Định lý 2.26
U là môđun M-nội xạ khi và chỉ khi U là môđun N-nội xạ với mọi môđun
N thuộc M , hay U là nội xạ trong phạm trù M .
Chứng minh. Nếu U là môđun nội xạ trong M thì hiển nhiên U là môđun
M-nội xạ.
Ngược lại, N là môđun thuộc M nên N là môđun con của môđun M-sinh F
nào đó. Khi đó tồn tại toàn cấu :M F. Áp dụng định lý Noether thì
/ Ker
Theo định lý 2.8, thì U là môđun M -nội xạ, theo hệ quả 2.9 thì U là môđun M / Ker
-nội xạ, tức U là môđun F-nội xạ, lại do hệ quả 2.9 thì U là môđun N-nội xạ.
Định lý 2.27
Cho U thuộc phạm trù M , các điều sau tương đương a) Nếu U là môđun nội xạ trong M ;
b) Mọi dãy khớp 0 U L N 0 trong M là chẻ;
c) Mọi dãy khớp 0 U L N 0 trong M với N là một môđun thương của M là chẻ.
Chứng minh
) )
a b U là nội xạ trong M , xét biểu đồ trong M với dòng là khớp
1 0 0 U f U L N U
Do U là nội xạ trong M nên có đồng cấu g L U: sao cho gf 1U, tức dãy trên là chẻ.
) )
b c Hiển nhiên
) )
c a
Với mọi biểu đồ có dòng là khớp như sau:
0 i f K M U
0 / 0 0 / 0 i f g K M M K U Q M K
Theo giả thiết thì dòng thứ hai là chẻ ra nên có :QU sao cho
1U
lúc đó f g M: U và f gi nên f gi hay f fi. Vậy
U là môđun M-nội xạ.
Từ định lý trên, và mọi môđun trong M là môđun con của môđun M- sinh, do đó nếu môđun U là môđun nội xạ trong phạm trù M thì U là hạng tử trực tiếp của môđun M-sinh, do đó là môđun M-sinh.
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình một số kết quả có liên quan đến khái niệm môđun M- nội xạ một khái niệm mở rộng của môđun nội xạ trên vành R, cùng một số điều kiện để một môđun là môđun M-nội xạ.
Nếu như một môđun là môđun M-nội xạ với mọi môđun M thì nó là môđun nội xạ trong phạm trù các môđun. Từ đây luận văn đã xem xét việc môđun U là môđun M-nội xạ với M không chạy hoàn toàn trong phạm trù các môđun.
Từ các tính chất trong luận văn ta rút ra được các điều sau:
- Nếu môđun U là môđun M-nội xạ thì ngay lập tức môđun U là môđun nội xạ trong phạm trù M .
- Nếu môđun U là môđun M-nội xạ với M thuộc các lớp môđun cyclic (hữu hạn sinh) hay môđun tự do (xạ ảnh) thì U là môđun nội xạ trong phạm trù các R-môđun.
TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt
1.Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại sốđồng điều, Nxb Đại học Quốc gia Tp. HCM, 7-103.
Tiếng Anh
2.Azumazay, G., Mbuntum, F., Varadarajan, K. (1975), On M-projective and M-injective modules, Pacific Journal of Mathematic Vol. 59, 9-16.
3.Birkenmaier, G.F. (1976), On the cancellation of quasi-injective modules, Communications in Algebra Vol. 4, 104-109.
4.Goodearl, K.R.(1976), Direct sum properties of quasi-injective modules, Bulletin of the American Mathematic Society. Vol. 82, 108-110.
5.Jain, S.K., Singh, S. (1975), Quasi-injective and pseudo-injective modules, Canadian Mathematical Bulletin Vol. 18, 359-365.
6.Li, M.S., Zelmanowitz, J.M. (1988), On the generalizations of injectivity, Communications in AlgebraVol. 16, 483-491.
7. Robert W., Foundations of Module and Ring Theory (1991), Gordon and Breach Science Publishers, 118-136.