TÍNH LŨY LINH CỦA CÁC GIAO HỐN TỬ TRONG VÀNH NGUYÊN TỐ

NGUYÊN TỐ

2.1 Các giao hốn tử của một vành

Định nghĩa. Cho R là một vành khơng giao hốn ta gọi các giao hốn tử của vành R là các

phần tử của R cĩ dạng xy yx trong đĩ x y, R. Khi đĩ ta kí hiệu x y,  xyyx. Nếu R là vành giao hốn thì tất cả các giao hốn tử của R đều bằng 0.

Trong chương này chúng ta tập trung giải quyết hai vấn đề cơ bản sau. Vấn đề 1. Cho R là một vành nguyên tố, phần tử a R .

Với mọi x R , nếu a x,  axxa lũy linh thì phải chăng lúc đĩ a Z , với Z là tâm của vành R.

Một vấn đề tổng quát hơn được đặt ra nữa là :

Vấn đề 2. Cho R là một vành nguyên tố, phần tử a R .

Giả sử tồn tại một ideal Ucủa R (U (0))sao cho với mọi x U , ta cĩ a x, ax xa lũy linh thì phải chăng lúc đĩ ta cũng được a Z .

Trong quá trình giải quyết những vấn đề cụ thể nêu trên, chúng tơi đã cố gắng giải quyết các vấn đề này với R là vành chia được, R là vành nguyên thủy và R là một vành nửa đơn (nửa nguyên thủy).

Với những vành cụ thể đặc biệt đã nĩi ở trên thì chúng ta cĩ thể đưa ra dự đốn về tính chất của phần tử a cho hai vấn đề được nêu ra ở trên là aZ với Z là tâm của vành R ,

điều dự đốn này sẽ được khẳng đinh trong những định lý và mệnh đề sau. 2.2 Tính lũy linh của các giao hốn tử trong vành nguyên tố

Trong phần này ta thống nhất về kí hiệu và ghi nhận một số kết quả sau: 2.2.1 Z là tâm của vành R , cịn Z T( ) là tâm của một vành con T của R

2.2.2 J J R( ) là kí hiệu cho căn Jacobson của vành R .

2.2.3 Ideal luơn là ideal hai phía.

2.2.4 Nếu x là tựa chính quy thì tựa nghịch đảo của x kí hiệu là x, do đĩ ta cĩ

0

2.2.5 Nếu vành R khơng cĩ đơn vị thì ta vẫn sẽ dùng kí (1x a a) ( x)1 thay cho (1x a a) ( x)axaaxxax.

2.2.6 Một miền là một vành (cĩ thể khơng giao hốn) khơng cĩ ước của 0.

2.2.7 Cho R là một vành nguyên tố và R khơng phải là một miền. Nếu U (0) là một ideal của R thì U cũng là vành nguyên tố và U cũng khơng phải là miền. Hơn nữa, U cĩ phần tử lũy linh khác 0.

2.2.8 Nếu x là tựa chính quy và ax0 thì ax 0. 2.2.9 Nếu aJ và xR thì  t R: (ax)at.

2.2.10 Cho R là vành nguyên tố và U (0) là một ideal của R . Nếu aR a, 0 là một ước trái của 0 thì cĩ một phần tử x U sao cho ax0 nhưng xa0.

Định lý 2.2 Cho R là một vành nguyên tố mà J (0) và A là một vành con của R sao cho

1

(1x A) (1x)  A, x J . Giả sử rằng tồn tại phần tử khác 0 của A là ước của 0 trong R . Nếu A khơng chứa ideal khác 0 của R thì N là vành con sinh bởi tất cả các phần tử lũy linh của J cũng khơng chứa ideal khác 0 của R .

Chứng minh

Trước tiên, ta chứng minh A phải tồn tại phần tử khác 0 mà cĩ bình phương bằng 0.

Thật vậy, giả sử a là ước của 0 trong R sao cho 0 a A và tồn tại 0 x R để ax0. Vì

(0)

J  cũng là một ideal của R nên theo kết quả 2.2.10 khi đĩ tồn tại yJ sao cho

0, 0

ay ya . Vì yJ nên y là tựa chính quy và ay0, theo 2.2.8 thì ay 0 suy ra

1

(1 ) (1 )

ya yaay yay  y a  y   a A. Do ay0 nên 2

(ya)  y ay a( ) 0. Vậy tồn tại 0 yaA và (ya)2 0.

Lấy 0 a A a: 2 0. Nếu xJ thì (1ax a) (1ax)1A. Do tồn tại tR sao cho

1

(1ax)  1 at nên (1ax a) (1ax)1 (1ax a) aaxaA axaA, từ đĩ suy ra

aJa A.

Nếu bA thì với mọi xJ ta cĩ ( (b ax)(ax b) )(1ax)1 1

(1 ) (1 )

b ax b ax  A

     . Nhân vào bên trái với a và áp dụng a2 0 ta cĩ

1

(1 ) , ,

abax ax  A  x J  b A. Tuy nhiên, nếu yJ thì

1

(1 ) (1 ) (1 )

đĩ abaJ  A, b A. Nếu tJ thì (1t abaJ) (1t)1 (1t A) (1t)1  A và dẫn đến

tabaJ  A hay ta cĩ JabaJ  A.

Mặt khác JabaJ lại là một ideal của R chứa trong A , theo giả thiết thì JabaJ (0),

do tính nguyên tố của R nên suy ra aba0. Tĩm lại, nếu aA và a2 0 thì aAa0. Cho a b, A sao cho a2 b2 0 theo trên chúng ta đã chứng minh được

0 0

bJb AabJbaaAa ab hoặc ba0 (do R là vành nguyên tố). Nếu xJ thì

1

(1 ) (1 )

b x a x  A và b2 0. Do ab0 hoặc ba0 nên a(1x a) (1x)1 0 hoặc

1

(1x a) (1x) a0, từ đĩ ta được axa0 hoặc ax a 0.

Nếu uJ thỏa u2 0 thì u  u uu  u u( u uu) u, do đĩ ta cĩ aua0

hoặc au a  aua0 tĩm lại ta được aua0.

Chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu vJ là lũy linh thì ava0. Như chứng minh trên, do vJ nên ta cĩ ava0 hoặc av a 0. Vì

2 3

( ) ... ...

v  v vv  v v  v vv    v v v  và do v lũy linh nên với i1 là số nguyên dương nhỏ nhất mà vi 0. Ta cĩ 1 2 3 1 (( ) 1) ... ( ) 1 1 i i v v v v v v v v v v                   

Do đĩ, nếu av a 0 thì ava0. Vậy với mọi vJ là lũy linh thì ava0. Từ đĩ suy ra (av)2 0.

Giả sử rằng uJ u, 2 0 và rR thì uruJ và (uru)2 0 nên theo chứng trên thì

0

aurua , lại do R là vành nguyên tố nên au 0 hoặc ua0. Nếu au 0 thì hiển nhiên

auA. Mặt khác, nếu au 0 thì ua0, tuy nhiên

1 1 1

(1 ) (1 ) ( )(1 ) (1 )

a u a u   auua u  Aau u  A hay

(1 ) ( )

au u auauuauau  u uu auA. Do đĩ với mọi uJ sao cho u2 0 thì

auA. Hơn nữa theo chứng minh trên ta cũng cĩ aua0 suy ra (au)2 0. Vì thế, nếu

vJ sao cho v2 0 thì auv(au v) A. Thật vậy, vì nếu au0 thì hiển nhiên (au v) A, cịn nếu au0 thì do auA và (au)2 0 nên theo chứng minh trên ta cũng cĩ (au v) A.

Từ đĩ ta đi đến kết luận: Nếu B là một vành con của R sinh bởi các phần tử trong J

Nếu B chứa ideal V (0) của R thì aV  A. Kết hợp với 1 x trong đĩ xJ ta cĩ

1 1

(1x aV) (1x) (1x A) (1x)  A suy ra xaV  A dẫn đến JaV  A, mâu thuẫn với

giả thiết A khơng chứa ideal khác 0 của R . Do đĩ B khơng chứa ideal khác 0 của R . Tuy nhiên, B là một vành con của R cĩ ước của 0, B bất biến đối với mọi tự đẳng cấu của R và B khơng chứa ideal khác 0 của R . Những điều lý luận trên A áp dụng cho B

ta được, nếu uB, u2 0 và xJ là lũy linh thì uxu 0 và do đĩ uxB. Như trên, nếu

N là một vành con của R sinh bởi tất cả các phần tử lũy linh của J thì uN B. Vì B khơng chứa ideal khác 0 của R nên N cũng khơng chứa ideal khác 0 của R .■

Để giải quyết hai vấn đề đã được nêu ra ở trên đây ta sẽ tìm cách giải quyết bài tốn sau đây :

Bài tốn. Cho R là một vành nguyên tố, cĩ đơn vị và U (0) là một ideal của R . Nếu

aR sao cho (auua)n 0, u U thì phải chăng aZ .

Tương đương với điều này chúng ta cĩ thể phát biểu : Nếu a Z thì chắc chắn sẽ tồn tại phần tử u U u , 0 để au ua khơng lũy linh.

Để giải quyết bài tốn này, trước hết chúng tơi sẽ cố gắng giải quyết bài tốn này trong một số trường hợp đặc biệt của vành R như : R là vành chia được, R là vành nguyên thủy và R là một vành nửa đơn (nửa nguyên thủy).

Mệnh đề 2.2 Giả sử R là một vành nguyên tố, nửa đơn và U (0) là một ideal của R . Nếu

aR sao cho (auua)n 0, u U thì aZ. Chứng minh

Trước hết, nếu R là vành chia được thì bổ đề hiển nhiên đúng. Thật vậy, bằng phản

chứng giả sử aZ tức tồn tại xR sao cho axxa0 vì R là vành chia được nên

axxa khả nghịch.

Mặt khác từ giả thiết của mệnh đề 2.2 ta chọn U R khi đĩ (axxa)n 0 vì axxa

khả nghịch nên (axxa)n1 0 cứ tiếp tục nhân hai vế cho phần tử nghịch đảo của axxa

ta được axxa0 (mâu thuẫn).

Vậy bổ đề đúng với R là vành chia được.

Bây giờ, giả sử R là vành nguyên thủy và cho M là một R - module bất khả quy và trung thành. Thì M cũng là một U- module bất khả quy và trung thành. Thật vậy, hiển

Ta chứng minh M là một U- module bất khả quy.

Nếu MU (0) thì do M trung thành nên U (0) (mâu thuẫn) do đĩ ta phải cĩ MU (0). Giả sử N (0) là một U- module con của M ta cĩ NU N M  NURMRM nên

NU là R - module con của M mà

M là một R - module bất khả quy và NU (0) nên NU M M  N  N M.

Vậy M cũng là một U - module bất khả quy.

Từ đĩ ta thấy U cũng là một vành nguyên thủy với M là một U- module bất khả quy và trung thành do đĩ theo định lý dày đặc U tác động dày đặc trong M như một khơng gian

vectơ trên vành chia được

 

( ) ( ) : u u ,

C M  E M T T u U

       .

Giả sử tồn tại vM sao cho v và va độc lập tuyến tính trên  bởi tác động dày đặc của U trong M nên cĩ u U sao cho vu0 và (va u) v. Từ đĩ ta cĩ v au( ua)v suy ra v au( ua)n v. Mà (auua)n 0 nên v0 (mâu thuẫn). Do đĩ với mọi vM thì v và

va phải phụ thuộc tuyến tính trên  hay va ( )v v trong đĩ ( )v  . Vì thế, nếu xR thì

( )vx a( )v vx và

(va x) ( ( ) ) v v x( )v vx suy ra ( )vx a(va x) v xa( ax)0, v M hay

( ) (0)

M xaax  . Lại do M là R - module trung thành nên ta cĩ xaax0, x R. Vậy

aZ.

Tiếp theo, ta giả sử R là vành nguyên tố và nửa đơn.

Gọi QP U P P, là ideal nguyên thủy của R và

 

  , là ideal nguyên thủy của

W P U P P R .

Đặt I1  P Q P và I2  P W P. Vì mỗi P W đều cĩ chứa U nên I2 U I2 (0) . Tuy nhiên I1I2  P Q W  PJ (0) (vì R là vành nửa đơn). Do I I1 2 I1I2 (0) và

2 (0)

I  nên ta cĩ I1 (0) ( vì R là vành nguyên tố). Ta cĩ I1  P Q P0 vì thế R là tích

trực tiếp con của họ R P trong đĩ PQ. Vì P là ideal nguyên thủy của vành R nên

R P cũng là vành nguyên thủy. Theo trên thì trong mỗi R P ảnh của a nằm trong tâm của

R P . Tức là a xxa0, x R P. Do đĩ axxaP, x R, từ đĩ

1 (0)

P Q

Nếu chúng ta xét tập hợp tất cả các phần tử aR sao cho : (auua)n 0 với u U

thì tập hợp này là bất biến đối với tất cả các tự đẳng cấu của R mà biến U thành U. Đặc biệt, tập hợp này cịn bất biến đối với các tự đẳng cấu trong xác định bởi 1 x trong đĩ

xJ .

Hệ quả. Giả sử R là một vành nguyên thủy và R cĩ đơn vị, với a R a Z ,  sao cho

axxanZ, x R. Khi đĩ, Z (0) là một trường, R là vành đơn và R là hữu hạn chiều trên tâm Z.

Chứng minh

Nếu Z (0) ta cĩ axxanZ axxan 0, x R và R là vành nguyên thủy, cĩ đơn vị nên R là vành nguyên tố (bổ đề 1.3.5.1) và nửa đơn (1.4.3) theo mệnh đề 2.2 suy ra

a Z (mâu thuẫn giả thiết a Z ). Vậy Z (0).

Vì Z (0) nên tồn tại axxan 0,axxanZ. Khi đĩ, R thỏa mãn đồng nhất thức thực sự khơng tầm thường axxany y ax  xan 0 nên R là một PI – Đại số. Do đĩ theo định lí 1.5 (Kaplansky – Amitsur) thì tâm Z (0) của R là một trường, R là một vành đơn và R là hữu hạn chiều trên tâm Z.■

KẾT LUẬN

Qua việc tìm hiểu về căn Jacobson của một vành, mối quan hệ giữa các vành đặc biệt và các giao hốn tử trong vành nguyên tố chúng tơi rút ra được một số kết quả như sau:

 Jphải( )R Jtrái( )R và Jvành( )A Jđại số( )A .

 Nếu R là vành đơn và R cĩ đơn vị thì R là vành nửa đơn.

 Nếu R vừa là vành đơn, vừa là vành Artin thì R là vành nửa đơn.

 Nếu R là vành nguyên thủy thì R là vành nửa đơn.

 Nếu R là vành nguyên thủy thì R là nguyên tố.

 Nếu R vừa là vành đơn, vừa là vành nửa đơn thì R là vành nguyên thủy.

 Nếu R vừa là vành đơn, vừa là vành Artin thì R là vành nguyên thủy.

 Cho R là vành nguyên tố cĩ đơn vị với Z là tâm của R. Nếu R là một vành chia được hay một vành nguyên thủy hay một vành nửa đơn (nửa nguyên thủy) và giả sử tồn tại một ideal Ucủa R (U (0)) sao cho với mọi x U , mà a x, ax xa lũy linh thì ta cĩ aZ.

Như vậy bài tốn đã được giải quyết cho một vài trường hợp đặc biệt của vành R, đĩ là R là một vành nguyên tố cĩ đơn vị và R là vành chia được hay một vành nguyên thủy hay một vành nửa đơn (nửa nguyên thủy). Trường hợp tổng quát nếu R là một vành nguyên tố tùy ý thì phải chăng ta vẫn cĩ được kết quả aZ. Và đĩ cũng chính là một câu hỏi được đặt ra và cũng là một hướng cần thiết để luận văn phát triển thêm

Ngồi ra nếu ta thay a x, ax xa lũy linh bằng a x, ax xa Z  thì tính chất được rút ra cho phần tử a sẽ là gì?

Vì kiến thức cịn hạn chế và thời gian cĩ hạn nên luận văn khơng tránh khỏi những thiếu sĩt. Rất mong nhận được sự gĩp ý, chỉ bảo chân thành của quý Thầy, Cơ và các bạn.