vành chia
Xoay quanh câu hỏi của Mal’cev rằng : liệu có tồn tại miền R để cho
\ 0
R là nhúng được vào trong một nhóm, và tất nhiên R thì không nhúng được vào trong một vành chia.
Mất gần 30 năm sau, 3 nhà toán học : L.A. Bokut’ , A.J. Bowtell , A.A. Klein, độc lập với nhau và gần như đồng thời cùng tìm ra các ví dụ như thế.
Quan điểm về sự tồn tại của các ví dụ như vậy là: bên cạnh các nửa nhóm “ tựa – đồng nhất thức ” như ở (2.2a) thì cũng còn có những cái khác cũng thỏa điều kiện cần cho khả năng nhúng của một miền vào trong một vành chia.
Ví dụ: Nếu một miền R được nhúng vào trong một vành chia D, khi đó R phải thỏa mãn các điều kiện sau:
3.4.1) R phải có IBN (khi D có IBN) (với IBN tức là nó có một đồng cấu vào trong trường k).
3.4.2) R phải ổn định hữu hạn (khi D là ổn định hữu hạn). 3.4.3) (Điều kiện lũy linh Klein’s) :
Với mọi ma trận lũy linh A M R n( ), ta có An =0 (ở trong đại số tuyến tính, cùng một tuyên bố cho các ma trận lũy linh trên vành chia D).
3.4.4) M Rn( )phải thỏa mãn ACC (và DCC) trên các linh hóa trái (và phải).
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày sơ nét về các kết quả có được trong vành giao hoán. Cũng như câu trả lời khẳng định cho bài toán nhúng đẳng cấu từ một miền nguyên giao hoán vào trong một trường là hoàn toàn đơn giản, kết quả đó đã có được trong đại số giao hoán.
Tuy nhiên bài toán tương tự như vậy trong các vành không giao hoán là việc nhúng đẳng cấu miền nguyên không giao hoán vào trong một vành chia thì lại không đơn giản như trong các vành giao hoán. Câu trả lời phủ định cho bài toán đó đã được nêu ra trong chương 2 thông qua hai ví dụ của Mal’cev: Có tồn tại nửa nhóm giản ước H mà H không thể nhúng được vào trong một nhóm G nào; Tồn tại R là một miền mà R không thể nhúng được vào bất kỳ vành chia nào.
Trong các vành không giao hoán, để có thể nhúng đẳng cấu từ một miền nguyên không giao hoán vào một vành chia thì vành đó phải thỏa mãn thêm một số điều kiện. Trong phần mở rông, luận văn giới thiệu sơ nét về một số điều kiện cần cho công việc trên khả thi.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Michael Artin (1999), Noncommutative Rings, Class note, Math 251, Berkeley.
[2] J.C Mc Connell and J.C.Robson (2001), Noncommutative Noetherian Rings, American Mathematical Society Providence, Rhode Island.
[3] E.S.Golod, On nil algebras and finitely approximable groups, (Russian) Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 28 (1964) .
[4] I.N.HERSTEIN (1965), Noncommutative Rings, Bowdoin College, Math.
[5] Jacobson (1965) STRUCTURE OF RINGS, American Mathematical, 190 Hope Street, Society, Providence, R.I.
[6] T.Y.LAM, Lectures on Modules and Rings, University of California at Berkeley (1999) .
[7] Đậu Thế Cấp (2003), Cấu trúc đại số, Nxb Giáo dục, Hà Nội.
[8] Nguyễn Viết Đông, Trần Huyên (2006), Đại số đồng đều, Nxb Đại học Quốc gia TP.Hồ Chí Minh.