T½nh ch§t (*) èi vîi mæun èi çng i·u àa ph÷ìng c§p cao nh§t

MÆUN ÈI ÇNG I—U ÀA PH×ÌNG C‡P CAO NH‡T

2.2 T½nh ch§t (*) èi vîi mæun èi çng i·u àa ph÷ìng c§p cao nh§t

i·u àa ph÷ìng c§p cao nh§t

Tø ti¸t n y trð v· sau, ta luæn gi£ sû M l  R-mæun húu h¤n sinh vîi dimM = d. Trong ti¸t n y, chóng tæi s³ i nghi¶n cùu t½nh ch§t (*) cho mæun èi çng i·u àa ph÷ìng c§p cao nh§t Hmd(M).

¦u ti¶n, chóng tæi s³ tr¼nh b y mët t½nh ch§t °c tr÷ng cõa Hmd(M)

(Xem [5], H» qu£ 3.6). Bê · 2.2.1. N-dimHd

Chùng minh. V¼ M l  R-mæun húu h¤n sinh n¶n tçn t¤i mët sè nguy¶n n v  mët d¢y khîp ng­n c¡c R-mæun húu h¤n sinh:

0→ K →Rn → M → 0.

Khi â ta ÷ñc d¢y khîp Hmd(Rn) →Hmd(M) →0.Hìn núa v¼ dimR = d

n¶n ta câ Hmd(R) l  mët R-mæun Artin v 

AttRb Hmd(R) = {p ∈ SpecR,b dimR/b p = d,dimR/b (mRb+p) = 0}.

Do â Hmd(M) l  mët R-mæun Artin v 

AttRb Hmd(M) ⊆ {p ∈ SpecR,b dimR/b p = d,dimR/b (mRb+p) = 0}.

M°t kh¡c v¼ Hmd(M) 6= 0 n¶n AttRb Hmd(M)6= ∅. Do â ta ÷ñc N-dimR Hmd(M)= N-dimRb Hmd(M) = dimRb Hmd(M) = d.

L¤i câ dimR/AnnHmd(M) =d. N¶n tø â suy ra

N-dimHmd(M) =dimR/AnnHmd(M) =d.

K½ hi»u UM(0) l  mæun con lîn nh§t cõaM câ chi·u nhä hìnd. Chó þ r¬ng n¸u 0 = \

p∈AssM

N(p) l  mët ph¥n t½ch nguy¶n sì thu gån cõa mæun con 0 cõa M. Khi â theo [6], ta câ

UM(0) = \ dimR/p=d

N(p).

Do â ta câ

V¼ vªy

SuppM/UM(0) = [

p∈AssM,dimR/p=d

V(p).

ành ngh¾a 2.2.2. SuppM/UM(0) ÷ñc gåi l  gi¡ khæng trën l¨n cõa mæun M v  ÷ñc k½ hi»u bði UsuppM.

K¸t qu£ ¦u ti¶n v· gi¡ khæng trën l¨n l  Bê · sau.

Bê · 2.2.3. Cho p ∈ SuppM. Khi â p ∈ UsuppM n¸u v  ch¿ n¸u

p ⊇ AnnHmd(M). °c bi»t UsuppM = V(AnnHmd(M)).

Chùng minh. Tø M»nh · 1.8.3, ta câ

AttHmd(M) = {q ∈ AssM : dimR/q = d}.

Hìn núa, theo M»nh · 1.6.3 (ii) tªp c¡c i¶an nguy¶n tè tèi tiºu chùa AnnHmd(M) ch½nh l  tªp c¡c ph¦n tû tèi tiºu cõa AttHmd(M). Do â

V(AnnHmd(M)) = [

p∈AssM,dimR/p=d

V(p) = UsuppM.

Chóng ta câ nhúng mèi li¶n h» giúa c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t v  c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa ¦y õ m-adic Mc, giúa tªp gi¡ cõa M v  gi¡ cõa M .c Ch¯ng h¤n:

AssM = {bp∩R : bp ∈ AssRbMc}.

SuppM = {bp∩R : bp ∈ SuppRbMc}.

Hìn núa

V¼ vªy, mët c¥u häi tü nhi¶n v· mèi li¶n h» giúa UsuppM v  UsuppRbMc

¢ ÷ñc °t ra. Tr÷îc h¸t, chóng ta câ Bê · sau. Bê · 2.2.4. UsuppM ⊇ {bp∩R : pb∈ UsuppRbMc}.

Chùng minh. Cho bp ∈ UsuppM .c Khi â bp ⊇ bq vîi mët bq ∈ AssRbMc n o â thäa m¢n i·u ki»n dimR/b bq = d. V¼ AssRM = {bp ∩ R : bp ∈ AssMc}

n¶n suy ra bq∩ R ∈ AssM v  dimR/bq∩R = d.

V¼ bp ∩ R ⊇ bq ∩ R n¶n tø ành ngh¾a cõa gi¡ khæng trën l¨n ta suy ra

bp∩R ∈ UsuppM. Vªy

UsuppM ⊇ {bp∩R : pb∈ UsuppRbMc}.

Têng qu¡t, hai tªp UsuppM v  tªp {bp ∩ R : bp ∈ UsuppRbMc} l  kh¡c nhau nh÷ng ành lþ sau s³ chùng minh r¬ng hai tªp hñp â l  gièng nhau n¸u v  ch¿ n¸u Hmd(M) thäa m¢n t½nh ch§t (*). Hìn núa chóng ta câ mët °c tr÷ng t½nh ch§t (*) thæng qua h» tham sè cõa Hmd(M).

ành lþ 2.2.5. C¡c m»nh · sau l  t÷ìng ÷ìng: (i) Hmd(M) thäa m¢n t½nh ch§t (*).

(ii) UsuppM = {bp∩R :bp ∈ UsuppRbMc}.

(iii) Vîi méi d¢y x = (x1, ...,xd) c¡c ph¦n tû trong m, x = (x1, ...,xd)

l  mët h» tham sè cõa Hd

m(M) n¸u v  ch¿ n¸u nâ l  mët h» tham sè cõa

M/UM(0).

Chùng minh. (i)⇔ (ii). Tø Bê · 2.2.3 ta ÷ñc V(AnnHmd(M)) = UsuppM

i·u ki»n

V(AnnHmd(M)) = {bp∩R : bp ∈ V(AnnRbHmd(M))}.

Theo M»nh · 2.1.2 ta ÷ñc i·u c¦n chùng minh.

(i) =⇒ (iii). Gi£ sû x = (x1, ...,xd) l  mët h» tham sè cõa Hmd(M) v  I l  i¶an sinh bði x1, ...,xd. Tø (i) ta ÷ñc

p = Ann(0 :Hd

m(M) p) ⊇ Ann(0 :Hd

m(M) I)

vîi méi p l  i¶an nguy¶n tè cõa R chùa I+AnnHmd(M).

Do â rad(I+AnnHmd(M)) = \ p⊇I+AnnHd m(M) p ⊇ rad(Ann(0 :Hd m(M) I)). Do â

rad(I+ AnnHmd(M)) = rad(Ann(0 :Hd

m(M) I)).

V¼ x = (x1, ...,xd) l  mët h» tham sè cõa Hmd(M) n¶n `(0 :Hd

m(M) I) l  húu h¤n. V¼ th¸ ta ÷ñc I+ AnnHmd(M) l  mët m-i¶an nguy¶n sì.

M°t kh¡c, theo Bê · 2.2.3

rad(AnnHmd(M)) = rad Ann(M/UM(0)),

n¶n I+ Ann(M/UM(0)) l  m-i¶an nguy¶n sì. Do â x = (x1, ...,xd) l  mët h» tham sè cõa M/UM(0).

Ng÷ñc l¤i, gi£ sû r¬ng x = (x1, ...,xd) l  mët h» tham sè cõa M/UM(0). Khi â, I+Ann(M/UM(0)) l  m-i¶an nguy¶n sì, v¼ th¸ I+AnnHmd(M)

công l  m-i¶an nguy¶n sì. Tø â, suy ra `(0 :Hd

m(M) I) < ∞, tùc l 

(iii) =⇒ (i). Cho p ∈ V(AnnHmd(M)). Gi£ sû r¬ng N-dim(0 :Hd

m(M) p) =

d− r. Khi â, theo ([21], M»nh · 2.10) tçn t¤i x1, ...,xr ∈ p lªp th nh mët ph¦n h» tham sè cõa Hmd(M) trong p. Rã r ng, ph¦n h» tham sè n y l  cüc ¤i trong p. °t

0 :Hd

m(M) (x1, ...,xr)R = A1 +...+An l  mët biºu di¹n thù c§p tèi thiºu cõa 0 :Hd

m(M) (x1, ...,xr)R, trong â Ai l  qi-thù c§p. Vîi méi y ∈ m, chó þ r¬ng y l  mët ph¦n tû tham sè cõa 0 :Hd

m(M) (x1, ...,xr)R n¸u v  ch¿ n¸u y ∈/ qi vîi måi i thäa m¢n N-dimAi = d−r (Xem [21], Bê · 2.14).

V¼ (x1, ...,xr) l  mët ph¦n h» tham sè cüc ¤i cõa Hmd(M) trong p n¶n ta câ

p ⊆ [

N-dim Ai=d−r

qi

v  do â p ⊆ qi vîi i n o â thäa m¢n i·u ki»n N-dimAi = d−r. Tø gi£ thi¸t (iii), ta câ thº kiºm tra r¬ng (x1, ...,xr) l  mët ph¦n h» tham sè cüc ¤i cõa M/UM(0) trong p. V¼ th¸ tçn t¤i mët i¶an nguy¶n tè

q ∈ Ass M/UM(0)/(x1, ...,xr)M/UM(0)

sao cho dimR/q = d−r v  p ⊆ q.

Hìn núa v¼ p ∈ Supp M/UM(0)/(x1, ...,xr)M/UM(0) n¶n ta suy ra

p = q. Do â, dimR/p = d−r. V¼ Ai l  qi-thù c§p, n¶n theo Bê · 2.2.4 (i) ta ÷ñc N-dimAi ≤ dimR/qi. M°t kh¡c, v¼ p ⊆ qi n¶n ta câ

d−r = N-dimAi ≤ dimR/qi ≤dimR/p = d−r.

Do â p = qi n¶n suy ra

p ∈ Att(0 :Hd

Khi â, tçn t¤i i¶an nguy¶n tè bp ∈ AttRb(0 :Hd

m(M) (x1, ...,xr)R) sao cho

bp∩R = p. i·u n y k²o theo

p ⊆ Ann(0 :Hd

m(M) p) ⊆ AnnRb(0 :Hd

m(M) bp)∩R =bp∩R = p.

Do â Ann(0 :Hd

m(M) p) = p.