Hồ Quang Vinh, Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ
Trong suốt bài viết chúng ta kí hiệu X * là ảnh của X qua phép nghịch đảo được xét.
Từ định nghĩa trên ta thấy rằng, qua phép nghịch đảo các điểm trên đường tròn (k) đứng nguyên tại chỗ, các điểm nằm trong (k) biến ra ngoài, còn các điểm nằm ngoài (k) thì biến vào trong. Nếu điểm A biến thành A*, thì điểm A* qua phép nghịch đảo đó biến thành điểm A, tức là (A*)* = A.
Các tính chất. Qua một phép nghịch đảo tâm O với bán kính r: 1) Một đường thẳng qua O biến thành chính nó.
2) Một đường thẳng l không đi qua O biến thành đường tròn đi qua O, tâm của đường tròn đó là điểm C* (C là điểm đối xứng với O qua đường thẳng l)
3) Một đường tròn với tâm là điểm C qua O biến thành một đường thẳng không đi qua O, vuông góc với OC.
4) Một đường tròn không đi qua O biến thành một đường tròn không đi qua O ( Hai đường tròn này không nhất thiết bằng nhau ).
5) Sự tiếp xúc của các đường tròn và các đường thẳng được bảo toàn, nếu như tiếp điểm không trùng với tâm nghịch đảo; còn nếu trùng thì nhận được một cặp đường song song.
6) Góc giữa hai đường tròn (góc giữa đường thẳng và đường tròn, giữa hai đường thẳng) bảo toàn qua phép nghịch đảo.
Theo truyền thống từ thời cổ Hy Lạp, trong hình học thường xét phép dựng hình bằng compa và thước kẻ. Nhưng cũng có thể tiến hành dựng hình bằng compa không có thước kẻ. Bằng compa, tất nhiên không thể dựng ngay được tất cả các điểm của đường thẳng, do đó ta sẽ coi rằng đường thẳng đã được dựng nếu như đã dựng được tất cả các phép dựng mà có thể thực hiện được nhờ compa và thước kẻ. Để dựng hình chỉ bằng compa chủ yếu là nhờ nó có thể dựng được ảnh của điểm qua phép nghịch đảo đối với một đường tròn cho trước với tâm cho trước.
Sử dụng phép nghịch đảo, chúng ta có thể giải được khá gọn những bài toán khó trong các Kì thi chọn học sinh giỏi Toán Quốc gia , các Kì thi Olympic Toán học Quốc tế.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] V.V Praxolov. Các bài toán về hình học phẳng, Tập 2, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh, năm 2003.
[2] Các bài dự tuyển Olympic Toán học Quốc tế, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội 2003. [3] 1999 National Contests Problems and Solution, Published and distributed by Mathematical Association of America.
[4] Mathematical Olympiad Problems and Solutions From Around the Wolrd, 1995 - 1996, 1996 - 1997, 1997 - 1998, 1998 - 1999, 1999 - 2000, 2000 - 2001, Edited by Titu Andreescu, Zuming Feng and George Lee, Jr Walter Mientka. Published and distributed by Mathematical Association of America.