Tính cofinite yếu của ,  

s I J

H M

Định lý 2.4.1. Cho M là Rmôđun thỏa ExtRi R I M,  là Lasker yếu với mọi i và s là số nguyên không âm. Nếu i,  

I J

H M là  I J, cofinite yếu với mọi is, khi đó ,  

s I J

H M cũng là  I J, cofinite yếu. Chứng minh: Ta quy nạp theo s.

Với s0, đặt M M I J,  M ta có dãy khớp ngắn:

 

,

0 I J M M M 0 cảm sinh dãy khớp dài

 

 , ,   ,   , 

i i i

R I J R R

Ext R I M Ext R I M Ext R I M

    

Ta có ,   ,  

i i

I J I J

H M H M với mọi i0 (do Mệnh đề 1.3.14) và   0 , 0 I J H M  nên ,   i I J

H M là  I J, cofinite yếu với mọi i0. Theo Mệnh đề 2.1.7 , ExtiRR I M,  là môđun Lasker yếu với mọi i0. Kết hợp với giả thiết ExtiRR I M,  là Lasker yếu với mọi i, nên từ dãy khớp dài ở trên cho

ta ExtRi R I,I J,  M là môđun Lasker yếu. Mặt khác từ 1.3.6 ta lại có

 

 ,   , 

R I J

Supp  M W I J nên I J,  M là  I J, cofinite yếu. Vì vậy

   

0

, ,

I J I J

H M   M cũng là môđun  I J, cofinite yếu. Vậy mệnh đề đúng với s 0.

Khi s 0, với E M  là bao nội xạ của M , khi đó ta có     1  , , i i R R Ext R I E M M Ext R I M và    1  , , i i I J I J H E M M H  M , với mọi i0. Vì ,   i I J

H M là  I J, cofinite yếu với mọi is nên    

1 1

, ,

i i

I J I J

H  M  H  M cũng là  I J, cofinite yếu với mọi i s 1.

Nên ,    

i I J

H E M M là  I J, cofinite yếu với mọi i s 1.

Mà ExtRi R I M,  là Lasker yếu với mọi i nên ExtRi R I E M,   M là Lasker yếu với mọi i0. Theo giả thiết qui nạp, 1   

,

s I J

H  E M M là  I J, cofinite yếu, vì vậy ,  

s I J

H M là  I J, cofinite yếu. Kết hợp Bổ đề 2.1.2.b và Định lý 2.4.1 ta được kết quả sau.

Bổ đề 2.4.2. Cho M làRmôđun Lasker yếu và slà số nguyên không âm. Nếu i,  

I J

H M là  I J, cofinite yếu với mọi is, khi đó s,  

I J

H M cũng là  I J,  cofinite yếu.

Bổ đề 2.4.3. Cho I là iđêan chính của vành R và M là môđun Lasker yếu. Khi đó ,  

i I J

H M là  I J, cofinite yếu với mọi i0. Chứng minh:

Từ [1, 4.11] ta có HI Ji,  M 0 với mọi i1. Hơn nữa, 0   ,

I J

H M là

Rmôđun Lasker yếu, vì 0   ,

I J

H M là môđun con của M . Điều đó có nghĩa  

,

i I J

H M là I J, cofinite yếu với mọi i1. Từ Định lý 2.4.1 ta có điều cần

Chương 3. Phạm trù con Serre