Từ định nghĩa ta có một ví dụ đơn giản về môđun tự xạ ảnh như sau:
Mênh đề 1. Các R môđun đơn là các môđun tự xạ ảnh.
Xét một R môđun đơn M , toàn cấu g M: N và đồng cấu . Ta cần chứng minh tồn tại một đồng cấu f P: M sao cho fg f
Thật vậy, nếu N 0 thì sự tồn tại của đồng cấu f là hiển nhiên. Nếu
0
N , do M là môđun đơn nên g là đẳng cấu và có đẳng cấu ngược 1 : g N M . Ta xét, đồng cấu f fg 1 :M M và dễ thấy rằng 1 fg fg g f . Vậy M là môđun tự xạ ảnh. Mệnh đề 2. (Các tính chất của môđun tự xạ ảnh). (i) Cho A M là họ các R môđun. Khi đó, 1 n i i M là tự xả ảnh khi và chỉ khi với mỗi i 1,2,...,n thì Mi là Mj xạ ảnh j 1,2,...,n
(ii) Cho R môđun M và n ,n 1 thì M là tự xạ ảnh khi và chỉ khi
n
M là tự xạ ảnh;
(iii) Cho R môđun M là tự xạ ảnh và K là môđun con hoàn toàn bất biến của M , thì M
K cũng là môđun tự xạ ảnh.
(i) Ta có 1 n i i M là tự xạ ảnh 1 n i i M là 1 n i i M xạ ảnh Mi là 1 n i i M xạ ảnh, i 1,2,...,n Mi là Mj xạ ảnh, 1,2,..., , 1,2,..., i n j n
(ii) Nếu M là M xạ ảnh ta có Mn là M xạ ảnh, suy ra Mn là Mn
xạ ảnh.
Nếu Mn là Mn xạ ảnh ta có M là M xạ ảnh hay M là tự xạ ảnh. (iii) Xét toàn cấu g :M N
K là toàn cấu, f :MK N là đồng cấu và
toàn cấu chính tắc p M: M
K . Khi đó, với toàn cấu pg M: N và đồng
cấu pf M: N, M là tự xạ ảnh nên sẽ tồn tại đồng cấu :M M sao cho
pg pf .
Ta xét phép tương ứng f :M M
K K ,x ( )x , ta sẽ chứng minh f là đồng cấu môđun thỏa fg f. Thật vậy, f là một ánh xạ vì với hai phần tử
, :
x y M x y K thì x y x y K K(Do K là môđun con hoàn toàn bất biến của M ) . Ta dễ dàng kiểm tra được f là đồng cấu. Cuối cùng ta có x fg x g x pg x pf x f suy ra fg f vậy M
K là tự xạ ảnh.
Mệnh đề 3. Cho R môđun M , I là iđêan của R thì: (i) Nếu M là môđun nửa đơn thì M là tự xạ ảnh; (ii) Nếu M là môđun tựa xạ ảnh thì M
IM là tự xạ ảnh;
(iii) Cho N M và N là hạng tử trực tiếp của môđun tự xạ ảnh M thì
(iv) Cho M là tự xạ ảnh, f M: M là toàn cấu sao cho Imf là hạng tử trực tiếp của M thì kerf cũng là hạng tử trực tiếp của M .
Chứng minh
(i) Cho g M: N là một toàn cấu, f M: N là đồng cấu ta cần tìm đồng cấu f M: M sao cho sơ đồ sau là giao hoán
Do tính nửa đơn của M nên kerg là hạng tử trực tiếp của M . Khi đó, do
Img N , ta xét đồng cấu k B: Img N với B là hạng tử trực tiếp của M
và M kerg B và ( )b k ( ) ,b g b B. Dễ thấy k là đẳng cấu, thật vậy, với mỗi x N thì tồn tại a ker ,g b B sao cho (a b g) x (do g là toàn cấu) suy rax ( )b g ( )b k Img N , điều này chứng tỏ k là ánh xạ toàn ánh; hơn nữa kerk kerg B 0 . Do vậy, tồn tại đẳng cấu ngược h k 1 :N B
và hg idImg idN .
Đặt f fh . Khi đó, fg fhg fidN f .
(ii) Được suy ra trực tiếp từ 2.2.2 mệnh đề 2 iii) do IM là môđun con hoàn toàn bất biến của M . Thật vậy, với :M M là tự đồng cấu, i i,
i I
x rm I
là tập hữu hạn ta có i i
i I
x r m IM do đó (IM) IM hay IM là môđun con hoàn toàn bất biến của M .
(iii) Với N là hạng tử trực tiếp của môđun tự xạ ảnh M , xét toàn cấu
:
g N T , đồng cấu f N: T, ta cần tìm đồng cấu f sao cho sơ đồ sau giao hoán:
Giả sử rằng M N K và :N K N và i N: N K tương ứng là phép chiếu và phép nhúng tương ứng với hạng tử trực tiếp N . Do M là tự xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu :M M sao cho sơ đồ sau giao hoán:
Tức là g f , đặt f i . Khi đó, fg i g i f id fN f , điều này chứng tỏ N là tự xạ ảnh.
(iv) Đặt Imf A và giả sử M A B với các đồng cấu chiếu và nhúng
:A B A và i A: A B. Do M là tự xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu
Tức là f , đặt k i :A M. Thì kf i f i idA . Do đó,
kerf là hạng tử trực tiếp của M .
Mệnh đề 4. (Các môđun xạ ảnh trong M và đặc trưng).
Cho các R môđun P và M các khẳng định sau là tương đương: (i) P là M xạ ảnh với mọi tập chỉ số .
(ii) P là N xạ ảnh với mọi N M . (iii) Hàm tử Hom P, : M AB là khớp
Nếu P là môđun hữu hạn sinh, thì ( ) ( )i iii cũng tương đương với (iv) Plà M xạ ảnh
Nếu P nằm trong M thì ( ) ( )i iii cũng tương đương với (v) P là xạ ảnh trong M .
(vi) Mọi dãy khớp ngắn 0 K N P 0 trong M là chẻ ra. Nếu P là hữu hạn sinh và nằm trong M thì ( ) ( )i vi cũng tương đương với
(vii) Mọi dãy khớp 0 K N P 0 trong M với K M là chẻ ra.
(viii) Mọi dãy khớp ngắn 0 K N P 0 trong M với N hữu hạn sinh là chẻ ra.
Chứng minh
( )i ( )ii N nằm trong M nên N đẳng cấu với một môđun con của môđun M sinh T, do T là M sinh nên tồn tại tập chỉ số và R toàn cấu :M T . Khi đó, vì P là M xạ ảnh suy ra P cũng là T xạ ảnh. Ta có thể xem N như là môđun con của T, do đó P là N xạ ảnh.
Ngược lại, nếu P là N xạ ảnh với mọi N nằm trong M , dễ thấy rằng M là môđun M sinh với mọi tập chỉ số nên M nằm trong M
và do đó P là M xạ ảnh với mọi tập chỉ số . ( )i ( )iv hiển nhiên theo 2.1.2 (định lý 5)
( )ii ( )iii hiển nhiên vì xét toàn cấu g N: T suy ra T là ảnh toàn cấu của N nên T nằm trong M . Xét dãy khớp ngắn 0 kerg N T 0
trong M ,theo iii) thì
, : , ,
Hom P g Hom P N Hom P T
là toàn cấu nên P là N xạ ảnh.
( )ii ( )v hiển nhiên theo định nghĩa của môđun xạ ảnh trong phạm trù
M
Do P là N xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu h P: N sao cho hg 1P. Điều này chứng tỏ dãy khớp ngắn 0 K N P 0 là chẻ ra.
( )vi ( )v với sơ đồ với dòng là khớp sau:
Bằng việc hình thành cái kéo lại ta được một sơ đồ giao hoán với các dòng là khớp như sau:
Theo vi) ta có dòng trên là chẻ ra nên tồn tại đồng cấu :P Q sao cho 1P , ta có hg f suy ra hg f 1Pf f . Do đó, P là N xạ ảnh với mọi môđun N nằm trong M và P là xạ ảnh trong M .
( )iv ( )vii là hiển nhiên vì P là xạ ảnh trong M
( )vii ( )vi Với toàn cấu g M: N và đồng cấu f P: N ta hình thành cái kéo lại từ đó ta có sơ đồ giao hoán với các dòng là khớp như sau:
Do K kerg M nên dòng trên là dãy khớp ngắn chẻ suy ra tồn tại đồng cấu :P Q thỏa 1P . Tương tự như trên ta chứng minh được P là M
xạ ảnh.
(viii) ( )vi Do P là hữu hạn sinh nên gọi y y1, ,...,2 yn là tập sinh của P
khi đó, lấy x1 y1 1,x2 y2 1,...,xn yn 1 và đặt
1 2 ... n
N Rx Rx Rx . Rõ ràng N là môđun con hữ hạn sinh của N và đồng cấu :
N N P là toàn cấu, theo (viii) tồn tại đồng cấu :P N sao cho 1P N . Ta lại có , N x x x x P . Do đó dãy 0 K N P 0 là chẻ ra.
Mệnh đề 5. (Một số tính chất xa hơn của môđun xạ ảnh)
Cho M là một R môđun và S End MR .
(1) Mọi môđun xạ ảnh trong M là một hạng tử trực tiếp của một tổng trực tiếp các môđun con hữu hạn sinh của M ;
(2) Mọi môđun xạ ảnh trong M là đẳng cấu với một môđun con của một
tổng trực tiếpM ;
(i) Cho mọi S môđun con hữu hạn sinh I của Hom M NR , ta có
,
R
I Hom M MI ;
(ii) Nếu M là hữu hạn sinh thì ( )i vẫn đúng cho mọi S môđun con
I của Hom M NR , ;
(4) Cho M là xạ ảnh trong M vàN M . Với bất kì môđun con
1, 2
L L của N thì Hom M L, 1 L2 Hom M L, 1 Hom M L, 2 .
Chứng minh
(1) Do các môđun con hữu hạn sinh của M là tập các phần tử sinh trong
M nên với P là môđun xạ ảnh trong M thì tồn tại toàn cấu :
A
f U P
với
A
U là một họ các môđun con hữu hạn sinh của M . Ta có ker
U P f hay P là một hạng tử trực tiếp của một tổng trực tiếp của một họ các môđun con hữu hạn sinh của M .
(2) Cho P là một môđun xạ ảnh trong M nên P đẳng cấu với một môđun con của môđun M sinh T; tức là tồn tại một đơn cấu f P: T. Mặt khác, do T là M sinh nên có một tập chỉ số và toàn cấu g M: T. Do P xạ ảnh trong M nên P là xạ ảnh, do đó có một đồng cấu h P: M sao cho
hg f mà f là đơn cấu nên h cũng là đơn cấu; khi đó, P đẳng cấu với một môđun con của tổng trực tiếp M .
(3) (i) Giải sử 1 , k i i i
I Sf f I ; rõ ràng I là tập con của Hom M MIR , . Với mỗi g Hom M MIR , ta xét sơ đồ sau:
Mà M là tự xạ ảnh nên M là Mk xạ ảnh, do đó tồn tai đồng cấu
1, ,...,2 : k
k
h h h h M M , với hi S sao cho
1 k i i i g h f . Từ đó, , R I Hom M MI .
(ii) Giả sử I Sf và g Hom M MIR , . Thì M g là môđun con hữu hạn sinh của MI M f . Từ đó, M g nằm trong một tổng trực tiếp
hữu hạn
1 i
k
i
Mf . Khi đó tương tự như (i) ta cũng có I Hom M MIR ,
(4) Hiển nhiên ta thấy Hom M L, 1 Hom M L, 2 Hom M L, 1 L2 Chiều ngược lại có được nhờ sơ đồ giao hoán sau:
Do M là xạ ảnh trong M từ đó M là xạ ảnh theo L L1, 2 suy ra M là
1 2
1, 2 , 1 , 1 , 2 , 2
h h h h Hom M L h Hom M L sao chof f1 f2. Tức là,
1 2 1 2
, , ,
Hom M L L Hom M L Hom M L . Vậy ta có điều cần chứng minh.
Mệnh đề 6.
Cho M là một R môđun và P M S, End PR . (1) Nếu P là M xạ ảnh thì các điều sau là tương đương: (i)M là một phần tử sinh trong M
(ii)Hom P ER , 0 với mọi môđun đơn E M
(iii)P sinh ra mọi môđun đơn trong M (iv)P sinh ra mọi môđun con của M
(2) Nếu P là một môđun hữu hạn sinh và là một phần tử sinh trong M
, thì các tính chất sau là tương đương: (i)P là M xạ ảnh
(ii)PS là trung thành phẳng.
Chứng minh
( )i ( )ii Xét đồng cấu đồng nhất 1 :E E E. Khi đó do P là một phần tử sinh trong M nên tồn tại đồng cấu h P: E sao cho h1E 0. Tức là
, 0
R
Hom P E với mọi môđun đơn E M .
( )ii ( )iii Xét đồng cấu f E: L khác đồng cấu không, do E là môđun đơn nên f là đơn cấu. Khi đó, vì Hom P ER , 0 nên có một đồng cấu 0 h Hom P ER , và hf 0. Vậy P sinh ra mọi môđun đơn trong M
( )iv ( )iii Ta chứng minh rằng mọi môđun đơn E trong M là ảnh đồng cấu của một môđun con của M . Do bao M xạ ảnh E của E là M
sinh, nên có một đồng cấu f Hom M E, với đồng cấu này ta có E M f
và E là ảnh đồng cấu của E f 1 M.
( )iii ( )i Ta chỉ cần chứng minh P sinh ra mọi môđun con hữu hạn sinh
N M .
Do P là N xạ ảnh. Giả sử Tr P N, N thì tồn tại một môđun con tối đại K N và Tr P N, K. Theo (c) có một toàn cấu f P: N
K và do P
là xạ ảnh ta được một sơ đồ giao hoán sau:
Do đó tồn tại đồng cấu h P: N và P h Tr P N, K . Điều này dẫn đến hp f 0 (mâu thuẫn với sự lựa chọn cho f )
(2)( )a ( )b PS là môđun phẳng theo mệnh đề trên ta có với mọi idean trái thật sự của S thì Hom P PI, I từ đó PI P và PS là trung thành phẳng.
( )b ( )a Do P là môđun hữu hạn sinh và là một phần tử sinh trong M
dạng: n fi 0, ,
i
P P n f S . Dãy sau đây phải là khớp
,
, n Hom P fi , 0
R R
Hom P P Hom P P
Đặt SK coker Hom P, fi . Tenxơ với PS ta được một sơ đồ
khớp với các đẳng cấu chính tắc 1, 2
Từ đây ta có P S K 0 và K 0 (do (b)). Do đó dòng trên là khớp và
P là M xạ ảnh.
Mệnh đề 7.
(1) RR là một phần tử sinh xạ ảnh trong R MOD và từ đó mọi R
môđun là ảnh toàn cấu của một môđun xạ ảnh (tự do).
(2) Cho một R môđun P, các khẳng định sau là tương đương: (a)P là xạ ảnh trong R MOD;
(b)P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của R , là một tập chỉ số;
(c) Tồn tại các phần tử p P : và f Hom P R, : sao cho với mọi p P:
(i) p f 0 với một số hữu hạn và (ii) p p f p
Chứng minh
(1) Rõ ràng R là một phần tử sinh trong phạm trù R MOD. Để chứng minh R là xạ ảnh trong phạm trù R MOD, ta xét toàn cấu f N: R và n1
là phần tử của N sao cho n f1 1; khi đó xét đồng cấu h R: N r, rn1
và rõ ràng ta thấy hf idR.Từ đó, R là xạ ảnh trong phạm trù R MOD. (2)( )a ( )b Do R là phần tử sinh trong phạm trù R MOD nên tồn tại tập chỉ số và toàn cấu f R: P ; hơn nữa P là xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu h P: R sao cho hf idP. Từ đây, P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của R ( )b ( )c Ta có các ánh xạ R R g P và f R R P với R id và fg idP. Đặt f f và 1
p g ta được với mọi p P thì 1
p p fg p f g p f p với p f 0 chỉ với một
số hữu hạn .
( )c ( )b f Hom P R, xác định một ánh xạ f P: R theo (i) ta có
P f R . Mặt khác ánh xạ R Rp P sinh ra một cấu xạ g R: P
theo (ii) ta suy ra fg idP từ đó P là đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của. Ta đã biết rằng với mọi môđun M , vếtTr M R, của M trong R là iđêan hai phía trong R (xem 13.5).
M là phần tử sinh trong R MOD khi và chỉ khi Tr M R, R
Mệnh đề 8. (Các iđêan vết của môđun xạ ảnh)
Nếu R môđun P là xạ ảnh trong R MOD, thì (1) Tr P R P, R;
(2) Tr P R, là iđêan lũy đẳng tức làTr P R, 2 Tr P R, .
Chứng minh
(1) Hiển nhiên ta thấy Tr P R P, là môđun con của P . Ta cần chứng minh Tr P R P, P . Thật vậy, do P là xạ ảnh trong phạm trù R MOD, theo mệnh đề 2.1.12 ta có với mỗi p P thì tồn tại các phần tử p : và
, :
f Hom P R sao chop p f p với một số hữu hạn nhiều
các p f 0; rõ ràng p f Tr P R, , từ đó p Tr P R P, hay
,
P Tr P R P .
(2) Hiển nhiên ta thấy Tr P R, 2 Tr P R, . Để chứng minh điều ngược lại ta lấy g Hom P R, , khi đó p g p f p g Tr P R, 2.