X = chỉ số giảm phát GDP đối với hàng nhập khẩu.
22 Chúng ta bỏ qua câu hỏi về sự thích hợp của mơ hình theo quan điểm lý thuyết cũng nhƣ câu hỏi về việc liệu ngƣời ta cĩ thể đo lƣờng đƣợc sinh lợi theo quy mơ từ chuỗi dữ liệu theo thời gian hay khơng.
7.11 CÁC MƠ HÌNH HỒI QUI ĐA THỨC
Chúng ta kết thúc chƣơng này bằng cách xem xét một nhĩm các mơ hình hồi quy bội, những mơ
hình hồi quy đa thức, đƣợc sử dụng rộng rãi trong các cuộc nghiên cứu kinh tế lƣợng cĩ liên quan đến hàm sản xuất và chi phí. Khi giới thiệu những mơ hình này, chúng tơi sẽ mở rộng thêm phạm vi của các mơ hình này để cĩ thể dễ dàng áp dụng những mơ hình hồi quy tuyến tính cổ điển vào chúng.
Để xác định các ý tƣởng, xem hình 7.4, hình 7.4 này cho thấy quan hệ giữa chi phí sản xuất biên tế ngắn hạn (MC) (gọi là biến Y) của một loại hàng hĩa và mức sản lƣợng của nĩ (gọi là biến X). Đƣờng cong MC vẽ cho thấy trong hình, tức đƣờng cong hình chữ U theo sách giáo khoa, cho thấy quan hệ giữa MC và sản lƣợng là khơng tuyến tính. Nếu chúng ta phải định lƣợng mối quan hệ này từ các điểm rời rạc, làm cách nào chúng ta cĩ thể thực hiện đƣợc? Nĩi một cách khác, loại mơ hình kinh tế lƣợng nào thể hiện đƣợc bản chất giảm dần lúc ban đầu và sau đĩ tăng dần của chi phí biên tế?
HÌNH 7.4
Đƣờng cong chi phí biên tế cĩ dạng hình chữ U
Về mặt hình học, đƣờng MC đƣợc mơ tả trong hình 7.4 là một parabol. Về mặt tốn học, một parabol đƣợc biểu thị bởi phƣơng trình sau:
Y = 0 + 1X + 3X2 (7.11.1.)
đƣợc gọi là một hàm bậc hai, hay một cách tổng quát hơn, một đa thức bậc hai theo biến X-số mũ cao nhất của X biểu thị cho bậc đa thức (nếu cộng thêm X3
vào trong hàm ở trên, nĩ sẽ là một đa thức bậc ba, v.v.)
Dạng ngẫu nhiên của (7.11.1) cĩ thể đƣợc viết nhƣ sau
Yi = 0 + 1Xi + 2Xi2 + ui (7.11.2)
đƣợc gọi là một hồi quy đa thức bậc hai.
Yi = 0 + 1Xi + 2Xi2 + . . . . . kXik + ui (7.11.3)
Lƣu ý rằng trong những loại hồi quy đa thức này chỉ cĩ một biến giải thích ở bên vế phải nhƣng nĩ xuất hiện với những lũy thừa khác nhau, nhƣ vậy khiến cho chúng trở thành những mơ hình hồi quy bội. Nhân đây, lƣu ý rằng nếu Xi đƣợc giả thiết là cố định hoặc khơng ngẫu nhiên, các số hạng lũy thừa của Xi cũng trở thành cố định hoặc khơng ngẫu nhiên.
Những mơ hình này cĩ gây ra vấn đề khĩ khăn đặc biệt nào về ƣớc lƣợng khơng? Bởi vì đa thức bậc hai (7.11.2) hay đa thức bậc k (7.11.3) là tuyến tính theo các thơng số , chúng cĩ thể đƣợc ƣớc lƣợng bằng các OLS thơng thƣờng hay phƣơng pháp ML. Nhƣng cịn về vấn đề cộng tuyến thì sao? Chẳng lẽ các X khác nhau này khơng cĩ tƣơng quan cao sao, bởi vì tất cả chúng đều là lũy thừa của X? Cĩ, nhƣng nhớ rằng các số hạng nhƣ X2
, X3, X4, v.v. đều là hàm khơng tuyến tính của X và vì vậy, nĩi một cách chặt chẽ, chúng khơng vi phạm giả định về phi đa cộng tuyến.23
Tĩm lại, các mơ hình hồi quy đa thức cĩ thể đƣợc ƣớc lƣợng bằng các kỹ thuật đã đƣợc trình bày trong chƣơng này và khơng gây ra một vấn đề mới nào về ƣớc lƣợng.
Ví dụ 7.4: Ƣớc lƣợng Hàm Tổng Chi phí
Để minh họa một ví dụ về hồi quy đa thức, hãy xem xét các dữ liệu trong Bảng 7.4 về sản lƣợng và tổng chi phí sản xuất ngắn hạn của một loại sản phẩm. Loại mơ hình hồi quy nào sẽ thích hợp với các dữ liệu? Để thực hiện mục đích này, trƣớc hết chúng ta hãy vẽ một đồ thị phân tán, nhƣ trong hình 7.5. Bảng 7.4 Tổng chi phí (Y) và sản lƣợng (X) Sản lƣợng Tổng chi phí 1 193 2 226 3 240 4 244 5 257 6 260 7 274 8 297 9 350 10 420
Từ hình này rõ ràng là quan hệ giữa tổng chi phí và sản lƣợng tƣơng tự nhƣ một đƣờng cong hình chữ S kéo dài; lƣu ý đƣờng tổng chi phí lúc đầu gia tăng từ từ và sau đĩ tăng nhanh, nhƣ quy