2.5.1. Định lý
Cho R là một miền,R' là vành các thương của R. Khi đó, bất kỳ thứ tự
P nào của R đều mở rộng duy nhất thành một thứ tự P' của R'.
Chứng minh.
Đặt P'= ∈{x R',∃a b, ∈P axb: ∈P}. Giả sử P'= ∈{x R',∃ ∈a P ax: ∈P} ( )1 Lấy x∈P a b', , ∈P axb: ∈P. Cố định một phần tử c∈R\ 0 :{ } cax∈R.
Ta có thể giả sử rằng c P∈ , khi đó c axb( )∈P P. ⊆P. Điều này kéo theo
,
cax∈P ca∈P.
Ta có: R∩ =P' P và P'∪ −( P')=R'\ 0{ }. Do đó để chỉ ra rằng P' là một thứ tự của R', ta chỉ cần chứng minh: ,x y∈P'⇒ + ∈x y P' và xy∈P'. Từ (1) và (2) suy ra tồn tại ,a b∈P ax: ∈P yb, ∈P. Mà a x( + y b) ( )= ax b+a yb( )∈P và
( ) ( )( )
a xy b= ax yb ∈P. Do đó theo định nghĩa P', ta có: x+ ∈y P xy', ∈P'.Vậy
'
P là một thứ tự của R' mở rộng từ P và tính duy nhất của P' là hiển nhiên.
Nhận xét:
Định nghĩa của một thứ tự trên vành không dựa trên sự tồn tại của phần tử đơn vị. Vì thế, chúng ta có thể nói về thứ tự trên vành có thể không có đơn vị. Do đó, định lý trên cũng đúng cho bất kỳ vành R⊆ R' có thể không có đơn vị,
'
R là vành các thương của R.
2.5.2. Hệ quả
Cho R là một miền và I là ideal khác không của R. Khi đó bất kỳ thứ tự trên I (xem như vành không có đơn vị) đều mở rộng duy nhất thành một thứ tự trên R.
Chứng minh.
Cố định một phần tử a≠0 trong I. Với bất kỳ x R∈ , ta có: ax∈I xa, ∈I
Vì R là một vành các thương của I, áp dụng định lý 2.5.1 ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét: Nói chung lớp các vành sắp thứ tự là quá rộng và khác biệt so với bất kỳ định lý về sự phân lớp tốt nào. Do đó, lớp con của vành sắp thứ tự Acsimet đủ nhỏ để có thể được mô tả hoàn toàn.
2.6. Định lý
2.6.1. Định nghĩa
Cho a là phần tử dương trong vành sắp thứ tự (R,<). Khi đó:
a là vô cùng lớn nếu a> =n( n.1) với bất kỳ số nguyên n≥1.
a là vô cùng bé nếu na<1với bất kỳ số nguyên n≥1.
2.6.2. Bổ đề
Cho vành sắp thứ tự (R,<). Hai tính chất sau là tương đương: (1) Với a b, >0 trong R, tồn tại số nguyên n≥1 sao cho na b> . (2) R không có phần tử vô cùng lớn lẫn vô cùng bé.
Nếu (1) hoặc (2) đúng thì (R,<) được gọi là vành sắp thứ tự Acsimet.
Chứng minh.
( ) ( )1 ⇒ 2 là rõ ràng.
( ) ( )2 ⇒ 1 Giả sử ta có (2) và lấy a b, >0. Từ (2) ta có: b n< và ma>1 với
, 1
m n≥ là các số nguyên thích hợp.Ta suy ra mna> >n b.
Chú ý: Nếu (R,<) là vành chia sắp thứ tự thì với a>0,a là vô cùng lớn nếu và chỉ nếu 1
a− là vô cùng bé. Do đó, trong trường hợp này (R,<) là vành sắp thứ tự Acsimet nếu và chỉ nếu R không có phần tử vô cùng lớn, nếu và chỉ nếu R
2.6.3. Định lý
Cho (R,<) là vành sắp thứ tự Acsimet. Khi đó: i) R là vành giao hoán;
ii) (R,<) đẳng cấu thứ tự với vành con duy nhất của (với thứ tự cảm sinh).
iii) Chỉ có duy nhất tự đẳng cấu thứ tự của R là ánh xạ đồng nhất.
Ta sẽ sử dụng nhát cắt Dedekind để chứng minh định lý:
Một nhát cắt Dedekind là một tập con A của tập hợp số hữu tỉ thỏa các
tính chất sau:
i) A≠ ∅; ii) \ A≠ ∅;
iii) A không chứa phần tử lớn nhất.
iv) Với x y, ∈, nếu x∈A y, < x thì y∈A.
Chứng minh định lý.
Lấy a R∈ , đặt Ua={m n m n: , ∈,na m< }
La ={m n m n: , ∈,n>0,m na≤ }
Vì (R,<) là Acsimet nên mỗi tập hợp này chứa một số nguyên. Đặc biệt, chúng là tập con không rỗng của . Ta có {L Ua, a} là lát cắt Dedekind trên . Do đó, {L Ua, a} xác định một số thực f a( ). Xét ánh xạ :f R→. Giả sử
( ) ( )
a b< ⇒ f a < f b . Lấy số nguyên n≥1:n b a( − >) 2. Đặt m là số nguyên nhỏ
nhất lớn hơn na. Khi đó: na m≥ − > + −1 m 1 n b a( − ) ⇒ > + > >nb m 1 m na. ( ) m 1 m ( ) f b f a n n + ⇒ ≥ > ≥ . Đặc biệt f là đơn ánh.
Tiếp theo xét hai phần tử tùy ý a b R, ∈ . Ta có: Ua +Ub ⊆Ua b+ và
a b a b
L + L ⊆ L + . Suy luận từ tính chất của nhát cắt Dedekind ta có
( ) ( ) ( )
f a b+ = f a + f b .
Chứng minh tương tự, ta có f ab( ) ( ) ( )= f a f b .
Vậy (R,<) đẳng cấu thứ tự với f R( ) cùng với thứ tự cảm sinh từ .
Trong trường hợp đặc biệt khi R là giao hoán, ta có f hiển nhiên là phép nhúng thứ tự duy nhất từ R vào . Từ đó ta có kết luận ii) và iii).
Nhận xét:
Việc chứng minh định lý trên dựa vào nhát cắt Dedekind, tuy nhiên ta có thể dùng phương pháp khác để chỉ ra vành sắp thứ tự Acsimet (R,<) là giao hoán và chỉ có tự đẳng cấu thứ tự của (R,<) là ánh xạ đồng nhất.
Chứng minh R là vành giao hoán
Ta có: với m∈ bất kỳ, ∃ ∈n :(n−1)a≤mb na< . Suy ra
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
1
m ab−ba =a mb − mb a<a na − n− aa=a . Vì (R,<) là Acsimet và với mọi m∈ nên ta có ab ba− ≤0 (1)
Tương tự, ta chứng minh được ba−ab≤0 (2) Từ (1) và (2) suy ra ab ba= . Do đó R là vành giao hoán.
Chứng minh chỉ có tự đẳng cấu thứ tự của (R,<) là ánh xạ đồng nhất.
Ta định nghĩa giá trị tuyệt đối (với thứ tự "<") theo cách thông thường như sau: a =a nếu a≥0 và a = −a nếu a<0.
Gọi ϕ là tự đẳng cấu thứ tự của (R,<), lấy b>0 trong R. Ta có với m∈
bất kỳ, ∃ ∈n :n− ≤1 mb<n (*). Đặt b'=ϕ( )b và áp dụng ϕ cho bất đẳng thức (*), ta thu được: n− ≤1 mb'<n. Suy ra − <1 m b b( − ')< ⇔1 m b b− < ∀ ∈' 1, m . Mặt khác, vì (R,<) là Acsimet nên b= =b' ϕ( )b . Từ đó, ta có:
( )b ( )b b
ϕ − = −ϕ = − . Do đó ϕ là ánh xạ đồng nhất trên R.