Phương trình (34) có nghiệm bị chặn.

2) Q b BE M  với  1  B .

Chứng minh định lí 5.3:

Rõ ràng, phương trình (34) có nghiệm bị chặn nếu và chỉ nếu Q x n n0 bị chặn với    B . Giả sử phương trình (34) có nghiệm bị chặn. Khi đó, theo định lí 5.2, ta có:

BEQw +Q b 0 với  1  B

Suy ra Q b BE M  với   1  B . Với cách chứng minh này ta đã có phần suy ngược lại. 

KẾT LUẬN

Qua quá trình thực hiện luận văn này, tôi học được cách truy cứu tài liệu, học được phương pháp nghiên cứu để đào sâu và mở rộng kiến thức cho bản thân, đây cũng là cơ hội để vận dụng những kiến thức quí báu đã được Thầy cô truyền đạt trong quá trình học tập ở trường và đồng thời cũng là cơ hội cho tôi bước đầu tập tiếp cận với nghiên cứu khoa học cơ bản.

Trong quá trình thực hiện luận văn, bản thân tôi đã cố gắng, nổ lực làm việc với mong muốn hoàn thành luận văn một cách tốt nhất.

Về cơ bản, luận văn đã hoàn thành các yêu cầu đặt ra và đồng thời thu được các kết quả sau: + Trong chương III, chúng tôi đã cung cấp chứng minh bổđề 3.1.1 ( bài báo [7] chỉ nêu ra mà không chứng minh ).

+ Trong chương IV, chúng tôi đã cung cấp chứng minh chi tiết hầu hết các kết quả từ

bài báo [7], chẳng hạn như các định lí 4.1, 4.3, 4.4, 4.5 (bài báo [7] chỉ nêu ra mà không chứng minh ).

+ Trong chương V, chúng tôi đã cung cấp chứng minh chi tiết ý tưởng phát triển của tác giả bài báo [7], chẳng hạn như định lí 5.1 ( bài báo [7] chỉ nêu mà không chứng minh ). Hơn nữa, chúng tôi đã phát biểu và chứng minh hai định lí 5.2, 5.3.

Trong tương lai, chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu thêm.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng việt

1. Nguyễn Đình Phư (2000), Rẽ nhánh trong phương trình vi phân, Nxb Giáo dục. 2. Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Hoàng Xuân Sính (1988), Đại số tuyến tính và

hình học, tập 2, Nxb Giáo dục.

3. Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp (2001), Phương trìnhsai phân và một số ứng dụng, Nxb Giáo dục.

Tiếng Anh

4. J. Kato, T. Naito anh J.S.Shin (2002), “Bounded solutions and periodic solutions to

linear differential equations in Banach spaces”, Proceeding in DEAA, Vietnam J. of Math.30, pp. 561 – 575.

5. J. Kato, T. Naito anh J.S.Shin, A characterization of solutions in linear differential

equations with periodic forcing functions, to appear.

6. J.L. Massera (1950), “The existence of periodic solutions of systems of differential equations”, Duke Math. J.17, pp. 457 – 475.

7. T. Naito, J.S.Shin, J. Kato (2004), Initial values of bounded solutions of linear differential equations with periodic forcing functions, Hochiminh.