2.2.4.1. Định nghĩa
Vành R được gọi là chính quy mạnh nếu: với mọi a∈R, tồn tại x∈R sao cho a=a x2 .
2.2.4.2. Định lý
Vành R là chính quy mạnh nếu và chỉ nếu R là chính quy Von Neumann và giản ước được. Vành này luôn là tích trực tiếp con của một họ các vành chia.
Do nội dung của phần chứng minh không nằm trong phần nghiên cứu nên ta không nêu ra cách chứng minh. Bây giờ chúng ta sẽ trình bày phát biểu và chứng minh kết quả sau của A.Robinson.
2.2.4.3. Định lý
Nếu một miền R có thể được nhúng vào một tích trực tiếp của các vành chia D ii( ∈I), thì R có thể được nhúng vào một vành chia.
Chứng minh: Đặt i i I P D ∈ =∏ , và viết mỗi phần tử x∈Pdưới dạng ( )xi i I∈ . Với mỗi x∈P, ta xác định một phần tử x∗ ( )x∗i i I P ∈ = ∈ như sau: 1 0 , 0 , 0 i i i i i x x x x x ∗ ∗ − = = = ≠ . Ta cũng định nghĩa: Ux ={( )ai i I∈ |∀ ∈i I x, i ≠ ⇒ =0 ai 0}. Ta có: Uxlà một ideal của P (vìUx =ann xl ( )=ann xr( )), 1−xx∗∈Ux và
(Ux +Uy + +... Uz)xy z... =0 *( ).
Vì R có thể nhúng vào P nên ta xem R như là một vành con của P, đặt
x
{ }, ,..., \ 0 , ,..., \ 0
x y z∈P sao cho:1∈Ux +Uy + +... Uz và theo (*) ta được ...xy z=0, điều này mâu thuẫn với giả thiết R là một miền.
Do U ≠P nên P/ U≠0. Với mọi phần tử x∈P/ Uthỏa x≠0(x U∉ )
ta có: 1−xx∗∈Ux ⇒ −1 xx∗∈ ⇒ −U 1 xx∗ =0. Mặt khác: 1−xx∗ = −1 xx∗ = −1 x x. ∗ . Do đó ta có ngay: .x x∗ =1. Như vậy, / UP là một vành chia. Xét đồng cấu f R: →P U/ thỏa f x( )= ∀ ∈x, x R. Mặt khác, { } ( ) ( ) ( ) ( ) \ 0 : 1 0 . 1 x R f xx∗ f x f x∗ f ∀ ∈ − = ⇒ = ⇒ ≠0 f x( )∈P U/ . Do đó f là đơn cấu.
Vậy: f là phép nhúng R vào vành chia P/U. □
2.2.4.4. Hệ quả
Nếu một miền R có thể nhúng vào một vành chính quy mạnh '
R thì R có thể nhúng vào một vành chia.
Chứng minh:
Theo Định lý 2.2.4.2 '
R là một tích trực tiếp con của một họ các vành chia D ii( ∈I), do đó ' R có thể được nhúng trong i i I D ∈ ∏ . Do đó: miền R có thể nhúng vào tích trực tiếp của các vành chia, suy ra R có thể được nhúng vào một vành chia (Định lý 2.2.4.2).□
KẾT LUẬN
Kết quả luận văn:
- Xây dựng vành các thương của một vành giao hoán và không giao hoán. Điều kiện tồn tại vành các thương.
- Trình bày sự tồn tại của vành chia không giao hoán.
- Đưa ra ví dụ về nữa nhóm H có luật giản ước hai phía nhưng không thể nhúng vào một nhóm G bất kỳ. Từ đó xây dựng miền K(H) không thể nhúng vào một vành chia.
- Chỉ ra tính không duy nhất khi nhúng một miền không giao hoán vào vành chia.
TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt