Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
Bài 1: Cho đường tròn O bán kính OA và đường tròn đuờng kínhOA .
a) Hãy xác đinh vị trí của hai dường tròn O và dường tròn dưìmg kínhOA.
b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏởC . Chứng minh rằngAC CD.
Bài 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn trong các trường hợp sau đây :
a) R6 ; ’ 4cm R cm . b) R5cm R: ’ 3 cm . F E B A M O H
29. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ xOy cho hai điểm A1;1 và B 3;0 . Vẽ các đường tròn A r; vàB r; ’
. Khi r3 vàr’ 1 , hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.
Bài 4. Cho ABC B C , 900, đường caoAH. Từ H kẻ HK vuông góc với AB tại K HI, vuông góc với AC tạiI . Xác định vị trí tương đốì của đường tròn ngoại tiếp BHK và đường tròn ngoại tiếpCHI
.
Dạng 2: Chứng minh các tính chất và hệ thức hình học
Bài 5: Cho hai đường tròn O R; và (O R'; ) tiếp xúc ngoài tạiA. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
,
, '
BC B O C O . Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC lạiI . Chứng minh rằng :
a)SIO' 90 ; b)BC2 RR'.
Bài 6: Cho hai đường tròn O và O' cắt nhau tại A vàB , trong đó O' nằm trên đường tròn O . Kẻ đường kính O C' của dường tròn O .
a) Chứng minh rằng CA, CB là hai liếp tuyến của (O’).
b) Đường vuông góc với AO’ tại O' cắt CB tạiI. Đường vuông góc với AC tại C cắt Bài 7. Cho hai đường tròn O R1; 1 và( ; )O R2 2 (với R1R2) tiếp xúc ngoài tại A; Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài BC
và DE (với B D, O1 ; ,C E O2 ). Chứng minh rằng : BC DE BD CE
Bài 8. Cho hai đường tròn O1 , O2 ngoài nhau, vẽ các tiếp tuyến chung ngoài AB và CD (với A D, thuộc O1 ; B C, thuộc O2 ). Nối AC cắt O1 tại M ; cắt O2 tại N (M A N C, ). Chứng minh rằng : AM NC
Dạng 3: Tính độ dài đoạn thẳng
Bài 9: Trong hình dưới cho hai đường tròn đồng tâmO . Cho biết BC là đường kính của đường tròn lớn và có độ dài bằng 8. Dây CD là tiếp tuyến của đường tròn nhỏ vàBCD 30 . Hãy tính bán kính của đường tròn nhỏ.
30. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 10: Cho hai đường tròn O R; và O R'; cắt nhau tại M N, . Biết OO' 24 cm MN, 10cm. Tính
R.
Bài 11: Cho hai đường tròn (O R; ) và ( '; ')O R tiếp xúc ngoài tạiA . Kẻ tiếp tuyến chung ngoài MN với
M thuộc O N, thuộc O' . BiếtR9cm R. ' 4 cm . Tính độ dài đoạnMN.
Bài 12: Cho hai đường tròn O cm;3 và (O';4cm) cắt nhau tại A vàB. Qua A kẻ một cát tuyến cắt O
tạiM M A, cắt O' tạiN N A. NếuOO' 5 cm , hãy tính giá trị lớn nhất củaMN.
HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
Bài 1: Cho đường tròn O bán kính OA và đường tròn đuờng kínhOA .
c) Hãy xác đinh vị trí của hai dường tròn O và dường tròn dưìmg kínhOA.
d) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏởC . Chứng minh rằngAC CD.
Giải
a) Gọi O’ là tâm dường tròn đường kính OA thì đoạn nối tâm OO’OA OA ‘ tức là ’
d R R . Vậy dường tròn O’ tiếp xúc trong với O .
b) Vì tam giác ACO có cạnh AO là đường kính của ( )O’ ngoại tiếp nên nó vuông tại C
hay OC vuông góc với dâyAD . VậyAC CD .
Bài 2: Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn trong các trường hợp sau đây :
c) R6 ; ’ 4cm R cm .
d) R5cm R: ’ 3 cm .
Giải
a) Vì R R ' 6 cm4cm2cm d nên hai đường tròn tiếp xúc trong
b) Vì R R ' 5 cm3cm8cm d do dóR R ’ d R R’ . Vây hai đường tròn cắt nhau.
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ xOy cho hai điểm A1;1 và B 3;0 . Vẽ các đường tròn A r; vàB r; ’
. Khi r3 vàr’ 1 , hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.
31. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com Độ dài đoạn nối tâm: 2 2 (3 1) 1 17 dAB (1) Tổng hai bán kính :r r ’ 3 1 4 . (2)
Từ (1) và (2) ta thấy 17 4 nên hai đường tròn không giao nhau ; hai đường tròn A và B nằm ngoài nhau.
Bài 4. Cho ABC B C , 900, đường caoAH. Từ H kẻ HK vuông góc với AB tại K HI, vuông góc với AC tạiI . Xác định vị trí tương đốì của đường tròn ngoại tiếp BHK và đường tròn ngoại tiếpCHI
.
Giãi Trường hợp 1 :
Xét ABC có B 90 vàC90. Gọi O O1, 2 lần lượt là trung điểm của BH vàCH . Vì BHK vuông tại K O, 1 là trung điếm của cạnh huyền BH nên
1 1 1 1 1 KO O B O H BH R 2 O R1; 1 là đường tròn ngoại liếp BHK.
32. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Ta có R1R2 O H O H O O1 2 1 2 nên O R1; 1 tiếp xúc ngoài tai H vớiO R2: 2 .
Trường hợp 2 :
Xét ABC có B 90 (hoácC 90) (Các hình vẽ khác ta chứng minh tương tự). Lập luận tương tự như trường hợp 1 ta có:
1 2 2 1
O O R R nên ( ; )O R1 1 và O R2: 2 tiếp xúc trong tạiH.
Dạng 2: Chứng minh các tính chất và hệ thức hình học
Bài 5: Cho hai đường tròn O R; và (O R'; ) tiếp xúc ngoài tạiA. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài
,
, '
BC B O C O . Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC lạiI . Chứng minh rằng :
a)SIO' 90 ; b)BC2 RR'.
Giải
a)
Ta có IB IA, là hai tiếp tuyến của O nên I1I IC IA2; , là hai tiếp tuyến của O' nên I3I4 Suy ra :
2 3
OIO I I 180 : 2 90
b) Ta có IB IA, là hai liếp tuyến của O nên IB IA vàIA OA ; IC IA, là hai tiếp tuyến của O’ nên ICIA vàIA O A ' . Suy ra :IA IB IC.
33. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Ba điếm O A O, , ' thẳng hàng vàIAOO’ . Áp dụng hệ thức : h2 b c'. ’ vào tam giác vuôngOIO’ , ta có :IA2OA O A. ’ IA R R. ’.
Mạt khác : BCIB IC 2IA nênBC2 RR'.
Bài 6: Cho hai đường tròn O và O' cắt nhau tại A vàB , trong đó O' nằm trên đường tròn O . Kẻ đường kính O C' của dường tròn O .
c) Chứng minh rằng CA, CB là hai liếp tuyến của (O’).
d) Đường vuông góc với AO’ tại O' cắt CB tạiI. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng '
O B ởK. Chứng minh rằng ba điếm O I K, , thẳng hàng.
a) Tam giác CAO’ có đường trung tuyến AO ứng với cạnh CO’ bằng nửa cạnh CO’ nênCAO’ 90
. Mà A O’ nên CA là liếp tuyến của O’ tạiA. Tương tự ta có CB là tiếp tuyến của (O').
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau thì :
Từ (3), (4) (5) suy ra O, I, K cùng thuộc đường trung trực của CO’. Vây ba điếm O, I, K thẳng hàng.
Bài 7. Cho hai đường tròn O R1; 1 và( ;O R2 2) (với R1R2) tiếp xúc ngoài tại A; Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài BC và DE (với B D, O1 ; ,C E O2 ). Chứng minh rằng : BC DE BD CE
Giải
Vẽ tiếp tuyến chung tại A lần lượt cắt BC, DE tại M và N. Vì MA, MB là tiếp tuyến của O1 nên MA = MB.
Vì MA, MC là tiếp tuyến cúa (O2) nên MA = MC => MA = MB = MC. Chứng minh tương tự ta có : NA = ND = NE.
34. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 2 BC DE MN . (1)
Gọi giao điểm của BC và DE là K, khi đó K thuộc đường thẳng O O1 2 => KB = KD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Mà O B O D R1 1 1 nên KO1 là trung trực của đoạnBDO O1 2 BD. Chứng minh tương lự ta được O O1 2CE
=> tứ giác BCED là hình thang (vì BD // CE).
Vì M, N lần lươt là trung điếm của BC và DE nên 2MN = BD + CE (2) (tính chất dường trung bình). Từ (1) và (2) suy ra : BC + DE = BD + CE.
Bài 8. Cho hai đường tròn O1 , O2 ngoài nhau, vẽ các tiếp tuyến chung ngoài AB và CD (với A D, thuộc O1 ; B C, thuộc O2 ). Nối AC cắt O1 tại M ; cắt O2 tại N (M A N C, ). Chứng minh rằng : AM NC
Giãi
Vẽđường trung trực d của đoạn AB, d cắt O O1 2 tại I. Khi đó IA = IB. Ta có B và C đối xứng nhau quaO O1 2IB IC IA IC .
Kẻ IH AC tại H ta có HA = HC (vì IAC cân tại I). Kc O K1 AC tai K, O G2 AC tạiGO K1 / /IH/ /O G2 .
Xét hình thang ABO2O| (vì O A O B1 / / 2 do cùng vuông góc với AB) ta có d/ /AO1/ /BO2 và d di qua trung điểm của AB nên d đi qua trung điểm của O O1 2 hay I là trung điểm của O O1 2.
Xét hình thang O KO G1 2 có IH/ /O K O G1 / / 2 và I là trung điếm của O O1 2 nên H là trung điếm của
KGHK HGHA HK HC HG hay AK GC 2AK 2GC AM CN
35. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com
Bài 9: Trong hình dưới cho hai đường tròn đồng tâmO . Cho biết BC là đường kính của đường tròn lớn và có độ dài bằng 8. Dây CD là tiếp tuyến của đường tròn nhỏ vàBCD 30 . Hãy tính bán kính của đường tròn nhỏ.
Giải
Ta có BC 8 nên bán kính đường tròn lớn là OC4. Vì CA là tiếp tuyến của đường tròn nhỏ nên 0
sin 30 2