Cho K là tập con đĩng, khác rỗng của khơng gian Banach X. Một ánh xạ
:
T K →K được gọi là nửa compact nếu với mỗi dãy bị chặn { }xn n∞=1 trong K sao cho lim 0
→∞ n − n =
n x Tx thì tồn tại dãy con { } { } 1
1 ∞ ∞ = = ⊂ j n n n j x x sao cho lim →∞ = ∈ j n j x x K. 3.12 Định lý 3.14
Cho X là khơng gian Banach thực lồi đều, K là tập con đĩng khác rỗng của X, họ T T1, ,...,2 TN: K →K là họ các ánh xạ tựa tiệm cận khơng giãn. Với dãy
( ) { }i n r sao cho 1 ∞ = < ∞ ∑ n n r trong đĩ =max{ ( )i : =1, 2,..., } n n r r i N . Cho { }xn được định nghĩa trong (1.6) với ( )
1 , 1 γ ∞ = < ∞ ≤ ≤ ∑ i n n i N và { }α( )i ⊆[ε , 1−ε], =1, 2,..., n i N ứng với ε∈(0 ;1). Nếu ( ) 1 = =N i ≠ ∅ i F F T , {T T1, 2,...,TN}
là nửa compact. Khi đĩ, { }xn
hội tụ mạnh tới một điểm bất động của họ ánh xạ {T T1, 2,...,TN}.
Chứng minh.
Theo giả thiết ta giả sử Ti0là ánh xạ nửa compact với i0∈{1, 2,...,N}. Theo bổ đề 3.11 ta cĩ: lim 0 0
→∞ n− i n =
n x T x . Vì tồn tại dãy con { }⊂{ }
j
n n
lim * . →∞ = ∈ j n j x x K Áp dụng bổ đề 3.11 suy ra lim 0 →∞ − = j j n i n n x T x với mọi i=1, 2,...,N và vì {T T1, 2,...,TN}
là họ các ánh xạ tựa tiệm cận khơng giãn và cách xây dựng dãy { }xn nên x*−T xi * =0. Từ đây suy ra ( )
1 * = ∈ =N i i x F F T . Vì vậy ta cĩ: ( ) lim , 0 →∞ n = n d x F . Áp dụng định lý 3.12 ta cĩ { }xn n∞=1 hội tụ mạnh đến điểm bất động của họ các ánh xạ tựa tiệm cận khơng giãn {T T1, 2,...,TN}.
TỔNG KẾT
Luận văn là sự giới thiệu về các kết quả của các định lý điểm bất động chung của các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên trên khơng gian mêtric và cách lập một dãy hội tụ về điểm bất động chung của các ánh xạ tựa tiệm cận khơng giãn trên khơng gian Banach lồi đều một cách hệ thống qua các chương như sau: Chương II trình bày các định định nghĩa về các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên, định lý 2.7, định lý 2.8, định lý 2.9, hệ quả 2.10, hệ quả 2.11, định lý 2.12, định lý 2.13, định lý 2.14, hệ quả 2.15 và định lý 2.16 về các ánh xạ tương thích yếu ngẫu nhiên trên khơng gian mêtric; chương III trình bày các định nghĩa, định lý 3.7, định lý 3.8, định lý 3.9, bổ đề 3.10, bổ đề 3.11, định lý 3.12 định lý 3.14 về cách lập dãy hội tụ về điểm bất động chung của các ánh xạ tựa tiệm cận khơng giãn trên khơng gian Banach lồi đều.
Vì khơng gian định chuẩn khi trang bị một khoảng cách d x y( ), = x y−
cũng là khơng gian mêtric nên các kết quả này vẫn đúng trên khơng gian định chuẩn. Riêng việc lập một dãy hội tụ về điểm bất động của các ánh xạ tựa tiệm cận khơng giãn trên khơng gian Banach lồi đều chỉ đúng với khơng gian này, khơng thể áp dụng trên khơng gian Banach thơng thường vì trên khơng gian Banach thường khơng cĩ khái niệm lồi cho các tập.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. PGS.TS LÊ HỒN HĨA, Định Lý Điểm Bất Động và Ứng Dụng Sự Tồn Tại Nghiệm Của Phương Trình, đề tài nghiên cứu cấp cơ sở, mã số CS.2008.19.02.
2. GS.TS HỒNG TỤY, Hàm Thực và Giải Tích Hàm, Đại Học Quốc Gia Hà Nội (2005).
3. G. S. Saluja, Convergence to common fixed point of multi-step iteration with errors for asymptotically quasi-nonexpansive mappings, A. M. Vietnammica (2001), PP 89-103.
4. H. Bouhadjera and C. Godet-Thobie, Common fixed point theorems for occasionally weakly compatible maps, A. M. Vietnammica (2011), PP 1-17.
5. H. K. Xu, Existence and convergence for fixed points of mappings of asymptotically nonexpansive type, Nonlinear Anal. 16 (1991), pp 1139-1146.
6. K. K. Tan and H. K. Xu, Approximating fixed points of nonexpansive mappings by the Ishikawa iteration process, J. Math. Anal. Appl 178 (1993), pp 301-308.
7. M. O. Osilike and S. C. Aniagbosor, Weak and strong convergence theorems for fixed points of asymptotically nonexpansive mappings, Math. and Computer Modelling 32 (2000), PP 1181-1191.
8. S. H. Khan and W. Takahhashi, Approximating common fixed points of two asymptotically nonexpansive mappings, Sci. Math. Jpn. 53 (2001), PP 143-148.