2 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp
2.2.2 Bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu
Trong phần này chúng ta sẽ đề cập đến sự tồn tại nghiệm của bài toán (2.6) với F là toán tử giả đơn điệu. Các kiến thức ở phần này được trích dẫn từ các tài liệu [4], [6] và [12].
Bổ đề 2.1. (xem [4]) Giả sử rằng ta có các giả thiết: (A1) F là liên tục trên miền xác định của nó;
(A2) F là giả đơn điệu trên C với mọi nghiệm của bài toán V I(C, F), nghĩa là
hF(x∗), x−x∗i ≥0 =⇒ hF(x), x−x∗i ≥0, ∀x∈C, ∀x∗ ∈S.
Và bài toán cấp dưới (2.7) có nghiệm. Khi đó, tập nghiệm của (2.7) là lồi đóng.
Theo nguyên lý bài toán phụ, ta định nghĩa một song hàm L : C ×C → R
sao cho
(B1)L(x, x) = 0,∃β >0 : L(x, y)≥ β
2kx−yk2, với mọi x, y ∈C;
(B2) L là liên tục, L(x, .) là khả vi và lồi mạnh trên C với mọi x ∈ C và
∇2L(x, x) = 0 với mọi x∈C, trong đó ∇2L(x, x) là ký hiệu hàm khả vi theo biến thứ hai tại điểm x.
Ví dụ cho một song hàm là khoảng cách Bregman
L(x, y) =g(y)−g(x)− h∇g(x), y−xi
với bất kỳ g là hàm lồi mạnh, khả vi trên C với β > 0, đặc biệt, g(x) = 1 2kxk2. Mệnh đề sau có được từ nguyên tắc bài toán phụ của các bất đẳng thức biến phân.
Bổ đề 2.2. (xem [4]) Giả sử F thỏa mãn (A1),(A2) và L thỏa mãn (B1),(B2). Khi đó, với mọi ρ >0 thì các khẳng định sau là tương đương:
(i) x∗ là nghiệm của bài toán V I(C, F); (ii) x∗∈C :hF(x∗), y−x∗i+1 ρL(x ∗, y)≥0, ∀y∈C; (iii) x∗ =argmin hF(x∗), y−x∗i+ 1 ρL(x ∗, y) : y∈C ; (iv) x∗ ∈C :hF(y), y−x∗i ≥0, ∀y∈C.
Chứng minh. Đầu tiên ta sẽ chứng minh (i),(ii) và (iii) là tương đương. Thật vậy, do L(x, y)≥ 0 với mọi x, y ∈ C, nên (i) suy ra (ii). Tuy nhiên, (ii) là đúng khi và chỉ khi (iii) là đúng, tức là
x∗ =argmin hF(x∗), y−x∗i+ 1 ρL(x ∗, y) : y∈C .
Mặt khác, theo điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán lồi, điều này tương đương với
0∈F(x∗) + 1
ρ∇2L(x∗, x∗) +NC(x∗) = F(x∗) +NC(x∗).
Điều này tương đương với (i), vì NC(x∗) ={y∈Rn : hy, x−x∗i,∀x∈C}.
Chứng minh (iv) suy ra (i). Giả sử ngược lại rằng, tồn tại ω ∈C sao cho
hF(x∗), ω−x∗i<0.
Khi đó, lấy yt= (1−t)ω+tx∗ với 0< t <1.
Do tính liên tục của F, ta có hF(yt∗), ω−x∗i<0 với mọi 0< t∗ <1. Kết hợp với (iv), ta được
0≤ hF(yt∗), yt∗ −x∗i=hF(yt∗),(1−t∗)ω+t∗x∗−x∗i
= (1−t∗)hF(yt∗), ω−x∗i<0,
mâu thuẫn. Vậy hF(x∗), ω−x∗i ≥0, ∀ω ∈C.
Điều ngược lại được suy ra trực tiếp từ Định nghĩa 2.2 về tính giả đơn điệu của