Xét phương trình vi phân đại số tựa tuyến tính
A(t)x0(t) +B(t)x(t) +f(x0(t), x(t), t) = 0, t∈ J = [0,∞),
trong đó A, B ∈ C(R, L(Rm)) là các hàm tuần hoàn chu kỳ T, còn
f : Rm ×Rm ×R −→ Rm là hàm liên tục, có đạo hàm riêng theo biến thứ nhất và thứ hai thỏa mãn
kerA(t) ⊂ ker∂f
Hơn nữa, phương trình vi phân đại số tuyến tính tương ứng
A(t)x0(t) +B(t)x(t) = 0
có chỉ số 1. Bây giờ chúng ta xét tính ổn định nghiệm của bài toán giá trị ban đầu
A(t)x0(t) +B(t)x(t) +f(x0(t), x(t), t) = 0, (2.3.1)
P(0)(x(0)−x0) = 0. (2.3.2) Giả sử bài toán (2.3.1), (2.3.2) có nghiệm x∗ ∈ CN1([0,∞)). Ta có định nghĩa ổn định nghiệm (theo nghĩa Lyapunov) như sau
Định nghĩa 2.3.1 [36] Ta nói nghiệm x∗(t) ổn định nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
i/ Tồn tại τ > 0 để với mọi x0 thỏa mãn |P(0)(x∗(0)−x0)| 6 τ, bài toán (2.3.1),(2.3.2) có nghiệm x(t, x0) xác định trên [0,+∞);
ii/ Với mọi ε > 0, tồn tại δ = δ(ε) > 0 sao cho với mỗi x0 thỏa mãn
|P(0)(x∗(0)−x0)| 6 δ, ta có |x(t, x0)−x∗(t)| 6ε với mọi t > 0.
Hơn nữa, ta nói x∗(t) ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và thỏa mãn
điều kiện
iii/Tồn tại σ ∈ (0, τ) sao cho lim t→∞
|x(t, x0)−x∗(t)| = 0 với mọi x0 thỏa mãn |P(0)(x∗(0)−x0)| 6 σ.
Theo Định lý Lyapunov trong lý thuyết Floquet cho phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1, phương trình (2.3.1) được biến đổi tương đương về phương trình có phần chính tuyến tính ở dạng Kronecker với hệ số hằng bằng cặp ma trận hàm không suy biến, liên tục, tuần hoàn. Do đó, để xét tính ổn định nghiệm của bài toán giá trị ban đầu cho phương trình vi phân đại số tựa tuyến tính tuần hoàn chỉ số 1, ta chỉ cần xét phương trình vi phân đại số tựa tuyến tính dạng đặc biệt
Ax0(t) +Bx(t) +h(x0(t), x(t), t) = 0, t∈ J = [t0,∞), (2.3.3) trong đó A, B ∈ L(Rm) là các ma trận hằng, h : Ω ×J → Rm là hàm liên tục có đạo hàm riêng theo x, y liên tục trên Ω với Ω ⊆ Rm ×Rm là tập mở. Hơn nữa, cho
Điều này đảm bảo h(y, x, t) ≡ h(P y, x, t) với mọi phép chiếuP dọc theo
N. Ta có định lý về tính ổn định của nghiệm tầm thường của phương trình (2.3.3) được phát biểu trong định lý dưới đây.
Định lý 2.3.2([35]) Cho 0 ∈ Ω, và với mọi ε > 0, tồn tại δ(ε) > 0, sao cho với mọi (y, x, t) ∈ Ω×J,kP yk+kxk 6 δ(ε) kéo theo
kh(y, x, t)k 6 ε(kP yk+kxk), (2.3.4) kh0x(y, x, t)k 6 ε, kh0y(y, x, t)k6 ε. (2.3.5)
Giả thiết rằng {A, B} chính quy với chỉ số 1 và mọi giá trị riêng của
{A, B} đều thuộc C−, tức là
det(λA+B) = 0 ⇒ λ ∈ C−.
Khi đó nghiệm tầm thường x∗(t) ≡0 ổn định tiệm cận.