Nhóm, vành, trường các yếu tố cơ bản của một ngành toán học gọi là đại số trừu trượng (abstract algebra). Trong ngành toán này, chúng ta quan tâm đến một tập các phần tử, cách thức kết hợp phần tử thứ nhất và phần tử thứ hai để tạo thành một phần tử thứ ba (giống như trong số học thường ta dùng phép cộng và phép nhân áp dụng trên hai số cho ra kết quả số thứ ba)
9.1.1 Nhóm (Group)
Một nhóm, ký hiệu là {G,°}, là một tập Gcác phần tử và một phép kết hợp 2 ngôi ° thỏa mãn các điều kiện sau:
A1)Tínhđóng:
A2)Tínhkếthợp: A3)Phầntửđơnvị: A4)Phầntửnghịchđảo:
Vídụ1: Dễ thấy tập số nguyên Z và phép cộng số nguyên là một nhóm. Phần tử đơn vị là 0. Với a ∈ Z thì nghịch đảo củaa là –a. Tập Z có vô hạn phần tử nên nhóm này được gọi lànhómvôhạn.
Vídụ2: xét một tập S gồm n số nguyên {1,2,…,n}. Định nghĩa tập T có các phần tử là các hoán vị của tập S.
Ví dụ n = 4, như vậy {1,2,3,4}∈T, {3,2,1,4}∈T, ….. Tập T có 4! = 24 phần tử. Tiếp theo, định nghĩa phép kết hợp °như sau: c=a°b làmột hoán vị củaa theo thứ tự trongb. Ví dụ:a={2,3,4,1},b={3,2,4,1}. Hoán vị củaa theob là {4,3,1,2}.c cũnglàphần tử thuộc T nên thỏa tính chấtA1.
Nếu chọne={1,2,3,4} thì không làm thay đổi thứ tự củaa, còn sẽ hoán vịe trở thànha. Vì vậy {1,2,3,4} là phần tử đơn vị theo tính chấtA3.
Ta cũng có thể chứng minh tập T và phép hoán vị thỏa mãn hai tính chất còn lại A2
và A4. Nghĩa là T và phép hoán vị tạo thành một nhóm. Tập T cóhữu hạn phần tử nên nhóm này được gọi lànhómhữuhạn.
Một nhóm được gọi là nhóm Abel nếu có thêm tính chất sau:
A5)Tínhgiaohoán:
Dễ thấy tập Z là nhóm Abel trên phép cộng. Còn tập T và phép hoán vị không phải là nhóm Abel với n>2
Chonhóm{G,°},ta định nghĩa phép lũy thừa như sau:
129
Ví dụ: .
Ta gọi G là nhóm vòng nếu mọi phần tử của G đều biểu diễn được dưới dạng với
a thuộc G vàk là một số nguyên. Lúc nàya được gọi làphầntửsinh của tập G.
Ví dụ tập Z là một nhóm vòng vớia là 1: 5=15, – 4=(– 1)4
Mọi nhóm vòng đều có tính giao hoán nên đều là nhóm Abel.
9.1.2 Vành (Ring)
Một vành R, ký hiệu {R,+,×},làmột tập các phần tử và hai phép kết hợp 2 ngôi, gọi làphépcộng vàphépnhân, nếu các tính chất sau được thỏa mãn:
A1-A5)RlàmộtnhómAbeltheophépcộng:Rthỏa mãn các tính chất từA1 đếnA5, ta ký hiệu phần tử đơn vị là 0 và phần tử nghịch đảo của a trong phép cộng là –ạ Ta định nghĩa phép trừ làa–b=a+(–b)
M1)Tínhđóngđốivớiphépnhân: (viếttắtthaychodấu×)
M2)Tínhkếthợpđốivớiphépnhân:
M3)Tínhphânphốigiữaphépcộngvàphépnhân:
Ngắn gọn, trong một vành, chúng ta có thể thực hiện các phép cộng, trừ, nhân mà không ra khỏi vành (kết quả các phép toán cộng, trừ, nhân thuộcR)
Vídụ: cho tập các ma trận vuông cấp nvới số thực, các phép cộng và nhân ma trận tạo thành một vành.
Một vành được gọi là vành giao hoán nếu có thêm tính giao hoán đối với phép nhân:
M4)Tínhgiaohoánvớiphépnhân:
Ví dụ: cho tập các số nguyên chẵn, với các phép cộng và nhân thông thường, tạo thành một vành giao hoán, tập ma trận vuông cấpn như trên không phải là vành giao hoán.
Một vành được gọi là miền nguyên (integral domain) nếu đó là vành giao hoán và có thêm hai tính chất sau:
M5)Tồntạiphầntửđơnvịphépnhân: 1 1
M6)Liênquangiữaphépnhânvàphầntửđơnvịphépcộng:
9.1.3 Trường (Field)
Một trường, ký hiệu {F,+,×},làmột tập các phần tử và hai phép kết hợp 2 ngôi, gọi làphépcộng vàphépnhân, nếu các tính chất sau được thỏa mãn:
A1-A5,M1-M6)Flàmộtmiềnnguyên (thỏa các tính chất A1 đến A5 và M1 đến M6)
1
Ngắn gọn, trong một trường, chúng ta có thể thực hiện các phép cộng, trừ, nhân, chia mà không ra khỏi trường (kết quả các phép toán cộng, trừ, nhân, chia thuộc F). Định nghĩa phép chia là:
130
Ví dụ: tập các số thực với phép cộng và nhân thông thường là một trường. Tập các số nguyên không phải là trường vì không thực hiện được phép chiạ
9.2 SốhọcmodulovàtrườnghữuhạnGF(p)
Trong chương 4 chúng ta đã tìm hiểu về phép toán modulọ Dựa trên phép toán modulo, chúng ta xây dựng một tậpZn như sau:
Cho một số nguyênn: Zn={0,1,2,…,n-1}
Tương tự như tập số nguyênZ, trên tậpZn tacũng định nghĩa các phép cộng và nhân như sau: ∀a,b,c∈Zn: • Phép cộng: c=a +b nếuc Phép cộng trongZn Phép cộng trong số học thường • Phép nhân: c=ạb nếuc
Dễ thấy rằng tập Zn cùng với phép cộng trên thỏa mãn các tính c hất của một nhóm
Abel với phần tử đơn vị c ủa phép cộng là 0 (các tính chất từ A1 đến A5). Bên cạnh đó, tậpZ n cùng với phép cộng và phép nhân trên thỏa mã n các tính chất của
một miền nguyên với phầ n tử đơn vị của phép nhân là 1 (các tính chất từ M1 đến M6).
Ví dụ, với n = 7 thì phép nhân và phép cộng là như sau:
Tuy nhiên không phải tậpZn nào cũng thỏa tính chất M7, nghĩa là mọi phần tử khác 0 củaZn phải có phần tử nghịch đảo của phép nhân. Chỉ có với nhữngn là số nguyên tố thì
Znmới thỏa tính chất M7. (xem khái niệm 6 trong phần Lý thuyết số chương 4). Ví dụ với n=8 (không thỏa M7) và n= 7 (thỏa M7).
0 0 - 1 6 1 2 5 4 3 4 5 4 3 2 5 2 3 6 1 6 0 0 - 1 7 1 2 6 - 3 5 3 4 4 - 5 3 5 6 2 - 7 1 7 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 0 2 3 4 5 6 0 1 3 4 5 6 0 1 2 4 5 6 0 1 2 3 5 6 0 1 2 3 4 6 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 0 2 4 6 1 3 5 0 3 6 2 5 1 4 0 4 1 5 2 6 3 0 5 3 1 6 4 2 0 6 5 4 3 2 1 + 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6 x 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2 3 4 5 6
131 Ta cũng dùng thuật toán Euclid mở rộng để tìm phần tử nghịch đảo phép nhân trong
tậpZn.
Vídụ phépchia: 5/4 = 5(4-1) = 5.2 = 3.
Như vậy với n là số nguyên tố, thì tậpZntrở thành một trường hữu hạn mà ta gọi là trường Galois (tên nhà toán học đã tìm hiểu về trường hữu hạn này). Ta đổi ký hiệu Zn
thànhZpvới quy định p là số nguyên tố. Ký hiệu trường hữu hạn trên là GF(p)
9.3 SốhọcđathứcvàtrườnghữuhạnGF(2n)