Năm 1828, nhà thực vật học người Scotland Robert Brown đã quan sát sự chuyển động hỗn loạn của các hạt phấn hoa lơ lửng trong nước. Sau này hiện tượng chuyển động như vậy được gọi là chuyển động Brown. Chuyển động này xảy ra do sự va chạm ngẫu nhiên với các phân tử nước vào hạt. Năm 1900 Einstein đã mô tả chuyển động này bằng toán học và sau đó năm 1902 nhà toán học Winner đã xây dựng mô hình toán học chặt chẽ cho chuyển động này. Vì thế ngày nay quá trình chuyển động Brown còn được gọi là quá trình Winner. Bây giờ chúng ta đưa ra định nghĩa toán học của chuyển động Brown.
Định nghĩa 1.6.1. Cho (Ω,F,P) là một không gian xác suất với bộ lọc {Ft}t≥0. Một chuyển động Brown (chuẩn tắc) một chiều là một quá trình giá trị thực liên tục {F}t-phù hợp {Bt}t≥0 với các tính chất sau:
1. B0 = 0 hầu chắc chắn;
2. Với 0 ≤ s < t < ∞, gia số Bt −Bs có phân phối chuẩn, kì vọng là 0 và phương sai t−s;
Một số tính chất của chuyển động Brown:
1. {−Bt} là chuyển động Brown đối với bộ lọc {Fct}. 2. Cho c > 0. Đặt Xt = B√ct
c với t ≥ 0. Khi đó {Xt} là chuyển động Brown đối với {Fct}.
3. {Bt} là martingale liên tục, bình phương khả tích và có biến phân bậc hai hB, Bit = t với ∀t ≥ 0.
4. Luật mạnh số lớn phát biểu rằng: lim
t→∞ Bt
t = 0 hầu chắc chắn.
5. Với hầu hết ω ∈ Ω, quỹ đạo mẫu Brown B.(ω) là không đâu khả vi. 6. Với hầu hết ω ∈ Ω, quỹ đạo mẫu Brown B.(ω) là Holder địa phương
liên tục với số mũ δ nếu δ ∈ (0, 1
2). Tuy nhiên, với hầu hết ω ∈ Ω, quỹ đạo mẫu Brownt →B.(ω) không đâu liên tục theo nghĩa Holder với số mũ δ > 1
2.