M ỤC LỤC
2.4. Các tôpô được đơn giản hóa
Trong phần trước chúng ta đã nghiên cứu dạng các lân cận của tôpô τ, dạng của chúng khá phức tạp đặc biệt liên quan đến các điểm phi Euclide không đếm được.
Phản ánh những kết quả trên, chúng ta muốn đơn giản hóa tôpô τ. Ý tưởng của chúng ta chỉ đơn giản là tránh những lân cận có các điểm phi Euclide không đếm được. Nhưng chúng ta phải cẩn thận một chút kỹ thuật, bởi vì có thể tìm thấy một hàm g mà thu hẹp ( 1 )
3
V − g có các điểm phi Euclide không đếm được mặc dù ban đầu V g( ) không có.
Nói cách khác, tập hợp của V g( ) với các điểm phi Euclide không tốt đối với phép toán 1
3
g − g. Để làm được điều này, chúng ta cần xem xét nhiều hơn về cấu trúc của các lân cận trong τ.
Cho một hàm g J: →(0,1], lấy D g ký hiệu phần không liên tục của g, nghĩa là, tập tất cả các điểm x∈J mà g không liên tục tại x. Do mọi điểm trong đó g là liên tục thuộc về phần Euclide Ec V g( ( )) nên chúng ta có:
( )
( )
Nec V g ⊂D g .
Nhưng nói chung, hai tập này không trùng nhau, do D g không đóng trong J. Vì vậy, chúng ta tìm một số điều kiện mà đảm bảo rằng hai tập này trùng nhau. Chúng ta xét một hàm
( ]
: 0,1
g J → thoả điều kiện ( )* :
“g là liên tục trên một số tập con mở trù mật U của J và bị chặn bởi hàm ceiling hU trên U”.
Điều này có nghĩa rằng nếu U là một hợp rời của những cung mở Jn (n∈ω) thì g là liên tục trên mỗi ≤ . Dĩ nhiên, U phụ thuộc vào g.
Chúng ta ký hiệu ( )∗ là tập của tất cả hàm g thỏa mãn ( )∗ , trong đó J chạy trên tất cả các cung mở trên S, ( )J;∗ ký hiệu tất cả g như vậy với J cố định.
Tính chất 2.4.1.
Nec V g( ( ))=D g với mọi g∈G( )∗ .
Chứng minh. Cho g∈( )∗ và đặt F =J U\ trong đó U là như trong ( )∗ . Chúng ta có thể chỉ ra rằng F⊂Nec V g( ( )) tương tự như cách đã chứng minh trong ví dụ 2.3.3. Kết quả,
( )
( )
F ⊂Nec V g ⊂D g .
Mặc khác, do g là hàm liên tục trên U nên chúng ta có D g ∩ = ∅U , nghĩa là D g ⊂F
. Như vậy, chúng ta có F = Nec V g( ( ))=D g . □
Tính chất 2.4.2.
(1) Cho mọi f J: →(0,1], chúng ta có thể chọn g∈(J;∗) sao cho V g( )⊂V f( ) và
( ) ( ) ( ( )) Nec V g = Nec V f . (2) Cho bất kỳ g g1, 2∈(J;∗), xác định (g1∧g2)( )x =Min g x g{ 1( ) ( ), 2 x }, chúng ta có g1∧g2∈G J( ;∗) và V g( 1∧g2)⊂V g( )1 ∩V g( )2 . Chứng minh.
(1) Đặt U =Ec V f( ( )), và biểu thị n∈ωJn bởi một hợp rời của các cung mở. Cho fn là thu hẹp của f trên Jn. Do V f( )n là một tập mở Euclide chứa Jn nên chúng ta có thể chọn một hàm liên tục
n
n J
g ≤h sao cho Jn ⊂V g( )n ⊂V f( )n .
Cho g là một hàm sao cho g = gn trên mỗi Jn và g = f bên ngoài của U. Hàm g này là hàm chúng ta cần tìm.
(2) Cho U ii( =1, 2) là các tập mở trù mật trong ( )∗ đối với g ii( =1, 2). Vậy tập mở trù mật đối với g1 ∧g2 là U1∩U2. Cho hàm ceiling h ii( =1, 2) biên g ii( =1, 2) trên
( 1, 2)
i
Tính chất 2.4.1 và 2.4.2 cho chúng ta biết rằng ( )∗ với một cơ sở lân cận
( ) ( )
{V g :g∈ ∗ } của τ tại những điểm của S, với các tính chất bổ sung phần phi Euclide của
( )
V g trùng với phần không liên tục của g.
Chúng ta xác định một tôpô được đơn giản hóa. Từ ( )∗ chọn g sao cho:
( ) “D g là đếm được vô hạn”
ký hiệu tập tất cả các hàm g như vậy bởi (ctbl); tập hợp các g∈(ctbl) với
( )
dom g =J sẽ được ký hiệu bởi (J ctbl; ). Vì tính chất 2.4.1, điều kiện ( ) là tương đương với
“D g là đếm được vô hạn và đóng trong dom g( )”
Xác định τ (ctbl) là một tôpô được tạo ra bởi tất cả các lân cận V g( ) sao cho
( )
g∈ ctbl trên đĩa mở . Đây là một trong những tôpô được đơn giản hóa chúng ta đã tìm. Chúng ta sẽ chứng minh rằng tôpô τ(ctbl) có một cấu trúc đơn giản hơn τ.
Đầu tiên, chú ý rằng g g1, 2∈(J ctbl; )hàm ý g1 ∧g2∈(J ctbl; ). Từ tính chất 2.4.2
( )2 và từ bao hàm thức D g1∧g2 ⊂ D g1 ∪D g2 khẳng định rằng D g1∧g2 là đếm được. Do đó, {V g( ):g∈(ctbl)} là dạng của một cơ sở lân cận tại các điểm của S đối với tôpô τ(ctbl).
Tiếp theo, chú ý rằng (J ctbl; ) có tính chất nếu g∈(J ctbl; ) thì t g⋅ ∈(J ctbl; ) và
D t g⋅ =D g đối với bất kỳ số thực t∈(0,1]. Do tính chất này, chúng ta có thể chứng minh, tương tự như trong phần 2.2, không gian (X,τ(ctbl)) cũng là chính quy và phân tầng .
Cho g∈(J ctbl; ) và đánh số D g ={c nn: ∈ω} bởi những điểm phân biệt. Theo quy nạp, chúng ta có thể chọn kích thước 0< <sn g c( )n của các quả cầu cực hạn sao cho
( n; n)( )
V c s n∈ω rời nhau. Cho g là một hàm trong đó lấy các giá trị
n
s tại cn và trùng với g trên J D g\ . Vậy g này cũng thuộc (J ctbl; ).
Cho J D g\ =i∈ωJi là một hợp rời của những cung mở, lân cận tương ứng V g( ) được biểu thị dưới dạng hợp rời
( n; n) ( i)
n V c s i V g J
ω ω
∈ ∪ ∈
,
Trong đó mỗi V g J( i) là một tập mở Euclide. Xét V t g( )⋅ với t biến đổi từ 1 tới 0; thì
( )
V g co rút thành một điểm. Do đó, V g( ) là co rút được trong chính nó. Nói cách khác, chúng ta có tính chất sau đây.
Tính chất 2.4.3.
Không gian (X,τ(ctbl)) là co rút địa phương.
Do bất kỳ tập co rút được là đơn liên, nên tính chất 2.4.3 ngược lại với tính chất 2.3.5, và điều này chứng tỏ rằng tôpô biến đổi τ(ctbl) này khác với tôpô τ, thật sự thô hơn τ.
Chúng ta có thể xét thêm hai tôpô vẫn thô hơn τ(ctbl). Đầu tiên, xem điều kiện sau đây
thay vì ( ) ,
( ) “D g là hữu hạn”.
Ký hiệu tập tất cả các g như trên bởi ( )fn và cho τ( )fn là tôpô tương ứng. Rõ ràng,
chúng ta có thể thay điều kiện ( ) bởi “ D g là một tập đơn vị ”. Do đó tại một điểm
x∈S, tôpô này có một cơ sở lân cận bao gồm V g( ) sao cho
( ) ( ; ( )) ( 0) ( 1)
V g =V x g x ∪V g J ∪V g J
Trong đó g là hàm liên tục trên J \{ }x = J0 ∪J1, các tập V x g x( ; ( )), V g J( 0) và
( 1)
V g J là rời nhau. Tương tự như trường hợp của τ (ctbl), chúng ta có thể chứng tỏ rằng
( )fn
τ là chính quy,Lindelof , phân tầng, và co rút địa phương. Lưu ý rằng không có tập con đếm được nào có thể chia V g( ) ở trên vào nhiều hơn ba thành phần, trong khi lân cận V g( )
thành phần đếm được vô hạn. Do đó, chúng ta có thể kết luận rằng tôpô τ( )fn này thô ngặt hơn τ(ctbl).
Tiếp theo, chúng ta sẽ xác định một tôpô đếm được thứ nhất thô hơn τ( )fn . Cho x∈S và 0< ≤ε 1. Cho Jx,ε là một cung mở chứa x sao cho Jx,ε \{ }x là một hợp rời của hai cung cùng độ dài ε 2 . Xác định một hàm hx,ε trên Jx,ε bằng cách thiết lập hx,ε ( )x =1, và hx,ε là hàm ceiling trên Jx,ε \{ }x . Xét một tôpô mới τ( )N trên X = được tạo ra bởi tôpô thông thường trên và tất cả các tập hợp có dạng
( x, )
V t h⋅ ε với x∈S,0<t,ε ≤1.
Vì tập V t h( ⋅ x,ε) chỉ với t= =ε 1 n n( =1, 2...) là một cơ sở lân cận tại điểm x, nên không gian (X,τ( )N ) này là đếm được thứ nhất. Dễ dàng thấy rằng không gian này là chính quy,
Lindelof , và phân tầng.
Không gian phân tầng thường hay được gọi là không gian Nagata, điều này giải thích tại sao chúng ta sử dụng ký hiệu τ( )N . Chú ý rằng chứng minh tương tự như tính chất 2.2.8 chứng tỏ rằng τ (ctbl) và τ( )fn không là không gian Fréchet (xem nhận xét 2.4.5). Nhưng tôpô
( )N
τ là không gian Fréchet bởi vì nó là đếm được thứ nhất. Tuy nhiên, chúng ta có thể chứng minh tính chất sau đây.
Tính chất 2.4.4.
Không gian (X,τ( )N ) không thể được biểu diễn như một ảnh đóng của một không gian metric.
Chứng minh. Định lý Hanai-Morita-Stone (xem[4, 4.4.17]) chứng tỏ rằng bất kỳ ảnh đóng của một không gian metric là metric hóa được nếu và chỉ nếu nó là đếm được thứ nhất. Như vậy, chúng ta chỉ cần chứng tỏ rằng τ( )N không metric hóa được.
Giả sử τ( )N đã metric hóa được; do nó là không gianLindelof nên τ( )N phải là đếm được thứ hai. Do đó, chúng có thể có một tập đếm được V t h( ⋅ ε ) trong đó
, 0 , 1
n n n
x ∈S <t ε ≤ , và n∈ω, dạng một cơ sở mở tại các điểm của S (xem[4, 1.1.15]). Chọn mỗi điểm z∈S khác xn ở trên, và xét lân cận của nó V h( )z,1 . Tồn tại k∈ω sao cho
( , ) ( ),1
∈ ⋅ ⊂
k k
x z
k
z V t h ε V h . Do z là một điểm phi Euclide của V h( )z,1 , nên phải có thêm một điểm phi Euclide của V t h( k ⋅ xk,εk), và do đó, chúng ta có z= xk .
Điều này mâu thuẫn về sự lựa chọn điểm z của chúng ta. □
Nhận xét 2.4.5.
Trong nhận xét 2.2.9 chúng ta đã chỉ ra rằng tôpô τ là khả đối xứng, dãy. Chúng ta chú ý
ở đây rằng cả τ (ctbl) lẫn τ( )fn đều không là dãy (nên chúng không là khả đối xứng).
Chúng ta thấy rằng khái niệm của “ dãy hội tụ” trong X = ∪ S không phụ thuộc vào cách chọn của ba tôpô τ τ, (ctbl), và τ( )fn . Cho
( )
n
x n∈ω → x
là một dãy hội tụ tùy ý trong X đối với bất kỳ ba tôpô τ τ⊃ (ctbl)⊃τ( )fn , và đặt
{ n | }
C = x n∈ω .
Trường hợp x∈: dãy hội tụ xn →x rõ ràng đồng nhất với đĩa đóng Euclide .
Trường hợp x∈S: Do C S\ và S \{ }x là các tập con đóng rời trong không gian Euclide { }
\ x
nên chúng ta có thể tìm một cung mở J trong S chứa x và một hàm liên tục
{ } ( ]
: \ 0,1
g J x → sao cho V g( )=V g( J0)∪V g( J1) ngoài C S\ trong đó
{ } 0 1 \
J x = J ∪J . Mở rộng g đến g J: →(0,1] bằng cách đặt g x( )=1. Vậy
( ) ( ) ( );1
V g =V g ∪V x phụ thuộc τ( )fn ⊂τ(ctbl)⊂τ. Do τ( )fn là thô nhất giữa ba tôpô, nên C∪{ }x luôn là một dãy hội tụ đối với τ( )fn . Do đó, phần lớn những điểm của C được chứa trong lân cận V g( ) của x.Điều này có nghĩa phần lớn C được chứa trong S ∪V x( );1 . Đặt
1 1 1 ; ( ; ) k k k F V x V x + = ( )﹨ , k =1, 2,... , trong đó ( ; )1 k
V x nghĩa là bao đóng của ( ;1)
k
V x . Vậy
( ) { };1 \ 1 2 ...
V x x ⊂F ∪F ∪ . Do Fk là đóng trong X đối với bất kỳ ba tôpô , nên mỗi Fk có thể chỉ chứa một số hữu hạn những điểm của C.
Tóm tắt, chúng ta có thể nói rằng C =(C∩S) (∪ C S\ ) có những tính chất:
(1) Nếu C∩S là vô hạn thì (C∩S) { }∪ x là một dãy hội tụ trong đường tròn Euclide S; (2) Nếu \C S là vô hạn thì (C S\ ) { }∪ x là một dãy hội tụ sao cho mọi quả cầu cực hạn
( ; )
V x s kích thước 0< ≤s 1tại x chứa phần lớn C S\ .
Do đó, các dãy hội tụ trong X đều giống nhau trong ba tôpô τ τ⊃ (ctbl)⊃τ( )fn .
Xét bất kỳ tập U∈τ với một số điểm phi Euclide không đếm được, cho U =V h( ) trong ví dụ 2.3.3. U rõ ràng là dãy mở đối với τ, như một tập mở trong τ.
(Một tập con U là dãy mở nếu mọi dãy hội tụ với một điểm giới hạn trong U gần như chứa trong U).
Do các dãy hội tụ đều giống nhau trong ba tôpô τ τ, (ctbl) và τ( )fn , U cũng là dãy mở đối với τ (ctbl) hoặc τ( )fn . Dễ thấy rằng, sử dụng tính Lindelof mọi tập mở trong τ(ctbl)
hoặc τ( )fn chỉ có một số điểm phi Euclide đếm được. Vì vậy, U không là mở đối với
(ctbl)
KẾT LUẬN
Đề tài nghiên cứu về động đất, sóng thần được nhiều nhà khoa học trên thế giới quan tâm. Đặc biệt trong lĩnh vực toán học, các nhà toán học đã nghiên cứu cơ chế của các trận động đất, sóng thần để khái quát hóa chúng trong mô hình toán học.
Ở đây, luận văn của chúng ta lấy ý tưởng sự truyền của những sóng địa chấn để làm đối tượng nghiên cứu.
Nội dung luận văn đã trình bày được bốn tôpô mới khác nhau τ τ, (ctbl) ( ),τ fn , và τ( )N
trên tiết diện ngang của Trái Đất, tương ứng theo hai metric đã biết ρ và d.
Về mặt tính chất chúng ta thấy rằng tôpô τ( )N là thô nhất trong bốn tôpô. Do đó, chúng ta có thể so sánh chúng như sau: ( ) ( ) ( )⊃ ⊃ ⊃ ctbl ⊃ fn ⊃ N d ρ τ τ τ τ τ τ . Những tôpô này có các tính chất:
( )1 Chúng là không gian Lindelof chính quy và phân tầng ( “metric hóa được” ) và
( )2 Chúng không là một ảnh đóng của không gian metric (không “metric hóa được” ).
Hơn thế nữa, τ là khả đối xứng; τ(ctbl) ( ),τ fn và τ( )N là co rút địa phương; và τ( )N
là đếm được thứ nhất.
Chúng ta thấy rằng những tôpô mới này thể hiện một số bản chất cấu trúc đa metric của Trái Đất và chúng ta có thể mở rộng kết quả cho một mô hình phức tạp hơn của Trái Đất. Thực sự Trái Đất là không gian ba chiều và nó được biết rằng phần trong của nó bao gồm chủ yếu năm lớp, mỗi lớp có metric riêng của mình: lõi trong, lõi ngoài, lớp phủ dưới, lớp phủ trên và lớp vỏ.
Cuối cùng, chúng ta muốn nhận xét rằng tất cả những tôpô mới của chúng ta đối với những tôpô Euclide được tạo ra bởi các đường trắc địa. Cho L(α β, ) là một đường trắc địa với hai điểm ,α β∈S , và đặt
[ , ] ( , ) { , }.
Do đường trắc địa là trực giao với S tại cả hai đầu mút, nên cung đóng L[α β, ] này với một trong bốn tôpô của chúng ta cũng giống như cung đóng Euclide. Cho P là một khối đa diện được bao quanh bởi một số hữu hạn các đường trắc địa này, thường được gọi là “khối đa diện hyperbolic lý tưởng”. Vậy, hình P cũng như hợp của nó với S làP∪S sẽ có một trong bốn tôpô giống với tôpô Euclide.
Như vậy, tổng thể luận văn của chúng ta đã trình bày về Tôpô metric mở rộng của Trái Đất
và hướng mở rộng của luận văn. Mặc dù, chúng tôi đã cố gắng trình bày hệ thống và chi tiết các kiến thức nền tảng và cơ sở để nghiên cứu những vấn đề đặt ra. Do thời gian nghiên cứu luận văn có hạn và trình độ nghiên cứu còn hạn chế nên những trình bày trong luận văn vẫn còn thiếu sót. Kính mong quý Thầy Cô và các bạn quan tâm đến những vấn đề này góp ý để luận được hoàn thiện hơn.
TÀI LIỆU KHAM KHẢO
1. A. V. Arhangel'skii, Mappings and Spaces, Russian Math, Surveys 21 (1966), no.4, 115-162. 2. H.S.Bear, Part metric and hyperbolic metric, Amer, Math. Monthly 98 (1991), no. 2, 109-
123.
3. Carlos J.R.Borges, On stratifiable spaces, Pacific J. Math. 17 (1966), no. 1, 1-16
4. Ryszard Englking, General Topology. Translated from the Polish by the author.Mongorafie Matematyczne, Tom 60. Warsaw: PWN-Polish Scientific Pulishers, 1977.
5. Gary Gruenhage, Generalized metric spaces in Handbook of Set –Theoretic Topology. Ed. Kenneth Kunen and Jerry E. Vanghan. Amsterdam: North-Holland, 1984, 423-501.
6. Miroslav Husek and Jan van Mill, Recent Progress in General Topology. Amsterdam: North-Holland, 1992, 239-274.
7. J. G. Ceder, Some generalizations of metric spaces, Pacific J. Math. 11 (1961), 105-126.
8. J. L. Kelly, General Topology, Van Nostrand, New York, 1955. 9. Alan F. Beardon, Algebra and geometry, Cambridge.
10. Marvin Jay Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries, University of California, Santa Cruz.