12. 1.1.Lịch sử nghiên cứu
2.2. Dạy học giải bài tập bằng phƣơng pháp dạy học khám phá
2.2.1. Dạy học thuật toán bằng phương pháp dạy học khám phá
2.2.1.1. Vị trí và chức năng của việc dạy học quy tắc thuật toán
a. Thuật giải
Hàng ngày con ngƣời tiếp xúc với rất nhiều bài toán từ đơn giản đến phức tạp. Đối với một số bài toán tồn tại những quy tắc xác định nhằm mô tả quá trình giải. Từ việc mô tả quá trình giải ấy, ngƣời ta đi đến khái niệm trực giác về thuật giải: “Thuật giải là một quy tắc chính xác và đơn trị quy định một số hữu hạn những thao tác sơ cấp theo một trình tự xác định trên những đối tƣợng sao cho sau một số hữu hạn những thao tác đó ta thu đƣợc kết quả mong muốn”.
Mỗi thuật giải đều có những tính chất cơ bản và quan trọng sau:
24
Tính đơn trị của thuật giải đòi hỏi rằng các thao tác trong thuật giải phải đơn trị. Nghĩa là nếu ta cho lần lƣợt từng học sinh thực hiện các thao tác thì kết quả thu đƣợc của các học sinh là nhƣ nhau. Tính chất này nói lên tính hình thức hoá của thuật giải nhờ đó ta có thể lập trình giao cho các thiết bị tự động thực hiện thuật giải thay thế con ngƣời.
* Tính dừng
Tính dừng của thuật giải yêu cầu sau một số hữu hạn lần thực hiện các thao tác đã chỉ ra phải đi đến kết thúc, thu đƣợc kết quả nhƣ mong muốn.
* Tính đúng đắn
Thuật giải phải đảm bảo tính đúng đắn tức là phải giải quyết đúng vấn đề đặt ra, làm đúng công việc mà ta mong muốn. Thuật giải không cho phép kết quả sai hoặc không đầy đủ, bỏ sót trƣờng hợp.
* Tính phổ dụng
Thuật giải phải áp dụng đƣợc cho một lớp các bài toán có cùng cấu trúc với những dữ liệu cụ thể khác nhau. Nhờ tính chất này, ngƣời ta sáng tạo ra những thuật giải, rồi từ đó xây dựng những chƣơng trình mẫu để giải từng lớp bài toán.
* Tính hiệu quả
Yêu cầu hiệu quả của thuật giải là tính tối ƣu. Tiêu chuẩn tối ƣu đƣợc hiểu là:
- Thuật giải thực hiện nhanh, tốn ít thời gian.
- Thuật giải dùng ít giấy hoặc thiết bị lƣu trữ các kết quả trung gian. - Đáp ứng đƣợc nhu cầu của thực tiễn. Đặc biệt trong điều kiện hiện nay khi mà có nhiều phƣơng tiện, kĩ thuật trợ giúp thực hiện các thuật giải.
Thuật giải tồn tại dƣới nhiều hình thức khác nhau. Trong môn toán và trong thực tế ngƣời ta thƣờng gặp những hình thức biểu diễn thuật giải sau: ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học, sơ đồ khối, ngôn ngữ phỏng trình và các ngôn ngữ lập trình.
25 b. Quy tắc tựa thuật giải
Nhƣ đã trình bày ở trên, đặc trƣng của thuật giải là hệ thống các quy định nghiêm ngặt đƣợc thực hiện theo một trình tự chặt chẽ. Tuy nhiên trong quá trình và thực tiễn dạy học, ta cũng thƣờng gặp một số quy tắc tuy chƣa mang đầy đủ các đặc điểm đặc trƣng của thuật giải nhƣng có một số trong các đặc điểm đó và chúng có nhiều tác dụng trong việc hƣớng dẫn học sinh giải toán.
* Khái niệm quy tắc tựa thuật giải
Theo Nguyễn Bá Kim: “Quy tắc tựa thuật giải đƣợc hiểu nhƣ một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện đƣợc theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thông tin vào của một lớp bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của lớp bài toán đó” [10].
Quy tắc tựa thuật giải phân biệt với thuật giải nhƣ sau:
- Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc đó có thể chƣa mô tả hành động một cách xác định.
- Kết quả thực hiện mỗi chỉ dẫn không đơn trị.
- Quy tắc không đảm bảo chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bƣớc thì đem lại kết quả là lời giải của lớp bài toán.
Mặc dù có một số hạn chế trên so với thuật giải song quy tắc tựa thuật giải cũng vẫn là tri thức phƣơng pháp quan trọng có ích cho quá trình hoạt động và giải toán.
c. Vai trò của việc dạy học thuật giải và các quy tắc tựa thuật giải Thực ra, thuật toán và các quy trình tựa thuật toán không hoàn toàn độc lập với định nghĩa và định lý. Có những quy tắc, phƣơng pháp dựa vào một định nghĩa hay định lý, thậm chí có khi chỉ là một hình thức phát biểu khác của một định nghĩa hay định lý. Tuy nhiên, việc phát triển tƣ duy thuật toán trong nhà trƣờng phổ thông lại rất cần thiết bởi những lý do sau:
26
- Tƣ duy thuật toán giúp học sinh hình dung đuợc việc tự động hoá trong những lĩnh vực khác nhau của con ngƣời. Nó giúp học sinh thấy đƣợc nền tảng của việc tự động hoá, cụ thể là nhận thức rõ đặc tính hình thức, thuần tuý máy móc của của qúa trình thực hiện thuật toán, đó là cở sở cho việc chuyển giao một số chức năng của con ngƣời cho máy móc.
- Tƣ duy thật toán giúp học sinh làm quen vói cách làm việc trong khi giải toán bằng máy tính điện tử.
- Tƣ duy thuật toán giúp học sinh học tập tốt những môn học ở nhà trƣờng phổ thông, rõ nét nhất là môn toán.
- Tƣ duy thuật toán cũng góp phần phát triển những năng lực trí tuệ chung nhƣ phân tích, tổng hợp, khái quát hoá.... và hình thành những phẩm chất của ngƣời lao động mới nhƣ tính ngăn nắp, kỉ luật, tính phê phán và thói quen tự kiểm tra....
2.2.1.2. Dạy học thuật toán và các quy tắc tựa thuật toán theo hướng khám phá
Tuy khó có thể xây dựng đƣợc những thuật toán giải các bài toán định tính của tọa độ trong không gian (thiết lập các công thức tính, các bƣớc làm bài toán….), nhƣng chúng ta có thể xây dựng các quy trình mang tính thuật toán.
Các bƣớc dạy học thuật toán, quy tắc tựa thuật toán theo hƣớng khám phá:
- Giáo viên đƣa ra một bài tập gốc đƣợc giải theo quy trình.
- Học sinh phân tích hoạt động giải bài trên thành các bƣớc, theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật giải hoặc quy tắc tựa thuật giải.
- Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động.
- Kiểm nghiệm tín khả thi của các bƣớc giải đã đƣợc mô tả thông qua một số bài tập cùng dạng.
27
Ví dụ nhƣ thay vì việc học sinh phải nhớ công thức tính khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau rất phức tạp thì thay vào đó học sinh học sinh có thể quy về việc tính khoảng cách đó bằng khoảng cách giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng song song với nó và quy về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Nếu học sinh có thể nắm quy trình tính toán đó thì học sinh có thể tận dụng việc viết phƣơng trình mặt phẳng đã cho trong bài mà không cần sử dụng đến công thức tính khoảng cách rất khó nhớ. Bên cạnh đó học sinh chỉ phải nhớ một công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
2.2.2. Dạy học giải bài tập bằng phương pháp dạy học khám phá
2.2.2.1. Vị trí và chức năng của việc dạy học giải toán
Ở nhà trƣờng phổ thông, hoạt động giải toán đối với học sinh có thể xem là hoạt động chủ yếu của hoạt động học tập môn toán. Các bài toán ở trƣờng phổ thông là một phƣơng tiện rất hiệu quả và không thể thay thế đƣợc trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tƣ duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lƣợng dạy học toán.
Mỗi bài tập toán đều chứa đựng một cách tƣờng minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau. Theo Vũ Dƣơng Thuỵ, dạy học giải bài tập toán có những chức năng sau:
- Chức năng dạy học: hình thành, củng cố cho học sinh những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
- Chức năng giáo dục, hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất ngƣời lao động mới. - Chức năng phát triển: phát triển năng lực tƣ duy của học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất tƣ duy khoa học.
28
- Chức năng kiểm tra: đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh.
Các chức năng này không bộc lộ riêng lẻ và tách rời nhau, khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể tức là có ý nói chức năng ấy đƣợc thực hiện một cách tƣờng minh, công khai.
Tóm lại, giải bài tập toán là hoạt động chủ yếu trong học toán, nó phản ánh quá trình tiếp thu những kiến thức đƣợc giáo viên truyền thụ của ngƣòi học sinh mmọt cách khách quan, nhanh và chính xác nhất.
2.2.2.2. Các yêu cầu đối với lời giải
Để phát huy tác dụng của bài tập toán học, trƣớc hết cần nắm vững yêu cầu của lời giải, gồm ba yêu cầu cơ bản và một số yêu cầu nâng cao. +) Ba yêu cầu cơ bản:
Lời giải không có sai lầm. Các sai lầm thƣờng mắc trong lời giải gồm: có sai kiến thức, vận dụng không đúng định lý, quy tắc, vi phạm những điều kiện của định lý, sai về lập luận, ví dụ dùng phƣơng pháp suy ngƣợc tiến để trình bày chứng minh, sai về tính toán, vẽ hình, ví dụ nhƣ khi viết phƣơng trình đƣờng thẳng hay phƣơng trình mặt phẳng, học sinh thƣờng nhầm lẫn khi đi tìm tích có hƣớng của hai véc tơ để xác định véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng, có khi học sinh còn bị nhầm về véc tơ pháp tuyến của đƣờng thẳng (nhầm lẫn với tọa độ trong mặt phẳng).
Lời giải phải có căn cứ, không đánh tráo luận đề.
Lời giải phải đầy đủ, không đƣợc bỏ sót một trƣờng hợp, một chi tiếtnào, ví dụ nhƣ giải phƣơng trình không đƣợc thiếu nghiệm, phân chia trƣờng hợp không đƣợc thiếu trƣờng hợp nào....
+) Các yêu cầu nâng cao:
Phƣơng pháp giải hay. Lời giải sáng sủa Trình bày đẹp đẽ.
29
Các yêu cầu cơ bản phải luôn đƣợc giáo viên chú ý rèn cho học sinh từ những bài giải đơn giản đến phức tạp, mọi đối tƣợng học sinh đều phải phấn đấu đạt đƣợc. Các yêu cầu nâng cao đƣợc giáo viên chú ý bồi dƣỡng đối với những học sinh khá hơn, có năng lực khám phá tốt hơn.
2.2.2.3. Dạy học giải toán theo hướng khám phá
Trình tự dạy học bài tập thƣờng bao gồm các hoạt động sau: Hoạt động 1: Tìm hiểu nội dung bài toán.
Hoạt động 2: Xây dựng chƣơng trình giải Hoạt động 3: Thực hiện chƣơng trình giải. Hoạt động 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
Trên cơ sở các bƣớc cơ bản nêu trên, khi dạy học theo hƣớng khám phá tìm lời giải bài toán, giáo viên có thể dẫn dắt hƣớng tìm lời giải cho học sinh bằng cách đặt ra các câu hỏi có tính gợi mở khám phá. Chẳng hạn nhƣ:
+) Để tìm hiểu nội dung bài toán, học sinh cần suy nghĩ xem bài toán cho: - Giả thiết là gì? Kết luận là gì? Hình vẽ minh hoạ ra sao? Sử dụng các kí hiệu nhƣ thế nào?
- Bài toán này gẫn gũi với bài toán nào đã gặp, dạng toán nào?
- Kiến thức cơ bản cần có là gì? (các khái niệm, các định lý, các điều kiện tƣơng đƣơng, các phƣơng pháp chứng minh....)
+) Xây dựng chƣơng trình giải: tức là chỉ rõ các bƣớc tiến hành, mỗi bƣớc giải quyết vấn đề gì?
+) Thực hiện chƣơng trình giải: trình bày bài làm theo các bƣớc đã đƣợc chỉ ra?
+) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải xem có sai lầm không? Có cần biện luận kết quả tìm đƣợc không? Tìm tòi cách giải khác, đề xuất bài toán mới? Nghiên cứu ứng dụng lời giải....
Tóm lại, thông qua việc giải bài toán cụ thể cần nhấn mạnh để học sinh nắm đƣợc phƣơng pháp chung bốn bƣớc và có ý thức vận dụng các bƣớc này
30
trong quá trình giải toán. Ngoài ra, bằng cách đặt các câu hỏi gợi ý, những tình huống để học sinh dần dần biết sử dụng câu hỏi này nhƣ những biện pháp kích thích suy nghĩ, tìm tòi, dự đoán, phát hiện để thực hiện từng bƣớc giải toán. Những câu hỏi này lúc đầu do giáo viên đƣa ra, dần dần biến thành vũ khí của bản thân học sinh, đƣợc học sinh nêu ra đúng lúc, đúng chỗ để gợi ý cho từng bƣớc đi của mình trong quá trình giải toán.
2.3. Thiết kế một số tiết dạy theo phƣơng pháp dạy học khám phá
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Đây là bài mở đầu chƣơng phƣơng pháp tọa độ trong không gian. Trong bài này gồm những nội dung chính nhƣ sau:
- Giới thiệu hệ trục tọa độ trong không gian.
- Tọa độ của điểm, của véc tơ trong không gian và ứng dụng. - Tích có hƣớng của hai véc tơ và ứng dụng.
- Phƣơng trình mặt cầu.
Theo phân phối chƣơng trình lớp 12 nâng cao, bài này đƣợc dạy trong 5 tiết. Với những nội dung nhƣ trên các tiết dạy đƣợc chia nhƣ sau:
Tiết 1: Giới thiệu hệ trục tọa độ trong không gian, tọa độ của véc tơ và của điểm trong không gian. Bài tập áp dụng
Tiết 2: Tích có hƣớng của hai véc tơ và ứng dụng. Bài tập áp dụng Tiết 3: Phƣơng trình mặt cầu và bài tập áp dụng
Tiết 4: Luyện tập (các dạng bài: tìm tọa độ của điểm, véc tơ; chứng minh sự đồng phẳng của véc tơ, của điểm; các bài toán tính toán có lien quan)
Tiết 5: Luyện tập (dạng bài áp dụng tọa độ trong không gianđể giải toán hình học không gian)
Với bài này, phần lý thuyết hoàn toàn đƣợc xây dựng tƣơng tự nhƣ tọa độ trong mặt phẳng. Tuy nhiên có một phần kiến thức hoàn toàn mới và quan trọng đó là tích có hƣớng của hai véc tơ trong không gian. Cho nên với việc áp dụng phƣơng pháp dạy học khám phá các em có thể huy động kiến thức cũ
31
để xây dựng lên kiến thức mới và tiếp nhận kiến thức mới tự nhiên, nhớ lâu hơn. Sau đây là 2 giáo án: 1 giáo án tiết 2: tích có hƣớng của hai véc tơ và ứng dụng; 1 giáo án tiết 4: bài tập hệ tọa độ trong không gian
2.3.1. Giáo án 1
Bài giảng: Hệ tọa độ trong không gian (Tiết 2)
I.Mục tiêu
- Về kiến thức:
+ Hiểu đƣợc định nghĩa tích có hƣớng của hai véc tơ . + Nhớ đƣợc các ứng dụng của tích có hƣớng của hai véc tơ - Về kĩ năng:
+ Tính đƣợc tích có hƣớng của hai véc tơ
+ Tính đƣợc diện tích hình bình hành, thể tích khối hộp sử dụng tích có hƣớng của hai véc tơ
+ Sử dụng tích có hƣớng của hai véc tơ để chứng minh các véc tơ đồng phẳng.
- Về tƣ duy và thái độ: HS phải tích cực học tập và hoạt động theo yêu cầu của giáo viên.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh + Giáo viên: thƣớc, phiếu học tập
+ Học sinh: đồ dùng học tập nhƣ thƣớc, compa III. Phƣơng pháp
+ Khám phá có hƣớng dẫn
+ Chia nhóm và phát phiếu học tập + Phƣơng pháp thuyết trình
IV. Tiến trình bài học
1. Ổn định tổ chức (1 phút ) 2. Kiểm tra bài cũ (5 phút)
32 Bài 10 trang 81:
Cho 3 điểm A(1; 0; 0); B(0; 0; 1); C(2; 1; 1). a) Tính các góc của ∆ABC
b) Tính chu vi và diện tích ∆ABC 3. Bài mới
Trong tiết này yêu cầu đặt ra không chỉ là làm cho học sinh nhớ đƣợc định nghĩa tích có hƣớng của hai véc tơ mà còn phải nhớ đƣợc những ứng dụng của nó. Bên cạnh đó còn phải luyện cho học sinh tính đúng tọa độ tích có hƣớng của hai véc tơ. Chính vì vậy trong tiết này sau khi đƣa ra định nghĩa