1; 1; 1; 1; 1; 1; 0; 0; 0), câ thuºc t‰nh khß mong muŁn ” t‰nh J \ R[x; y; z]. Sß döng khai tri”n ÷íng i Grobner, chóng ta ¢ t‰nh to¡n cì sð >w;grevlex cho J nh÷ trong (3.8). Nh÷ chóng ta mong æi, i ¶an khß ÷æc t⁄o ra bði mºt a thøc duy nh§t:
J \ R[x; y; z] = h5832z6y3 729z8 34992x2y 14496yxz 14328x2z2+
24500x4y2 23300x4y + 3125x6 + 5464z2 36356z4y + 1640xz3 + 4408z4
+ 63456y3xz3 + 28752y3x2z2 201984y3 16524z6y2 175072y2z2+ 42240y4xz 92672y3zx + 99956z4y2 + 50016yz2 + 90368y2 + 4712x2+
3200y3x3z + 6912y4xz3 + 13824y5zx + 19440z5xy2 + 15660z3x3y + 972z4x2y2
+ 6750z2x4y 61696y2z3x + 4644yxz5 7134xz5 + 64464yz2x2
+ 7074z6y + 18381z4x2
139264y5 2048y7 1024y
48896y5z2 104224y
:8748z6x2 + 97024y2x2 + 58560y2zx + 240128y4 + 286912y3z2 + 10840xyz3+
1552x3z 3750zx5i
Rª r ng c¡c h…nh nân t÷ìng øng vîi hai ìn thø tü ìn thøc >s; >t r§t gƒn nhau trong qu⁄t Grobner Łi vîi J óng nh÷ mmong æi. C¡c d⁄ng d¤n ƒu cıa wnew trong b÷îc thø hai cıa ÷íng i chøa mºt sŁ l÷æng lîn c¡c sŁ h⁄ng ri¶ng bi»t.
Theo kinh nghi»m, ngo i vi»c t«ng tŁc º, ÷íng i Grobner công câ xu h÷îng sß döng ‰t bº nhî hìn ” l÷u trœ c¡c a thøc trung gian so vîi thu“t to¡n cıa Buchberger vîi mºt thø tü khß. i•u n y câ ngh¾a l ngay c£ khi vi»c ÷íng i Groebner m§t nhi•u thíi gian ” ho n th nh, th… nâ th÷íng v¤n s‡ ÷æc thüc hi»n th nh cæng Łi vîi c¡c v‰ dö phøc t⁄p khæng kh£ thi khi sß döng c¡c gâi cì sð Grobner cıa c¡c h» thŁng ⁄i sŁ m¡y t‰nh ti¶u chu'n. C¡c k‚t qu£ t÷ìng tü ¢ ÷æc b¡o c¡o ð mºt sŁ l“p tr…nh