Ta sẽ chứng minh (4.3) kéo theo (4.2) với 1 < 𝑝 < ∞. Đặc biệt, với 𝑝 = 2 ta có thể khẳng định kết quả là tương đương.
Mệnh đề 4.2 ([4]) Cho Ω ⊂ ℝ𝑛là một miền bị chặn liên thông hoàn toàn,
𝜔 = Ω → (0, ∞) là hàm trọng bị chặn thỏa (4.1) và 1 < 𝑝 < ∞ sao cho (Ω, 𝑝, 𝜔) thỏa mãn tính chất Korn (4.3), khi đó (Ω, 𝑝, 𝜔) thỏa mãn tính chất (4.2).
div u = 𝑓 và
‖u‖𝑊1,𝑝(Ω) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω).
Vì 𝜔 bị chặn nên u ∈ 𝑉(Ω, 𝑝, 𝜔) và
‖u‖𝑉 ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω). Do đó tồn tại v∈ 𝑉 với div v= 0 thỏa mãn
u−v∈ 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡(Ω, 𝑝, 𝜔) và ‖v‖𝑉 ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω). Áp dụng 𝑇(𝜏) ≔ ∫Curl u : 𝐷w Ω
với mọi 𝜏 ∈ 𝐿𝑞𝑠𝑦𝑚(Ω, 𝜔−𝑝/𝑞)2×2có thể viết 𝜏 = 𝜀(w) với w ∈ 𝑊(Ω, 𝑝, 𝜔). Khi div u có giá trị trung bình bằng 0 nghĩa là có 𝑇 được xác định. Hơn nữa, áp dụng tính chất Korn (4.3) ta thu được tính liên tục của 𝑇 trong
𝐿𝑞𝑠𝑦𝑚(Ω, 𝜔−𝑝/𝑞)2×2 như sau: |𝑇(𝜏)| = |∫Curl u : 𝐷w Ω | ≤ ‖Curl u‖𝐿𝑝(Ω) inf 𝑧∈𝒩‖𝐷(w−v)‖𝐿𝑞(Ω) ≤ 𝐶‖Curl u‖𝐿𝑝(Ω)‖𝜀(w)‖ 𝐿2(Ω,𝜔− 𝑞 𝑝) = 𝐶‖Curl u‖𝐿𝑝(Ω)‖𝜏‖ 𝐿2(Ω,𝜔− 𝑞 𝑝).
Theo định lí Hanhn-Banach hàm 𝑇 có thể được mở rộng thành 𝐿𝑞𝑠𝑦𝑚(Ω, 𝜔−𝑝/𝑞)2×2, do đó theo định lí biểu diễn Riesz tồn tại 𝜎 ∈ 𝐿𝑞𝑠𝑦𝑚(Ω, 𝜔−𝑝/𝑞)2×2 sao cho
𝑇(𝜏) ≔ ∫ 𝜎 ∶ 𝜏
Ω
∀𝜏 ∈ 𝐿𝑞𝑠𝑦𝑚(Ω, 𝜔−𝑝/𝑞)2×2
và
‖𝜎‖𝐿𝑝(Ω,𝜔) ≤ 𝐶‖Curl u‖𝐿𝑝(Ω) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω),
với 𝐶 phụ thuộc vào Ω, 𝜔. Đặc biệt,
∫ 𝜎 ∶ 𝜀(Ω w) = ∫ΩCurl u : 𝐷w, ∀w ∈ 𝑊. (4.4) Khi đó, vì 𝜎 đối xứng nên ta có thể thay 𝜀(w) trong (4.4) bằng 𝐷w.
Vì 𝜔 thỏa mãn điều kiện (4.1) nên 𝜎 ∈ 𝐿1𝑙𝑜𝑐(Ω). Ta chứng minh rằng Div σ= 0. Ta có:
∫ Div𝜎 ∙ r = − ∫ 𝜎 ∶ 𝐷r =
Ω Ω
∫ Curl v ∶ 𝐷r = ∫Div Curl v∙ r =
Ω Ω
0,
với mọi r ∈ 𝐶0∞(Ω)𝑛 và do đó Div𝜎 = 0. Từ Bổ đề 2.5, tồn tại v∈ 𝑊𝑙𝑜𝑐1,𝑝(Ω)2 sao cho
Curl v= 𝜎.
Do đó
‖𝐷v‖𝐿𝑝(Ω,𝜔) = ‖Curl v‖𝐿𝑝(Ω,𝜔) = ‖𝜎‖𝐿𝑝(Ω,𝜔).
Ta kiểm tra div v = 0, vì 𝜎 là tenso đối xứng ta có div v= 𝜕v1 𝜕𝑥1+ 𝜕v2 𝜕𝑥2 = −𝜎12 + 𝜎21 = 0. Do đó v ∈ 𝑉 với ‖v‖𝑉 = ‖𝐷v‖𝐿𝑝(Ω,𝜔) = ‖𝜎‖𝐿𝑝(Ω,𝜔) ≤ 𝐶‖𝑓‖𝐿𝑝(Ω) Từ (4.4) ta có u−v ∈ 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡(Ω, 𝑝, 𝜔)
Suy ra điều phải chứng minh. □