- Học phần tiên quyết: MAT6003
- Tóm tắt nội dung: Khi nghiên cứu đa tạp trơn và không gian tiếp xúc của đa tạp trơn, ta đã có những ví dụ đầu tiên, cơ bản nhất về bó véctơ. Bó véctơ là một phép xây dựng tôpô dựng nên một họ các không gian véctơ, được “tham số hóa” bởi một không gian tôpô X. Với mỗi điểm x của X, ta có liên kết một không gian véctơ V(x) sao cho các không gian véctơ này gắn kết với nhau để tạo thành một không gian mới, cùng kiểu với X. Nó được gọi là bó véctơ trên X.
Khái niệm lớp đặc trưng được đưa ra vào năm 1935 trong các công trình của Stiefel và Whitney về trường véctơ trên đa tạp. Một lớp đặc trưng là một
38
cách thức cho tương ứng mỗi bó chính trên một không gian X với một lớp đối đồng điều của X. Lớp đối đồng điều này sẽ đóng vai trò làm “thước đo” độ xoắn của bó – ví dụ khi nào thì bó có lát cắt hay không.
Có thể xây dựng phép toán cộng của các bó véctơ trên cùng một không gian nền theo một cách hoàn toàn tự nhiên và hình học. Từ đó, ta có thể định nghĩa một khái niệm yếu hơn về đẳng cấu giữa các bó véctơ – hai bó véctơ trên cùng một không gian nền được gọi là đẳng cấu ổn định với nhau nếu chúng trở nên đẳng cấu sau khi mỗi bó được lấy tổng trực tiếp với một bó véctơ tầm thường nào đó. Khái niệm này dẫn đến K-lý thuyết, là một trong những công cụ mạnh để giải quyết nhiều bài toán hình học như vấn đề bất biến Hopf 1, bài toán về trường véctơ trên mặt cầu…