Định nghĩa 2.2.1. Cho M là R-môđun. M được gọi là (I, J)-cominimax nếu thỏa các điều kiện sau:
i. Supp(M)⊆W(I, J).
ii. ExtiR(R/I, M)làR-môđunJ-minimax với mọii≥0.
Dễ thấy, nếu J = 0 thì M là (I, J)-cominimax khi và chỉ khi M là I-cominimax.
Điều này chứng tỏ, khái niệmR-môđun (I, J)-cominimax là mở rộng tự nhiên của
khái niệmR-môđun I-cominimax.
Ví dụ 2.2.2. Mọi R-môđun J-minimax thỏa Supp(M) ⊆ W(I, J) đều là môđun(I, J)-
cominimax. Thật vậy, theo Hệ quả 1.4.5. ta có ExtiR(R/I, M)làJ-minimax với mọi
i≥0. Từ đó suy raM là(I, J)-cominimax. Hơn nữa, theo Nhận xét 1.4.3. nếuM là
môđun minimax thỏa Supp(M)⊆W(I, J)thìM là môđun(I, J)-cominimax.
Mệnh đề 2.2.3. Cho dãy khớp ngắn cácR-môđun
0 //N f //M g //L //0
Nếu hai trong ba môđun L, M, N là (I, J)-cominimax thì môđun còn lại cũng là
(I, J)-cominimax.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.1.2. Supp(M) = Supp(N)∪Supp(L). Từ đó suy ra,
có giá nằm trongW(I, J). Tác động hàm tử HomR(R/I,−)vào dãy khớp ngắn trên ta được dãy khớp dài
... //Exti
R(R/I, N) //Exti
R(R/I, M) //Exti
R(R/I, L) //...
Nếu hai trong ba môđun ExtiR(R/I, N),ExtiR(R/I, M),ExtiR(R/I, L)làJ- minimax
với mọi i ≥ 0 thì môđun còn lại cũng là J-minimax với mọi i ≥ 0 (theo Hệ quả
1.4.5.). Từ đó suy ra, nếu hai trong ba môđun L, M, N là (I, J)-cominimax thì
môđun còn lại cũng là(I, J)-cominimax.
Hệ quả 2.2.4. Cho M, N là R-môđun (I, J)-cominimax và f : M −→ N là đồng cấu
R-môđun. Nếu một trong ba môđun Kerf, Imf, Cokerf là (I, J)-cominimax thì cả
ba môđun đều là(I, J)-cominimax.
Chứng minh. Từ f : M −→ N là đồng cấu R-môđun, ta có các dãy khớp ngắn
R-môđun sau
0 //Kerf //M //Imf //0
0 //Imf //N //Cokerf //0
Từ Mệnh đề 2.2.3. suy ra điều phải chứng minh.
Mệnh đề 2.2.5. Cho số tự nhiênnvàM làR-môđun thỏaHI,Ji (M)là(I, J)-cominimax với mọii≤n. Khi đó, ExtiR(R/I, M)làJ-minimax với mọi i≤n.
Chứng minh. Quy nạp theo n. Với n = 0, ta chứng minh HomR(R/I, M) là J-
minimax. Thật vậy, theo giả thiết ΓI,J(M) = HI,J0 (M) là (I, J)-cominimax nên
HomR(R/I,ΓI,J(M)) = Ext0R(R/I,ΓI,J(M))làJ-minimax. Mặt khác, theo Hệ quả
2.1.9. HomR(R/I, M) ∼= HomR(R/I,ΓI,J(M). Từ đó suy ra HomR(R/I, M) là J-
minimax.
Với n > 0, giả sử mệnh đề đúng đến n − 1. Gọi M là R-môđun thỏa HI,Ji (M)
là (I, J)-cominimax với mọi i ≤ n. Ta chứng minh ExtiR(R/I, M) là J-minimax
với mọi i ≤ n. Thật vậy, theo Bổ đề 2.1.15. ta có HI,Ji−1(L) ∼= Hi
cominimax và ExtiR−1(R/I, L)∼=ExtRi (R/I, M)với mọii−1≤n−1. Áp dụng giả
thiết quy nạp đối với môđunL, ta được ExtiR(R/I, M) ∼= ExtiR−1(R/I, L)là môđun
J-minimax. Xét dãy khớp ngắn
0 //ΓI,J(M) //M //M //0
Tác động hàm tử HomR(R/I,−)ta được dãy khớp dài
...ExtiR(R/I,ΓI,J(M)) // Exti
R(R/I, M) // Exti
R(R/I, M) //...
trong đó ExtiR(R/I, M) là J-minimax và ExtRi (R/I,ΓI,J(M)) là J-minimax (do
ΓI,J(M) = HI,J0 (M)là(I, J)-cominimax với mọii≤n). Từ đó suy ra ExtiR(R/I, M)
làJ-minimax (theo Hệ quả 1.4.5.).
Mệnh đề 2.2.6. Cho số tự nhiênn vàM làR-môđun thỏa ExtiR(R/I, M) làJ-minimax với mọi i ≥ 0 vàHI,Ji (M) là (I, J)-cominimax với mọi i 6= n. Khi đó, HI,Jn (M) là
(I, J)-cominimax.
Chứng minh. ĐặtM =M/ΓI,J(M). Xét dãy khớp ngắn
0 //ΓI,J(M) //M //M //0 (∗)
Quy nạp theo n. Với n = 0, ta có ExtiR(R/I, M) là J-minimax với mọi i ≥ 0 và
HI,Ji (M) là (I, J)-cominimax với mọi i > 0. Ta chứng minh ΓI,J(M) là (I, J)-
cominimax. Thật vậy, do ΓI,J(M) là (I, J)-xoắn nên Supp(ΓI,J(M)) ⊆ W(I, J)
(theo Mệnh đề 2.1.6.). Do dãy(∗)là khớp nên ta có dãy khớp dài sau
...ExtiR−1(R/I, M) // Exti
R(R/I,ΓI,J(M)) // Exti
R(R/I, M) //...
trong đó ExtRi (R/I, M)làJ-minimax (giả thiết). Mặt khác,HI,Ji−1(M)∼=Hi−1
I,J(M)là
(I, J)-cominimax nên ExtiR−1(R/I, M)làJ- minimax (theo Mệnh đề 2.2.5.). Suy ra
Giả sử mệnh đề đúng đếnn−1. Giả sửM thỏa điều kiện của mệnh đề. Ta chứng
minhHI,Jn (M) là(I, J)-cominimax. Theo Bổ đề 2.1.15. ta cóHI,Ji−1(L) ∼= Hi
I,J(M)
là (I, J)-cominimax với mọi i−1 6= n−1và ExtRi−1(R/I, L) ∼= ExtiR(R/I, M) với
mọii >0. Do dãy(∗)là khớp ngắn nên ta có dãy khớp dài sau
...ExtiR(R/I, M) // Exti
R(R/I, M) // Exti+1
R (R/I,ΓI,J(M)) //...
trong đó ExtiR(R/I, M) là J- minimax (giả thiết) và ExtRi+1(R/I,ΓI,J(M)) là J-
minimax (doΓI,J(M) =HI,J0 (M)là(I, J)-cominimax). Từ đó suy ra ExtiR−1(R/I, L)∼=
ExtiR(R/I, M) là J-minimax. Áp dụng giả thiết quy nạp cho môđun L, ta được HI,Jn (M)∼=Hn−1
I,J (L)là(I, J)-cominimax.
Định lí 2.2.7. Cho số tự nhiênnvàR-môđunM thỏa mãn
i HI,Ji (M)là(I, J)-cominimax với mọii < n,
ii. ExtnR(R/I, M)làJ-minimax.
Khi đó, với mọi N là môđun con củaHI,Jn (M)sao cho Ext1R(R/I, N)là J-minimax và
T làR-môđun hữu hạn sinh sao choSupp(T) ⊆V(I)thì HomR(T, HI,Jn (M)/N)là
R-môđun J-minimax.
Chứng minh. Theo định lí Gruson, ta chỉ chứng minh định lí đúng vớiR/I. Bước 1.
Ta chứng minh định lí đúng vớiN = 0bằng quy nạp theon. ĐặtM =M/ΓI,J(M).
Xét dãy khớp ngắn
0 //ΓI,J(M) //M //M //0 (∗)
Với n = 0. Ta chứng minh HomR(R/I,ΓI,J(M))là J-minimax. Thật vậy, theo Hệ
quả 2.1.9. ta có HomR(R/I,ΓI,J(M)) ∼= HomR(R/I, M) = Ext0R(R/I, M) là J-
minimax (theo ii.). Với n > 0, giả sử định lí đúng đến n − 1. Giả sử M thỏa
điều kiện i. và ii. Ta chứng minh HomR(R/I, HI,Jn (M)) là J-minimax. Theo Bổ
đề 2.1.15. ta có HI,Ji−1(L) ∼= Hi
ExtRn−1(R/I, L)∼=ExtnR(R/I, M)và Hom(R/I, HI,Jn−1(L))∼=HomR(R/I, HI,Jn (M)).
Do dãy(∗)là khớp ngắn nên ta có dãy khớp sau
...ExtnR(R/I, M) // Extn
R(R/I, M) // Extn+1
R (R/I,ΓI,J(M)) //...
trong đó ExtnR(R/I, M) là J-minimax (theo ii.) và ExtRn+1(R/I,ΓI,J(M)) là J-
minimax (doΓI,J(M)là(I, J)-cominimax theo i.). Từ đó suy ra ExtnR−1(R/I, L)∼=
ExtnR(R/I, M)làJ-minimax. Áp dụng giả thiết quy nạp đối với môđunL, ta được HomR(R/I, HI,Jn (M))∼=HomR(R/I, HI,Jn−1(L))làJ-minimax. Bước 2. Chứng minh
định lí đúng vớiN 6= 0. Xét dãy khớp ngắn
0 //N //Hn
I,J(M) //Hn
I,J(M)/N //0
Tác động hàm tử HomR(R/I,−)ta được dãy khớp
...HomR(R/I, HI,Jn (M)) //HomR(R/I, Hn
I,J(M)/N)) // Ext1
R(R/I, N)...
trong đó HomR(R/I, HI,Jn (M))làJ-minimax (bước 1.) và Ext1R(R/I, N)làJ-minimax
(giả thiết). Từ đó HomR(R/I, HI,Jn (M)/N)làJ-minimax.
Hệ quả 2.2.8. Cho M là R-môđun J-minimax và số tự nhiên n sao cho HI,Ji (M) là
(I, J)-cominimax với mọii < n. Nếu J HI,Jn (M)là J-minimax thì chiềuGoldie của
HI,Jn (M)/J HI,Jn (M)là hữu hạn. Hơn nữa, tâp iđêan liên kết củaHI,Jn (M)/J HI,Jn (M)
cũng là hữu hạn.
Chứng minh. ĐặtK =HI,Jn (M)/J HI,Jn (M). DoM vàJ HI,Jn (M)làJ-minimax nên ExtnR(R/I, M) và ExtR1(R/I, J HI,Jn (M)) (theo Hệ quả 1.4.5.). Khi đó, theo Định
lí 2.2.7. ta có HomR(R/I, K)làJ-minimax. Mặt khác, theo Mệnh đề 1.1.3. suy ra
Supp(HomR(R/I, K))⊆V(J), từ đó HomR(R/I, K)là môđunJ-cominimax. Theo
Mệnh đề 1.4.10. chiều Goldie của môđun HomR(R/I, K) là hữu hạn và tâp iđêan
liên kết của HomR(R/I, K)cũng là hữu hạn. Hơn nữa,HI,Jn (M)là(I, J)-xoắn nên
1.1.5. ta có, Ass(HomR(R/I, K)) = Ass(K)∩V(I) = Ass(ΓI(K)) = Ass(K). Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Hệ quả 2.2.9. ChoM làR-môđun và số nguyên dươngnthỏa mãn
i. ExtnR−1(R/I, M)làR-môđun hữu hạn sinh.
ii. Supp(HI,Ji (M))⊆M ax(R)với mọi i < n.
Nếu Ext1R(R/I, J HI,Ji (M))là hữu hạn sinh với mọii < nthìHI,Ji (M)/J HI,Ji (M)là môđun Artin với mọii < n.
Chứng minh. Quy nạp theon. Vớin = 1, ta có HomR(R/I, M) = Ext0R(R/I, M)là
hữu hạn sinh. Ta chứng minhK := ΓI,J(M)/JΓI,J(M) là môđun Artin. Thật vậy,
do ΓI,J(M) là (I, J)-xoắn nên K là I-xoắn (theo Hệ quả 2.1.7.). Ta chứng minh
(0 :K I)là Artin theo mệnh đề 1.1.9. Do0 :ΓI,J(M) I
∼
= HomR(R/I,ΓI,J(M))∼=
HomR(R/I, M)là môđun hữu hạn sinh và Supp0 :ΓI,J(M) I⊆Supp(ΓI,J(M)) =
Supp(HI,J0 (M))⊆ Max(R)suy ra HomR(R/I,ΓI,J(M))∼=0 :
ΓI,J(M) I
là môđun Artin (theo Mệnh đề 1.1.8). Xét dãy khớp
0 //JΓI,J(M) //ΓI,J(M) //K //0
Tác động hàm tử HomR(R/I,−)ta được dãy khớp sau
HomR(R/I,ΓI,J(M) //HomR(R/I, K) //Ext1
R(R/I, JΓI,J(M)) //...
trong đó HomR(R/I,ΓI,J(M))là Artin (chứng minh trên) và Ext1R(R/I, JΓI,J(M))
là Artin (do Ext1R(R/I, JΓI,J(M))hữu hạn sinh và có giá nằm trong Max(R)). Từ đó
HomR(R/I, K) là môđun Artin, suy ra(0 :K I)là Artin. Khi đó,K là I-xoắn thỏa
(0 :K I) là Artin nên theo 1.3.6. suy ra K là môđun Artin. Với n > 1, giả sử định
lí đúng đến n−1. Giả sử môđun M thỏa các điều kiện của định lí. Ta chứng minh
HI,Ji (M)/J HI,Ji (M)với mọii < n. Theo Bổ đề 2.1.15. ta cóHI,Ji−1(L) ∼= Hi
I,J(M), ExtnR−2(R/I, L)∼=ExtnR−1(R/I, M)và Ext1R(R/I, J HI,Ji−1(L))∼=Ext1R(R/I, J HI,Ji (M))
là hữu hạn sinh với mọii−1< n−1. Từ dãy khớp ngắn
0 //ΓI,J(M) //M //M //0 (∗)
ta có dãy khớp sau
...ExtnR−1(R/I, M) // Extn−1
R (R/I, M) // Extn
R(R/I,ΓI,J(M))...
trong đó ExtnR−1(R/I, M) và ExtnR(R/I,ΓI,J(M)) là các môđun hữu hạn sinh. Từ
đó ExtnR−2(R/I, L) =∼ ExtnR−1(R/I, M)là hữu hạn sinh. Áp dụng giả thiết quy nạp
đối với môđunL, ta đượcHI,Ji (M)/J HI,Ji (M)∼=Hi−1
I,J(L)/J HI,Ji−1(L)là Artin.
Định lí 2.2.10. Cho số tự nhiênnvàM làR-môđun thỏa mãn
i. HI,Ji (M)là(I, J)-cominimax với mọii < n,
ii. Extn+1R (R/I, M)làJ-minimax.
Khi đó, Ext1R(R/I, HI,Jn (M))làJ-minimax.
Chứng minh. Quy nạp theon. Xét dãy khớp ngắn sau
0 //ΓI,J(M) //M //M //0 (∗)
Với n = 0, Ext1R(R/I, M) là J-minimax. Ta chứng minh Ext1R(R/I,ΓI,J(M)) là
J-minimax. Do dãy(∗)khớp nên ta có dãy khớp dài sau
...HomR(R/I, M) // Ext1
R(R/I,ΓI,J(M)) // Ext1
R(R/I, M)...
trong đó HomR(R/I, M) = 0(theo Hệ quả 2.1.9.). Khi đó, ta xem Ext1R(R/I,ΓI,J(M))
là môđun con của Ext1R(R/I, M) là J-minimax. Theo Hệ quả 1.4.5. suy ra được
Ext1R(R/I,ΓI,J(M))làJ-minimax.
Với n > 0. Giả sử định lí đúng đếnn −1. Giả sử M thỏa i. và ii. ta chứng minh Ext1R(R/I, HI,Jn (M)) là J-minimax. Theo Bổ đề 2.1.15. Ext1R(R/I, HI,Jn−1(L)) ∼=
ExtR1(R/I, HI,Jn (M)), HI,Ji−1(L)∼=Hi
và ExtnR(R/I, L)∼= Extn+1R (R/I, M)với mọii > 0. Do dãy(∗)là khớp ngắn nên ta có dãy khớp dài sau
...Extn+1R (R/I, M) // Extn+1
R (R/I, M) // Extn+2
R (R/I,ΓI,J(M))...
trong đó Extn+1R (R/I, M) là J-minimax (theo ii.) và ExtRn+2(R/I,ΓI,J(M)) là J-
minimax (do ΓI,J(M) là (I, J)-cominimax theo i.). Từ đó suy ra ExtnR(R/I, L) ∼=
Extn+1R (R/I, M)là J-minimax. Áp dụng giả thiết quy nạp cho môđun L, ta được Ext1R(R/I, HI,Jn (M))∼=Ext1R(R/I, HI,Jn−1(L))làJ-minimax.
Hệ quả 2.2.11. Nếu M là R-môđun có chiều nội xạ là n ≥ 0 và HI,Ji (M) là (I, J)- cominimax với mọii < nthì Ext1R(R/I, HI,Jn (M))làJ-minimax.
Chứng minh. Do idM =n < n+ 1nên theo Mệnh đề 1.2.8. ta có Extn+1R (R/I, M) =
0, suy ra Extn+1R (R/I, M)là J-minimax. Áp dụng Định lí 2.2.10. suy ra điều phải
chứng minh.
Định lí 2.2.12. ChoM làR-môđun và số tự nhiênnthỏa mãn
i. HI,Ji (M)là(I, J)-cominimax với mọii < n,
ii. ExtiR(R/I, M))làJ-minimax với mọii≥0.
Khi đó,HomR(R/I, HI,Jn+1(M))làJ-minimax khi và chỉ khi Ext2R(R/I, HI,Jn (M))làJ-minimax.
Chứng minh. Xét dãy khớp ngắn
0 //ΓI,J(M) //M //M //0 (∗)
Chiều thuận. Quy nạp theon. Vớin = 0, ta có HomR(R/I, HI,J1 (M))làJ-minimax.
Ta chứng minh Ext2R(R/I,ΓI,J(M))làJ-minimax. Thật vậy, do dãy(∗)khớp ngắn
nên ta có dãy khớp dài sau
...Ext1R(R/I, M) // Ext2
R(R/I,ΓI,J(M)) // Ext2
trong đó Ext2R(R/I, M)làJ-minimax (theo ii.) và Ext1R(R/I, M)∼=HomR(R/I, L)∼=
HomR(R/I,ΓI,J(L))∼=HomR(R/I, HI,J1 (M))làJ-minimax (theo Hệ quả 2.1.9. và
Bổ đề 2.1.15.). Từ đó Ext2R(R/I,ΓI,J(M)) là J-minimax. Với n > 0, giả sử định
lí đúng đến n −1. Giả sử M thỏa điều kiện i, ii. và HomR(R/I, HI,Jn+1(M)) là J-
minimax, ta chứng minh Ext2R(R/I, HI,Jn (M))làJ-minimax. Theo Bổ đề 2.1.15. ta
có
HI,Ji−1(L)∼=Hi
I,J(M)là(I, J)-cominimax với mọii−1< n−1,
ExtiR−1(R/I, L)∼=ExtiR(R/I, M)với mọii >0, Ext2R(R/I, HI,Jn−1(L))∼=Ext2R(R/I, HI,Jn (M)),
HomR(R/I, HI,Jn (L))∼=HomR(R/I, HI,Jn+1(M))làJ- minimax.
Do dãy(∗)là khớp ngắn nên ta có dãy khớp dài sau
...ExtiR(R/I, M) // Exti
R(R/I, M) // Exti+1
R (R/I,ΓI,J(M)...
trong đó ExtiR(R/I, M) là J-minimax (theo ii.) và ExtRi+1(R/I,ΓI,J(M)) là J-
minimax (doΓI,J(M)là(I, J)-cominimax theo i.). Từ đó suy ra ExtiR−1(R/I, L) ∼=
ExtiR(R/I, M) là J-minimax. Áp dụng giả thiết quy nạp cho môđun L, ta được Ext2R(R/I, HI,Jn (M))∼=Ext2R(R/I, HI,Jn−1(L))làJ-minimax.
Chiều đảo. Quy nạp theo n. Vớin = 0, ta có Ext2R(R/I,ΓI,J(M))là J-minimax. Ta
chứng minh HomR(R/I, HI,J1 (M))làJ-minimax.
Ta có HomR(R/I, HI,J1 (M))∼=Ext1R(R/I, M)(chiều thuận). Do(∗)khớp ngắn nên
ta có dãy khớp dài sau
...Ext1R(R/I, M) // Ext1
R(R/I, M) // Ext2
R(R/I,ΓI,J(M))...
trong đó Ext1R(R/I, M)và Ext2R(R/I,ΓI,J(M))làJ-minimax. Từ đó suy ra, HomR(R/I, HI,J1 (M))∼=
Ext1R(R/I, M)làJ-minimax. Vớin >0, giả sử định lí đúng đếnn−1. Giả sửMthỏa
J-minimax. Thật vậy, do dãy(∗)khớp ngắn nên ta có dãy khớp dài sau
...ExtiR(R/I, M) // Exti
R(R/I, M) // Exti+1
R (R/I,ΓI,J(M))...
trong đó ExtiR(R/I, M)là cácJ-minimax (theo ii.) và ExtRi+1(R/I,ΓI,J(M))làJ-
minimax (doΓI,J(M)là(I, J)-cominimax theo i.). Từ đó suy ra ExtiR−1(R/I, L) ∼=
ExtiR(R/I, M) là J-minimax. Áp dụng giả thiết quy nạp cho môđun L, ta được HomR(R/I, HI,Jn+1(M))∼=HomR(R/I, HI,Jn (L))làJ-minimax.
Hệ quả 2.2.13. Cho M là R-môđun J-minimax và số tự nhiên n sao cho HI,Ji (M) là
(I, J)-cominimax với mọi i < n. Khi đó, HomR(R/I, HI,Jn+1(M))là J-minimax khi và chỉ khi Ext2R(R/I, HI,Jn (M))làJ-minimax.
Chứng minh. Do M là J-minimax nên ExtiR(R/I, M) làJ-minimax với mọi i ≥ 0
(Hệ quả 1.4.5.). Từ Định lí 2.2.10. suy ra điều phải chứng minh.