Bài 4.14(ĐH Sư phạm Hà Nội 2). ChoE là không gian véc tơ trên trường số thực, một tự đồng cấu tuyến tínhf củaE được gọi là tự đồng cấu tuyến tính lũy linh nếu tồn tại một sốk ∈ N sao cho fk = 0là tự đồng cấu tuyến tính không (số k nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện này được gọi là cấp lũy linh của
f). Chứng minh rằng nếuf là tự đồng cấu tuyến tính lũy linh cấppcủaE thì hệ{idE, f, . . . , fp−1}là độc lập tuyến tính trong không gian véc tơEnd(E).
Bài 4.15 (CĐ Sư phạm Vĩnh Phúc). XétV là không gian các hàm thực liên tục trên đoạn[a, b]và giả sửf1, f2, . . . , fn ∈V sao cho
det b Z a fi(x)fj(x)dx = 0.
Chứng minh rằng hệ véctơ{f1, f2, . . . , fn}phụ thuộc tuyến tính trênV.
5 GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VÉC TƠ RIÊNG
Bài 5.1(ĐH Bách Khoa Hà Nội). ChoA, B là hai ma trận vuông cấpn, trong đóB lũy linh vàAB =BA. Chứng minh rằng λlà trị riêng của Akhi và chỉ khiλlà trị riêng củaA+λB.
Bài 5.2(ĐH Bách Khoa Hà Nội). Cho ma trậnA = (aij)vuông cấpn, trong đóaij =
bi−j, nếui6=j
0, nếui=j vớib6= 0. Tìm các trị riêng củaAvà tínhdet(A).
Bài 5.3 (CĐ Ngô Gia Tự). Cho A, B là các ma trận vuông cấp n thỏa mãn
A−A2+B−B2 =AB. Chứng minh rằng A+B có giá trị riêng là1khi và chỉ khiAhoặcB có giá trị riêng là 1.
Bài 5.4(ĐH Sao Đỏ). ChoA, B là các ma trận vuông cấpn.
a. Chứng minh rằng tập các giá trị riêng củaABvàBA trùng nhau. b.A, B là hai ma trận giao hoán và lũy linh thì A+B lũy linh.
Bài 5.5(ĐH Tân Trào). Giả sửAlà một ma trận vuông trên Ccó tính chất:
A∗A = AA∗ (A∗ là ma trận liên hợp của ma trận A). Chứng minh rằng nếu
xlà một véc tơ riêng củaA ứng với giá trị riêngλ thìx cũng là véc tơ riêng củaA∗ ứng với giá trị riêngλ(λlà số phức liên hợp của số phứcλ).