Những đóng góp mới của Luận án:
1. Phát triển thuật toán chọn cặp đa thức sàng bậc hai và tâm sàng cho phương pháp sàng trường số. Cụ thể, đưa ra các Thuật toán 6 và Thuật toán 7 để chọn cặp đa thức sàng bậc hai tốt và tâm sàng của chúng từ đó có thể nhận được nhiều quan hệ hơn làm giảm thời gian sàng cho phương pháp sàng trường số.
2. Xây dựng phương pháp và thuật toán chọn đa thức sàng phi tuyến bậc ba, góp phần giải trường hợp riêng của bài toán mở Montgomery. Kết quả thu được là xây dựng được cơ sở lý thuyết (Định lý 2.1, Định lý 2.2, và Hệ quả 2.1) cho Thuật toán 8, dùng để tìm các cặp đa thức sàng phi tuyến bậc 3 có các hệ số cỡ O(N2/9) cho phương pháp sàng trường số.
3. Đánh giá hiệu quả về mặt lý thuyết và thực hành thuật toán sàng lưới của Pollard áp dụng cho phương pháp sàng trường số. Đã đưa ra Mệnh đề 3.1 phát biểu cho lưới tổng quát n chiều, từ đó áp dụng kết quả này để chứng minh phát biểu của Pollard với trường hợp 2 chiều. Thực hành cài đặt so sánh hiệu suất giữa hai phương pháp sàng, đã thu được các kết quả chính xác phù hợp với lý thuyết.
Hướng nghiên cứu tiếp theo:
- Nghiên cứu phương pháp chọn đa thức sàng phi tuyến có hệ số lệch và có tính chất tốt cho phương pháp sàng trường số.
- Thiết kế song song hóa các thuật toán cho phương pháp sàng trường số, triển khai cài đặt trên các hệ thống tính toán lớn.
- Áp dụng phương pháp sàng trường số giải bài toán phân tích số và tính logarit rời rạc nhằm đánh giá các hệ mật có độ an toàn dựa vào các bài toán này.