Chương 2: CÁC P.I ĐẠI SỐ NGUYÊN TỐ VÀN ỬA NGUYÊN TỐ
2.2. Các kết quả của Posner-Rowen Định nghĩa 1.:
Định nghĩa 2.2.1.:
Một đại số con A của đại số Q được gọi là thứ tự trái ( phải ) trong Q nếu mọi phần tử chính quy của A đều khả nghịch trong Q và mỗi phần tử của Q đều có dạng a b1 ( hay ba1) với a,bA
Định lý 2.2.2: (Định lý Posner-Rowen)
Cho A là một đại số nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức thực sự thì:
1. Đại số QC( )A các thương theo tâm của A thì hữu hạn chiều trên tâm của nó,và tâm của QC( )A là trường các thương F của tâm C của đại số A.
2. A là thứ tự trái và phải trong QC( )A
3. A và QC( )A cùng thỏa một đồng nhất thức
Chứng minh:
1. -Ta có A nguyên tố, nên QC( )A nguyên tố (theo 2.1.6) và vì A nguyên tố nên tâm của ( )
QC A là trường cac thương F của tâm C của đại số A (với C là tâm của A, thì Q CC( )chính là tâm củaQC( )A ,Q CC( )chính là trường các thương Fcủa tâm C của A, là trường con nhỏ nhất chứa C( theo định lý 2.1.4 và nhận xét 2.1.5) .
-Theo 2.1.3 A thỏa mãn đồng nhất thức thực sự nên QC( )A cũng thỏa mãn đồng nhất thức thực sự, QC( )A nguyên tố, tâm QC( )A là trường F nên QC( )A là đại số đơn có đơn vị (theo 2.1.10).Suy ra QC( )A là đại số nguyên thủy
-Theo Kaplansky-Amitsur QC( )A hữu hạn chiều trên tâm F của nó.
2. -Vì QC( )A hữu hạn chiều trên trường F nên QC( )A là Artin, nên mọi phần tử không là ước của 0 của QC( )A đều khả nghịch, do cách xây dựng QC( )A nên mọi phần tử của nó đều có dạng c a ac1 1 , a A,c C
-Lấy b chính quy trong A, tacó b=11bQC( )A .Giả sử ( 11b) (c a1 )=0, suy ra 1
(1. )c (ba)=0.Khi đó tồn tại sC\ 0 : s(ba)=0,suy ra ba=0,nên a=0, suy ra c a1 =0.Vậy b chính quy trong QC( )A nên khả nghịch trong QC( )A
3. A và QC( )A cùng thỏa mãn đồng nhất thức như nhau đã được chứng minh ở định lý Rowen 2.1.3.
Định lý của Posner-Rowen đã chứng tỏ rằng một P.I đại số nguyên tố có thể nhúng vào một P.I đại số nguyên thủy hữu hạn chiều trên tâm của nó như một thứ tự trái hoặc phải.Có nghĩa là: A QC( )A vàQC( )A ) nguyên thủy (đơn và có đơn vị).
Ta cũng có:
A là nửa nguyên thủy J(A)= ( ) bkqA M
M = <0>A là tích trực tiếp con các đại số nguyên thủy .
A là nửa nguyên tố A là tích trực tiếp con các đại số nguyên tố.
Một câu hỏi tự nhiên đặt ra:” Liệu có thể mở rộng định lý Posner- Rowen cho lớp các P.I đại số nửa nguyên tố, điều đó có nghĩa là: Với A là một P.I đại số nửa nguyên tố thì A có được nhúng vào QC( )A như một thứ tự phải trái và QC( )A là P.I đại số nửa nguyên thủy?” Trong P.I-ALGEBRAS AN INTRODUCTION của Nathan Jacobson điều này đã được khẳng định là không và ví dụ sau đây trong đề tài luận văn thạc sĩ của Nguyễn Huy Hoàng càng khẳng định điều đó mạnh mẻ hơn.
Gọi A là đại số các đa thức vô hạn đếm được biến xi trên trường hữu tỉ và thỏa thêm điều kiện .x xi j 0, i j.Khi đó A có các tính chất sau:
A là một -đại số giao hoán có đơn vị nên là PI- đại số
Trong A không có phần tử lũy linh khác 0 nên A không có ideal lũy linh khác 0 nên A là PI- đại số nửa nguyên tố
Đa thức fA là phần tử chính quy khi và chỉ khi hệ tử tự do của f khác 0
Đặt S là tập hợp tất cả các phần tử chính quy trong A.Khi đó I=A\S là tập hợp các đa thức của A có hệ tử tự do bằng 0.Dễ thấy I 0 và I trùng với tập hợp các phần tử ước của 0 của A.Ta có I là ideal chính quy ( do A giao hoán có đơn vị ), tối đại duy nhất của A nên J(A)=I0, suy ra A không nửa nguyên thủy
Lấy 1A là tập hợp các đa thức biến xi có hệ tử tự do bằng 0 của A, 2A là tập hợp các đa thức biến xjcó hệ tử tự do bằng 0 của A với ij.Khi đó 1A , 2A là các ideal của I.Tacó
1
A ,A2 0 nhưng 1A A2=0.Suy ra A không là đại số nguyên tố
Vì I là ideal tối đại của A, nên I là ideal nguyên tố của A, S=A\I là tập con đóng nhân của A.Gọi AS là tập các lớp tương đương s x1 (sS,xA).Ta sẽ chứng minh
AS là đại số cần tìm
Thật vậy:
AS là một -đại số giao hoán có đơn vị nên là PI-đại số AS không là đại số nguyên tố , vì :
1
s x =0 (sS, xA) tS: xt=0 Điều này tương đương với s x 1 0 xt0, tS. Ta có: s x1 , 1t y 0,nhưng (s x1 )( 1t y)=( )st 1(xy)=0 do xy=0
ASlà một đại số nửa nguyên tố , vì trong AS không có phần tử lũy linh khác 0 nên không có ideal lũy linh khác 0
Đặt s x s S x I1 / , AS
Gọi ASvới là con thực sự của
Lúc đó,s x1 ,s x1 x I , do đó xS s x1 khả nghịch
Vậy: AS là đại số nửa nguyên tố, và không là đại sốđơn.
Để chứng minhAS không thể mở rộng thêm nửa, ta chứng minh mệnh đề sau:”
AS A sS, s khả nghịch trong A” Thật vậy:
) Dễ thấy A AS . Lấy (s a1 )
AS ,sS,aA vì s khả nghịch trong A nên tA: t1=s.Khi đó (s a1 )=taA.Vậy:
AS A
) Vì AS A, bằng cách đồng nhất,ta có thể xem mọi phần tử của ASvà của A là như nhau.Vì mọi phần tử chính quy trong A đều khả nghịch AS nên chúng đều khả nghịch trong A.
Đặt S1 là tập tất cả các phần tử chính quy trongAS , các phần tử của S1 có dạng s x1 với s, xS.Khi đó mọi phần tử của S1 đều khả nghịch trongAS, Suy ra ( )
1
AS S AS .
Trong luận văn này tôi sẽ bổ sung một số điều kiện để có thể mở rộng định lý Posner- Rowen cho lớp các P.I đại số nửa nguyên tố.