Singer [11] định nghĩa đồng cấu chuyển đại số
trk : TorAk,k+n(F2,F2)−→(F2⊗APk)GLk
trong đó TorA
k,k+n(F2,F2) đẳng cấu với nhóm đối đồng điều của đại số Steenrod Extk,kA +n(F2,F2) mà là hạng tử E2 của dãy phổ Adams của mặt cầu. Singer chứng minh trong [11] rằng trk là đẳng cấu với k = 1,2 và tại các bậc nào đó với k= 3,4nh-ng tr5 không đẳng cấu tại bậc 9. Về sau Boardman [1] chứng minh rằng tr3 cũng là đẳng cấu.
Với k ≥ 4, đồng cấu này đang đ-ợc sự quan tâm nghiên cứu bởi nhiều tác giả. Kết quả trong mệnh đề sau đây đ-ợc trình bày trong Bruner-Hà-H-ng [3] và H-ng [4].
Mệnh đề 2.2.1. ([3], [4]) Đồng cấu chuyển đại số trk không là phép đẳng cấu với k≥4. Hơn nữa, với k = 4 và với k >5 có vô hạn bậc mà tại đó trk không là một phép đẳng cấu.
Giả sử G là một nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát GLk. Tác động của G trên Pk đ-ợc xác định nh- sau:
Với mọi f ∈Pk, σ = (σij)∈G,
(σf)(x1, x2, . . . , xk) =f(σx1, σx2, . . . , σxk), trong đó σxj = k X i=1 σijxi, 1≤j ≤k.
Với tác động xác định nh- trên, đại số đa thức Pk là G-môđun. Đa thức f ∈Pk gọi là bất biến đối với nhóm G nếu σf =f, với mọi
σ ∈G.
Ký hiệu PkG là tập hợp tất cả các bất biến của Pk đối với nhóm G. Khi đó PkG là đại số con của đại số đa thức Pk.
Các tác động của nhóm G và của A giao hoán với nhau nên đại số
PkG cũng là A-môđun.
Ký hiệu W5 là không gian véc tơ con 5 chiều của P5 sinh bởi
bởi các đồng cấu σi :W5 →W5 với i= 1,2,3,4,5, đ-ợc xác định bởi x x1 x2 x3 x4 x5 σ1(x) x1 x2 x3 x5 x4 σ2(x) x1 x2 x4 x3 x5 σ3(x) x1 x3 x2 x4 x5 σ4(x) x2 x1 x3 x4 x5 σ5(x) x1+x2 x2 x3 x4 x5.
Các đồng cấu σ1, σ2, σ3, σ4 là các phần tử sinh của nhóm đối xứng Σ5 ⊂GL5.
Giả sử θ=P912
i=1γiui là một bất biến của (F2⊗AP5)19 đối với tác động của nhóm GL5. Khi đó,θ là một GL5−bất biến khi và chỉ khi σi(θ) =θ, với i = 1,2,3,4,5. Nh- vậy sử dụng các kết quả trong phần 1 và tính toán trực tiếp ta thu đ-ợc kết quả sau.
Mệnh đề 2.2.2. (F2⊗AP5)GL5 19 = 0. Mặt khác, theo Kameko[6], ta có Mệnh đề 2.2.3. Với s>4, (Sqf0∗)s: (F2⊗AP5)2s+1+2s−5 −→(F2 ⊗AP5)19 là một GLk−đẳng cấu. Do đó, ta thu đ-ợc kết quả Mệnh đề 2.2.4. Với s>3, (F2⊗AP5)GL5 2s+1+2s−5 = 0.
Hệ quả 2.2.5. Nếu TorA5,2s+1+2s(F2,F2)6= 0 thì đồng cấu chuyển đại số
tr5 :TorA5,2s+1+2s(F2,F2)−→(F2⊗AP5)GL5
2s+1+2s−5
Kết luận và kiến nghị
Trong đề tài này, chúng tôi đã trình bày những vấn đề sau:
1. Chứng minh chi tiết một số kết quả về các hàm số học; các đơn thức chấp nhận đ-ợc và đơn thức hit trong đại số đa thức đ-ợc xét nh- môđun trên đại số Steenrod.
2. Xác định t-ờng minh tất cả các đơn thức chấp nhận đ-ợc trong đại số đa thức 5 biến tại các bậc có dạng 2s+1+ 2s−5.
3. Khảo sát đồng cấu chuyển đại số thứ 5 của Singer tại các bậc t-ơng ứng.
Tài liệu tham khảo
[1] J. M. Boardman (1993), “Modular representations on the homology of power of real projective space”, Algebraic topology: Oaxtepec 1991, M. C. Tangora (ed.) Contemp. Math. Amer. Math. Soc. Prov- idence RI, (146), 49-70.
[2] R. R. Bruner, L. M. Hà and N. H. V. H-ng (2005), “On behavior of the algebraic transfer”, Trans. Amer. Math. Soc. (357), 473-487. [3] L. M. Hà (2007), “Sub-Hopf algebras of the Steenrod algebra and the Singer transfer”, Proceedings of the International School and Conference in Algebraic Topology, Hanoi 2004, Geometry and Topology Monographs (11), 85-105.
[4] N. H. V. H-ng (2005), “The cohomology of the Steenrod algebra and representations of the general linear groups”, Trans. Amer. Math. Soc. (357), 4065-4089.
[5] T. N. Nam (2004), “A-ge0ne0rateurs ge0ne0riquess pour l0algebre polynomiale”, Adv. Math. (186), 334-362.
[6] M. Kameko (1990), Products of projective spaces as Stennrod modules, Ph. D. Thesis, Johns Hopkins University.
[7] M. Kameko (2003), “Generators of the cohomology of BV4”, Preprint.
[8] F. P. Peterson (1987), “Generators of H∗(RP∞ìRP∞) as a module over the Steenrod algebra”, Abstracts Amer. Math. Soc. No.(833). [9] V. T. N. Quynh (2007), “On behavior of the fifth algebraic transfer”, Proceedings of the International School and Conference in Algebraic Topology, Hanoi 2004,Geometry and Topology Mono- graphs (11), 309-326.
[10] J. H. Silverman (1995), “Hit polynomials and the canonical anti- monomorphism of the Steenrod algebra”, Proc. Amer. Math. Soc.
(123), 627-637.
[11] W. M. Singer (1989), “The transfer in homological algebra”,
Math. Zeit. (202), 493-523.
[12] W. M. Singer (1991), “On the action of the Steenrod squares on polynomial algebras”, Proc. Amer. Math. Soc. (111), 577-583. [13] N. E. Steenrod and D. B. A. Epstein (1962), Cohomology opera-
tions, Ann. of Math. No. (50), Princeton University Press.
[14] N. Sum (2010), The negative answer to Kameko's conjecture on the hit problem, Adv. Math. 225, 2365-2390.
[15] N. Sum (2013), On the hit problem for the polynomial algebra,
C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 351, 565-568.
[16] N. Sum (2014), On the Peterson hit problem of five variables and its applications to the fifth Singer transfer , East-West J. Mathe- matics, Vol. 16, No 1, 34-49.
[17] N. Sum (2014), The hit problem for the polynomial algebra of four variables, Adv. Math. 60-pages (preprint).
[18] N. K. Tín (2012), “The admissible monomial basis for the polyno- mial algebra of five variables in degree eleven”, Journal of Science, QuyNhon University, Vol 2, VI, 81-89.
[19] N. K. Tín (2014), “The admissible monomial basis for the poly- nomial algebra of five variables in degree eight ”, Jour. Math. Sci. Appl. Vol 2, No. 2, 21-24.
[20] N. K. Tín (2014), “The admissible monomial basis for the poly- nomial algebra of five variables in degree 2s+1+ 2s−5 ”, East-West J. Mathematics, Vol. 16, No 1, 34-46.
[21] R. M. W. Wood (1989), “Steenrod squares of polynomials and the Peterson conjecture”, Math. Proc. Cambriges Phil. Soc. (105), 307-309.