5. Phương pháp nghiên cứu
2.2 Chiều FP-xạ ảnh và chiều FP nội xạ
Chiều FP- xạ ảnh của M, ký hiệu là fpdR(M) hay fpd(M) là số nguyên nhỏ nhất n ≥ 0 sao cho n+1( )
R
Ext M, N =0 với bất kỳ R- môđun phải FP- nội xạ N. Nếu n không tồn tại thì fpdR(M) = ∞.
Chiều FP- nội xạcủa M, ký hiệu là FP- id(M)là số nguyên nhỏ nhất n ≥ 0 sao cho
( )
n+1 R
Ext F, M =0 với tất cả R- môđun phải biểu diễn hữu hạn F. Nếu n không tồn tại thì FP- id(M) = ∞.
Nhận xét.(1) Nếu M là môđun FP- xạ ảnh thì fpd(M) = 0 (2) Nếu M là môđun FP- nội xạ thì FP- id(M) = 0
Định nghĩa 2.2.2.
Chiều FP- xạ ảnh phải của R, ký hiệu là rfpD(R) được định nghĩa là: rfpD(R) = sup{fpdR(M): M là một R- môđun phải hữu hạn sinh}.
Chiều FP- nội xạ phải của R, ký hiệu là r.FP-dim(R) được định nghĩa là: r.FP-dim(R) = sup{FP-id(M): M là R- môđun phải}.
Tính chất 2.2.3 ([4], proposition 3.1, page 1157).Cho R là vành coherent phải, M là R- môđun phải bất kỳ và số nguyên n ≥0. Các phát biểu sau là tương đương:
(i) fpd(M) ≤ n.
(ii) ExtRn+1(M N, )=0 với bất kỳ R- môđun phải FP- nội xạ N.
(iii) ExtRn+ j(M N, )=0 với bất kỳ R- môđun phải FP- nội xạ N và j ≥ 1.
(iv) Tồn tại dãy khớp 0→Pn →Pn-1→ ⋅⋅⋅ →P1→ P0 →M →0 trong đó các Pi , i = 0,1,…,n là các FP- xạ ảnh.
Tính chất 2.2.4 ([Đối ngẫu của Tính chất 2.2.3]). Cho R là vành coherent phải, M là R- môđun phải bất kỳ và số nguyên n ≥0. Các phát biểu sau là tương đương:
(i) FP - id(M) ≤ n.
(ii) ExtRn+1(N M, )=0 với bất kỳ R- môđun phải biểu diễn hữu hạn N.
(iii) ExtRn+ j(N M, )=0 với bất kỳ R- môđun phải biểu diễn hữu hạn N và j ≥ 1. (iv) Tồn tại dãy khớp 0→M →J0→ → ⋅⋅⋅ →J1 Jn-1→Jn →0 trong đó các Ji, i = 0,1,…,n là các FP- nội xạ.
Tính chất 2.2.5 ([4], Proposition 3.2, page 1158).Cho R là vành coherent phải, và dãy khớp các R- môđun phải 0→ → → →A B C 0. Nếu hai trong số ba môđun A, B, C có chiều FP- xạ ảnh là hữu hạn thì chiều FP- xạ ảnh của môđun còn lại cũng hữu hạn. Hơn nữa:
(i) fpd(B) ≤ sup{fpd(A), fpd(C)}. (ii) fpd(A) ≤ sup{fpd(B), fpd(C) - 1}. (iii)fpd(C) ≤ sup{fpd(B), fpd(A) + 1}.
Tính chất 2.2.6. Cho R và S là những vành coherent phải. Nếu ϕ: R → S là một toàn cấu vành với S là một R- môđun dẹt trái và S là một R- môđun phải xạ ảnh. Khi đó:
(i) fpdS(M) = fpdR(M) với bất kỳ S- môđun phải MS. (ii) rfpD(S) ≤ rfpD(R).
Chứng minh.
(i)Chứng minh fpdS(M) ≤ fpdR(M)
Giả sử fpdR(M) = n < ∞, cho FS là một S- môđun phải FP- nội xạ, theo Bổ đề 2.1.9 ta có FR cũng là một R- môđun phải FP- nội xạ. Mặt khác theo Định lý 2.1.8 ta có
đẳng cấu n+1( ( )) n+1( )
S R R
Ext M, Hom S, F ≅Ext M, F =0. Vì ϕ là toàn cấu nên
( ) S R F ≅Hom S, F , suy ra n+1( ) S Ext M, F =0, do đó fpdS(M) ≤ n hay fpdS(M) ≤ fpdR(M) (1) Chứng minh fpdR(M) ≤ fpdS(M)
Giả sử fpdS(M) = n < ∞, theo Tính chất 2.2.3 thì tồn tại dãy khớp các S- môđun phải sau:
n n-1 1 0
0→P →P → ⋅⋅⋅ → P → P →M→0
trong đó các Pi , i = 0,1,…,n là các S- môđun phải FP- xạ ảnh. Theo Bổ đề 2.1.9 (iii) thì các Pi , i = 0,1,…,n cũng là các R- môđun phải FP- xạ ảnh. Do đó theo Tính chất 2.2.3 thì fpdR(M) ≤ n hay fpdR(M) ≤ fpdS(M) (2)
Từ (1) và (2) suy ra fpdR(M) = fpdS(M).
(ii) Theo chứng minh ở câu (i) ta có fpdS(M) ≤ fpdR(M) ≤ rfpD(R). Vậy rfpD(S) ≤
rfpD(R).
Định lý 2.2.7.Cho R và S là vành coherent phải và S là mở rộng tốt của R. Khi đó, với bất kỳ S- môđun phải MS thì fpdR(M) = fpdS(M) = fpdS(M ⊗R S).
Chứng minh.
Chứng minh fpdR(M) ≤ fpdS(M)
Không mất tính tổng quát ta giả sử fpdS(M) = n < ∞. Khi đó, theo Tính chất 2.2.3 thì tồn tại dãy khớp 0→Pn →Pn-1→ ⋅⋅⋅ → P1 → P0 →M→0 trong đó các Pi , i = 0,1,…,n là các S- môđun phải FP- xạ ảnh. Theo Bổ đề 2.1.10 (iii) mỗi Pi, i = 0,1,…,n cũng là các R- môđun phải FP- xạ ảnh nên fpdR(M) ≤ n hay fpdR(M) ≤
fpdS(M) (1).
Chứng minh fpdS(M ⊗RS) ≤ fpdR(M)
Nếu fpdR(M) = n < ∞thì tồn tại dãy khớp của những R- môđun phải
n n-1 1 0
0→P →P → ⋅⋅⋅ → P → P →M→0
trong đó các Pi , i = 0,1,…,n là các R- môđun phải FP- xạ ảnh. Vì RS là dẹt nên ta có dãy khớp của những S- môđun phải sau:
n R n-1 R 1 R 0 R R
0→P ⊗ S→P ⊗ S→ ⋅⋅⋅ → ⊗P S→ ⊗P S→ ⊗M S→0
mà theo Bổ đề 2.1.10 (iii) thì các Pi ⊗R S, i = 0,1,…,n là các S- môđun phải FP- xạ ảnh. Suy ra fpdS(M ⊗R S) ≤ n hay fpdS(M ⊗R S) ≤ fpdR(M) (2)
fpdS(M) ≤ fpdS(M ⊗RS) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra fpdR(M) = fpdS(M) = fpdS(M ⊗R S).
Định lý 2.2.8. Cho R và S là vành coherent phải và S là mở rộng tốt của R. Khi đó,
với bất kỳ S- môđun phải MS thì FP- idR(M) = FP- idS(M) = FP- idS(HomR(S, M)).
Chứng minh.
Chứng minh FP- idR(M) ≤ FP- idS(M).
Giả sử FP- idS(M) = n < ∞. Khi đó, theo Tính chất 2.2.4 thì tồn tại dãy khớp
0 n
0→M→ J →⋅⋅⋅ → →J 0 trong đó các Ji, i = 0,1,…,n là các S- môđun phải FP- nội xạ. Theo Bổ đề 2.1.10 (ii) mỗi Ji, i = 0,1,…,n cũng là các R- môđun phải FP- nội xạ nên FP- idR(M) ≤ n hay FP- idR(M) ≤ FP- idS(M). (1)
Chứng minh FP- idS(HomR(S, M)) ≤ FP- idR(M).
Nếu FP- idR(M) = n < ∞ thì tồn tại dãy khớp của những R- môđun phải
0 n
0→M→ J →⋅⋅⋅ → →J 0trong đó các Ji, i = 0,1,…,n là các R- môđun phải FP- nội xạ. Vì SRlà xạ ảnh nên ta có dãy khớp của những S- môđun phải sau:
( ) ( ) ( )
R R 0 R n
0→Hom S, M →Hom S, J →⋅⋅⋅ →Hom S, J →0
mà theo Bổ đề 2.1.10 (ii) thì các HomR(S, Ji), i = 0,1,…,n là các S- môđun phải FP- nội xạ. Suy ra FP- idS(HomR(S, M)) ≤ n hay FP- idS(HomR(S, M)) ≤ FP- idR(M) (2)
Mặt khác, MS đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của HomR(S, M) nên FP- idS(M) ≤ FP- idS(HomR(S, M)). (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra FP- idR(M) = FP- idS(M) = FP- idS(HomR(S, M)).
Hệ quả 2.2.9.Cho R và S là những vành coherent phải. Khi đó: (i) Nếu S là mở rộng tốt của R thì rfpD(S) ≤ rfpD(R).
(ii) Nếu S là mở rộng rất tốt của R thì rfpD(S) = rfpD(R). Chứng minh.
(i)Theo chứng minh Định lý 2.2.7 ta có fpdS(M ⊗R S) ≤ fpdR(M) ≤ rfpD(R). Suy ra rfpD(S) ≤ rfpD(R).
Vì S là mở rộng rất tốt của R, R là hạng tử trực tiếp của R- song môđun S. Cho RSR = R ⊕ T và MR là R- môđun phải bất kỳ, ta có M ⊗R S ≅ MR ⊕ (M ⊗R T). Do đó theo Định lý 2.2.7, ta có fpdR(M) ≤ fpdR(M ⊗RS) = fpdS(M ⊗RS) ≤ rfpD(S) suy ra rfpD(R) ≤ rfpD(S). Kết hợp với (i) ta được rfpD(S) = rfpD(R).
Định lý 2.2.10. Cho S là mở rộng tốt của R. Nếu R và S là những vành coherent phải và rfpD(R) < ∞ thì rfpD(S) = rfpD(R).
Chứng minh.
Theo Hệ quả 2.2.9 (i) ta đã có rfpD(S) ≤ rfpD(R).
Ta cần chứng minh rfpD(R) ≤ rfpD(S)
Cho rfpD(R) = n < ∞, khi đó tồn tại một R- môđun phải M sao cho fpdR(M) = n. Định nghĩa một R- đồng cấu phải α: M → M ⊗R S cho bởi α(m) = m ⊗1 với m ∈
M.
Từ tính khớp của dãy 0 → Ker(α) → M và RS là dẹt nên cho ta tính khớp của dãy 0 → Ker(α) ⊗R S → M ⊗R S. Vì vậy Ker(α) ⊗RS = 0 suy ra Ker(α) = 0, do đó α
là đơn cấu và khi đó ta có dãy khớp các R- môđun phải:
R
0→M→ ⊗M S→ →L 0
Theo Tính chất 2.2.5 (ii), ta có: n = fpdR(M) ≤ sup{fpdR(M ⊗R S), fpdR(L) -1} ≤
rfpD(R) = n do fpdR(L) - 1 ≤ n – 1, fpdR(M ⊗RS) = n
Mặt khác, theo Định lý 2.2.7 thì fpdR(M ⊗R S) = fpdS(M ⊗R S) ≤ rfpD(S). Suy ra rfpD(R) ≤ rfpD(S). Vậy rfpD(R) = rfpD(S).