L ời mở đầu
2.8. Chuẩn hĩa tử của nhĩm con D-lưới trên một trường
Định lý 2.8.1.Cho K là một trường nhiều hơn hai phần tử và σ là một D-lưới bậc n bất kì trong K. Khi đĩ
( ) ( ) ( ).
N σ =Pσ G σ
Chứng minh. Từ Nhận xét 2.2.4 iv) đối với một phép thế bất kì π∈Sn hai đẳng thức
( ) ( ) ( )
N σ =P σ Gσ và N(σπ)=P(σπ) (G σπ)là tương đương. Do đĩ, để chứng minh định lý, ta cĩ thể lấy một lưới bất kì tương đương với lưới σ . Tiếp theo, ta cĩ thể giả sử σ là D-lưới bậc thang. Kí hiệu (k1,…,km) là kiểu của lưới σ , ta cĩ thể viết lưới σ về dạng ma trận khối. Trong dạng này, tất cả các khối σij(i j> ) nằm phía dưới đường chéo chính là
khối 0. Do biểu diễn bậc n của lưới σ cĩ dạng tổng n = k1 +…+km một ma trận bất kì
( , )
x GL n K∈ sẽ được xem như ma trận dạng ma trận khối 11 12 1 21 22 2 ij 1 , 1 2 ... ... ( ) , ... ... ... ... ... m m i j m m m mm x x x x x x x x x x x ≤ ≤ = =
trong đĩ xijlà ma trận chữ nhật ki dịng và kj cột. Đối với một ma trận khơng suy biến x, ta cĩ x G∈ ( )σ nếu và chỉ nếu với bất kì khối σij =0trong lưới σ khối tương ứng trong x là khối xij=0. Đặc biệt, trong một ma trận bất kì x G∈ ( )σ tất cả các khối nằm bên dưới đường chéo chính là khối 0. Hơn thế, vì trong một D-lưới bậc thang σ, khối đường chéo
ii
σ gồm các ideal đơn vị, nên ta cĩ thể lấy các khối đường chéo x11,…,xm của ma trận
( )
x G∈ σ là các ma trận khơng suy biến cấp k1,…,km.
Cho a là một ma trận bất kì trong N( )σ ta cĩ
( ) ( )
aG σ =Gσ a. (2.7)
Ta chỉ cần chứng minh tồn tại một ma trận thích hợp b G∈ ( )σ sao cho ab là ma trận dạng
Pπ với phép thế π∈Sn. Khi đĩ Pπ =ab N∈ ( )σ , theo Mệnh đề 2.2.3 kéo theo σπ =σ tức là Pπ ∈P( ).σ Suy ra a P b= π −1∈P( ) ( ).σ G σ
Sơ đồ chứng minh định lý là như sau: bắt đầu từ ma trận a, ta sẽ nhân nĩ về bên phải liên tiếp với những ma trận trong G( )σ cho đến khi thu được ma trận dạng Pπ.
Từ (2.7), với một ma trận bất kì x G∈ ( )σ tồn tại một ma trận duy nhất y G∈ ( )σ sao cho
ax=ya. (2.8)
Đồng thời, trong (2.8) ta cĩ thể xem y như là một ma trận bất kì trong G( )σ (khi đĩ x sẽ phụ thuộc vào y). Ta sẽ viết các ma trận a, x,y trong (2.8) về dạng ma trận khối kiểu (k1,…,km). Tức là a=(aij) và y=(yij) trong đĩ aij và yij là các khối gồm ki dịng và kj cột.
Ta giả sử rằng với t (1≤ ≤t m),t – 1 cột khối đầu tiên của ma trận a chỉ chứa một khối khác 0, tất cả các khối khác 0 này là những ma trận đơn vị cấp thích hợp. Đĩ là các vị trí
1 1
( ,1),...,(i it− , 1)t− .
Các chỉ số i1,…,it-1 khác nhau. Ta sẽ chứng minh rằng bằng cách nhân vế bên phải ma trận a một ma trận thích hợp trong G( )σ , cĩ thể đưa cột khối thứ t về cùng dạng của t – 1 cột đầu tiên, tức là cột khối thứ t chỉ cĩ một khối khác 0 và khối này là khối đơn vị.
Trước tiên ta sẽ chứng minh rằng nếu r = is (1≤ ≤ −s t 1) và khối σst ≠0thì trong ma trận a ta cĩ thể dễ dàng thay art bằng khối 0 và giữ nguyên tất cả các khối khác khơng đổi. Với mục đích như vậy, ta nhân a về bên phải bởi một “phép co dạng ma trận khối” b=(bij) kiểu (k1,…,km), trong đĩ các khối bij=0 khi i j≠ và ( , ) ( , ).i j ≠ s t Ta thấy tích ab khác ma trận a chỉ tại khối ở vị trí (r,t). Cụ thể, trong ab vị trí này là ma trận 0 thay vì art. Ma trận b G∈ ( )σ , vì theo giả thiết, khối σst ≠0 và do đĩ theo Hệ quả 2.4.3, nĩ gồm tất cả các ideal đơn vị. Vì vậy, ta cĩ thể giả sử rằng ait=0 khi i=is (1≤ ≤ −s t 1) và σst ≠0.
Bây giờ ta sẽ chọn chỉ số r (1≤ ≤r m) sao cho khối art ≠0 và tất cả các khối bên dưới nĩ ar+1,t,…,amt là 0. Khi đĩ theo (2.8) ta cĩ hoặc
,
rt tt rr rt
a x =y a (2.9)
nếu r i≠ 1,...,it−1, hoặc
arsxst + artxtt = yrrart, (2.10)
nếu r=is(1≤ ≤ −s t 1). Nhưng trong trường hợp thứ hai, vì art ≠0 nên khối σst phải là 0 (do chứng minh trên) và vì thế xst = 0 đối với mọi ma trận x G∈ ( )σ . Vì thế (2.10) trở thành (2.9) nghĩa là trong mọi trường hợp ta đều cĩ (2.9). Trong sự bằng nhau này ta cĩ thể chọn tùy ý hoặc ma trận vuơng khơng suy biến xtt hoặc yrr. Việc chọn một trong hai ma trận này sẽ xác định ma trận cịn lại qua sự bằng nhau ở (2.8). Tiếp theo, từ (2.9) ta thu được art là ma trận khơng suy biến cấp kr = kt. Bây giờ ta chuyển khối art sang ma trận đơn vị bằng cách nhân a về bên phải với một ma trận khối đường chéo [b11,…,bmm] kiểu (k1,…,km) trong đĩ btt = 1
rt
a− và bii là ma trận đơn vị khi i t≠ . Phép nhân b cĩ thể chấp nhận được vì b G∈ ( ).σ Ta được xác định thêm giả thiết rằng ngồi giả thiết liên quan đến ma trận a, khối art là ma trận đơn vị.
Ta quay lại vơi sự bằng nhau (2.8), trong đĩ ta chọn ma trận y là ma trận khối đường chéo [y11,…,ymm]. Từ sự bằng nhau trong (2.8) các khối của cột thứ t, ta thu được hệ phương trình
aitxtt=yiiait (i = 1,…,r), (2.11)
[Ở đây cần chú ý rằng phương trình aisxst + aitxtt =yiiait với i = is và 1≤ ≤ −s t 1khơng gì khác ngồi (2.11) vì xst = 0 khi σst =0và ait=0 khi σst ≠0]. Trong hệ phương trình (2.11) yii là những ma trận khơng suy biến. Lấy θ là phần tử trong K khác 0 và 1. Ta lấy ma trận yrr là ma trận vơ hướng với phần tử θ trên đường chéo chính yrr=[θ,…,θ] và yii là ma trận đơn vị với i<r.
Vì art là ma trận đơn vị nên từ (2.9) suy ra xtt=yrr, từ (2.10) suy ra
θait=ait (i = 1,…,r – 1),
kéo theo ait =θ với mọi i < r.
Như vậy sau những phép tính được thực hiện trên ma trận a, ma trận a cĩ khối cột thứ t với một ma trận khác 0 duy nhất và khối này là ma trận đơn vị.
Tĩm lại, bắt đầu từ ma trận a N∈ ( ),σ quá trình tính tốn trên ma trận a, với t = 1, …, n ta đến được ma trận cĩ mỗi dịng và mỗi cột cĩ đúng một ma trận khác 0 đĩ là ma trận đơn vị. Nĩi cách khác tồn tại một ma trận b G∈ ( )σ sao cho ab=Pπ với π∈Sn.Do chú ý trên nên ta cĩ định lý được chứng minh.
Kết luận
Bài tốn được thực hiện trong luận văn là mơ tả các nhĩm con của nhĩm tuyến tính tổng quát trên trường chứa nhĩm con các ma trận đường chéo. Các kết quả chính của luận văn như sau:
1. Trình bày khái niệm về lưới và nhĩm con lưới, mơ tả lưới và nhĩm con lưới trên trường.
2. Đưa ra tính chất của ma trận chứa trong chuẩn hĩa tử của nhĩm con lưới, mơ tả các phép co sơ cấp nằm trong nhĩm con của nhĩm tuyến tính tổng quát chứa nhĩm con các ma trận đường chéo.
3. Từ đĩ, mơ tả các nhĩm con của nhĩm tuyến tính tổng quát trên trường chứa nhĩm con các ma trận đường chéo.
Các Định lý 2.7.1 và 2.8.1cho ta cái nhìn tổng quát về tất cả các nhĩm con H trong nhĩm tuyến tính tổng quát G = GL(n,K) chứa nhĩm con các ma trận đường chéo D=D(n,K) (với giả thiết |K| ≥ 7). Với mỗi nhĩm con H, D H G≤ ≤ tồn tại duy nhất một D-lưới σ bậc n sao cho G( )σ ≤H N≤ ( )σ . Hơn nữa, N( )σ =P( ) ( )σ G σ , khi đĩ, ta đặt
( ) ( ) ( )
Qσ =Pσ G σ . Theo Định lý đẳng cấu 2, các nhĩm con thành phần N( ) / ( )σ G σ đẳng c ấ u v ớ i c á c n h ĩ m c o n t h à n h p h ầ n P( ) / ( )σ Qσ .
Bây giờ, giả sử m < n ta sẽ nhúng GL(m,K) vào GL(n,K) bằng cách sau:
( , ) ( , ) 0 . 0 GL m K GL n K a a e →
Đồng nhất a với ảnh của nĩ qua phép nhúng này, ta cĩ thể xem GL(m,K) là nhĩm con của nhĩm GL(n,K). Ta sẽ cĩ bài tốn mở rộng sau:
Bài tốn mở.Mơ tả các nhĩm con của nhĩm GL(n,K), n ≥ 2, K là trường |K| ≥ 7, chứa nhĩm con các ma trận đường chéo D(m,K) với 2≤ ≤m n
Hướng giải quyết. Nếu m = n bài tốn đã được giải quyết. Bước tiếp theo ta sẽ tìm cách giải của bài tốn với m = n - 1.
Tài liệu tham khảo
[1] Bùi Xuân Hải, Nhĩm tuyến tính, NXB Đại Học Quốc Gia Tp. HCM, 2007.
[2] Bui Xuan Hai and Tran Ngoc Hoi, On subgroups of the general linear group over commutative von Neumann regular ring, Acta Mathematica Vietnamica, V. 19(1994), No 2, pp 19-30.
[3] Borevich Z.I. and Vavilov N.A, Subgroups of the general linear group over a semilocal ring that the contain the subgoups of diagonal matrices, Trud. Mat. Inst. Akad. Nauk SSSR, 148 (1978), 43-57.
[4] Z.I. Borevich, Description of subgroups in the general linear group that contain the group of diagonal matrices, Zap. Nauch Sem. Leningr. Otd. Mat. Inst. Akad. Nauk SSSR, 64 (1976), 12-29, English translation in J. Soviet Math, 17 (1981), No 2.
Chỉ mục D-lưới bậc thang,14 D-lưới dạng ma trận khối,14 đơn vị ma trận,1 D-lưới,4 chuẩn hĩa tử,9
kiểu của biểu diễn, 14
lưới đồng dạng, 6 lưới đơn vị, 10 lưới các ideal, 4 lưới tối đại, 10
ma trận đường chéo, 2 nhĩm con D-lưới, 5 nhĩm con lưới, 5 nhĩm tuyến tính tổng quát, 1 phép biến đổi, 3 phép co sơ cấp, 2