2 Thuật toán Slice
2.4 Slice cơ sở
Trước hết, ta nhắc lại một số khái niệm sau.
Định nghĩa 2.4.1. Đặt R=A[X1, . . . ,Xn], trong đó A là một vành giao hoán bất kỳ.
(i) Đơn thức Xn ∈[[R]]được gọi làkhông chứa bình phương nếu với i=1, . . . ,d
ta có ni ∈ {0,1}. Iđêan đơn thức J ⊆Rđược gọi là không chứa bình phương nếu nó sinh bởi các đơn thức không chứa bình phương.
(ii)Sự rút gọncủa đơn thức f =Xn∈[[R]]là một đơn thức
red(f) = ∏
i∈Supp(f)
Xi.
Rõ ràng rằng red(f) là tích của các biến chia hết f :
red(f) =∏
Xi|f Xi.
Ví dụ 2.4.2. (i) Đặt R=A[X,Y,Z]. Các đơn thức không chứa bình phương trong
Rlà{1,X,Y,Z,XY,X Z,Y Z,XY Z}.
(ii) ChoR=A[X,Y,Z]và f = (X3Z4). Khi đó red(f) =X Z.
Chú ý 2.4.3. (i) Đơn thức f ∈[[R]] là không chứa bình phương nếu và chỉ nếu nó không chứaXi2, tức là khi và chỉ khi f =red(f).
(ii) Iđêan đơn thức trong R là không chứa bình phương nếu và chỉ nếu các đơn
thức trong một dãy sinh đơn thức rút gọn là không chứa bình phương.
Định nghĩa 2.4.4. Một slice (I,S,q) làslice cơ sởnếuI là iđêan đơn thức không chứa bình phương hoặc nếu x1. . .xn∤lcm(min(I)).
Mệnh đề 2.4.5. Nếux1. . .xn∤lcm(min(I)) thìmsm(I) = /0.
Chứng minh. Giả sửmsm(I)6= /0suy ra tồn tạid ∈msm(I).Khi đó với mọiitồn tạim∈min(I) sao chomlà xi-nhãn củad suy ram|dxi|lcm(min(I)).
Mặt khácdegxi(m) =degxi(d)+1suy raxi|m. Từ đây ta cóxi|m|lcm(min(I)). Vậy điều giả sử là sai.
Mệnh đề 2.4.6. Nếu I là iđêan không chứa bình phương và I 6= (x1, . . . ,xn) thì ta có msm(I) = /0.
Chứng minh. Giả sửmsm(I)6= /0suy ra tồn tạid ∈msm(I).Khi đó với mọiitồn tại mi ∈min(I) sao cho mi là xi-nhãn của d, suy ra m| dxi. Mặt khác, ta lại có
degxi(m) =degxi(d) +1,suy raxi|m. MàI là iđêan không chứa bình phương nên
degxi(m) =1suy rami =xi. VậyI = (x1, . . . ,xn)mâu thuẫn với giả thiết.