3 Định giá và bảo hộ trong thị trường không đầy đủ
3.9 Mô hình Black-Scholes trong môi trường ngẫu nhiên
nhiên
Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên sau
dXt
Xt = mtdt+ vtdWt (3.29)
với quá trình m và v là độc lập với chuyển động Brownian W và giả sử rằng (3.29) có nghiệm mạnh duy nhất đối với hầu hết m và v. Mô hình này cũng như mô hình Black-Scholes trong môi trường ngẫu nhiên được mô tả bởi các quá trình ngẫu nhiên m và v. Bộ lọc sẽ được sinh bởi W và tăng ở thời điểm 0 theo sự đầy đủ về m và v. Thực vậy, môi trường ngẫu nhiên
được chọn ở thời điểm 0 và khi đó X được khai triển như một chuyển động Brownian hình học thông thường với hệ số ngẫu nhiên được xác định bởi sự tác động của môi trường. Đây là một mô tả rõ ràng về một mô hình mà toàn bộ các biến ngẫu nhiên trong các hệ số là ngoại sinh chứ không phải từ chính X trong (3.20). Xét định lí sau
Định lí 3.9.12. Giả sử rằng quá trình m và v trong (3.29) là độc lập với chuyển động Brownian W và mv là bị chặn. Nếu KˆT không tất định thì giả
sử đặc biệt là không thỏa mãn.
Chứng minh. Theo trên ta có Kˆ = R m2
s v2 s ds và Zˆ = E(−R m vdW) do đó ˆ ZT = exp− Z T 0 ms vs dWs − 1 2 ˆ KT.
Từ m và v là độc lập với W phân phối điều kiện của log ZˆT được cho bởi
m và v là phân phối chuẩn với kì vọng −12KˆT và phương sai KˆT. Từ đó ta
có thể so sánh
E[ ˆZT2] = E[eKˆT]
theo điều kiện của m và v. Từ m và v là F0−đo được, quá trình
Zt := e
−KˆT
E[e−KˆT] ˆ
Zt
là P-martingale dương thực sự với kì vọng 1. Từ Pˆ là độ đo martingale
theo X, tích ZX cũng là P-martingale và ta cũng có thể định nghĩa được một độ đo martingale tương đương Q cho X như sau dQdP := ZT. Theo lập luận như trên ta có
E[ZT2] = E[e
−2 ˆKTZˆ2
T]
(E[e−KˆT])2 = 1
E[e−KˆT].
Do đó theo bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi dưới x1 vàKˆT không tất định
suy ra dQ dP L2(P) < dPˆ dP L2(P)
hay
EZ2 < EZˆ2
Do đó Pˆ không là độ đo phương sai tối ưu và theo bổ đề 1 của [6] suy ra
Kết Luận
Luận văn tìm hiểu về phương pháp định giá và bảo hộ cho các sản phẩm tài chính. Nếu thị trường là đầy đủ thì giá và chiến lược bảo hộ là duy nhất. Xét với mô hình Black-Scholes ta có công thức giá và chiến lược bảo hộ tường minh và luận văn cũng chạy thử một bộ số liệu thật. Còn đối với thị trường không đầy đủ trước một số điều kiện đặc biệt, chiến lược bảo hộ tối ưu theo nghĩa cực tiểu bình phương trung bình được mô tả dưới dạng công thức liên hệ ngược. Và luận văn cũng áp dụng cho một số mô hình cụ thể có nhiều ứng dụng trong thực tế. Một hạn chế của luận văn là chưa thực hành được các kiến thức lý thuyết về định giá và bảo hộ trong thị trường không đầy đủ, chạy trên các bộ số liệu thật. Hướng nghiên cứu tiếp theo hướng này là tìm các điều kiện mạnh hơn có thể đưa ra một công thức dễ dàng hơn để mô tả chiến lược tối ưu cho thị trường không đầy đủ.
Tài liệu tham khảo Tiếng Việt
[1] Đặng Hùng Thắng (2005), Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.
[2] Trần Hùng Thao(2009), Nhập môn toán học tài chính, NXB Khoa Học và Kĩ Thuật, Hà Nội.
[3] Trần Hùng Thao(2000), Tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên , NXB Khoa Học Và Kĩ Thuật, Hà Nội.
[4] Nguyễn Duy Tiến(1999), Các mô hình xác suất và ứng dụng(phần III),
NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội.
Tiếng Anh
[5] Huyên Pham, Thorsten Rheinla¨nder, Martin Schweizer(1998), "Mean- Variance Hedging for Continuous Process: New Proofs and Examples",
Finance and Stochastic 2, 173-198.
[6] Martin Schweizer(1996), "Approximation Pricing and the Variance- Optimal Martingale Measure", Annals of Probability 24, 206-236.
[7] Martin Schweizer(1995), "On the Minimal Martingale Measure and the Fo¨llmer-Schweizer Decomposition",Stochastic Analysis and Applica- tions 13 , 573 -599.
[8] J. Michael Harrison, Stanley R. Pliska(1983), "A stochastic calculus model of continuous trading :complete markets ",Stochastic Processes and their Applications 15 , 313-316. North-Holland.
[9] Martin Schweizer(2001), "A Guided Tour through Quadratic Hedging Approaches", Cambridge University Press , 538-574.
[10] H. Fo¨llmer and M. Schweizer (1991), "Hedging of Contingent Claims under Incomplete Information", Applied Stochastic Analysis,Gordon and Breach, London/New York, 389-414.
[11] Michael Meyer (2001), " Continuous Stochastic Calculus with Appli- cations to Finance", Chapman and Hall/CRC.Boca Raton.