B ổ đề 3.3.4: Gi ả s ử các gi ả thi ế t c ủ a đị nh lý Krein-Rutman đượ c th ỏ a
4.1 Tốn t ử tuy ế n tính khơng phân tích đượ c
Định nghĩa 4.1.1.
1. Giả sử E là một khơng gian Banach thực cĩ thứ tự với nĩn dương C{0}. Một tự đồng cấu dương liên tục u của E được gọi là bất khả qui nếu
cĩ số> r (u) sao cho với mỗi phần tử 0 x C, phần tử
uR ()x = 1 n -n un (x) là một điểm tựa trong của C. 2. Điểm y E gọi là tựa trong của C nếu đoạn cĩ thứ tự [0,y] là một tập hợp con tồn vẹn của E (hay bao tuyến tính của [0,y] trừ mật trong E).
Sự tồn tại của một tự đồng cấu dương bất khả quy trên một khơng gian
Banach cĩ thứ tự E kéo theo nĩn dương C của E là tồn phần (do C chứa
những điểm tựa trong). Vì vậy nĩn đối ngẫu C’ E’ là một nĩn thực sự đĩng trong E’.
Định nghĩa 4.1.2: Giả sử u là 1 tự đồng cấu dương liên tục của 1 khơng gian Banach cĩ thứ tự E. Gọi đường trịn phổ {:||= r (u)}là phổ ngoại vi. Tập hợp con của (u) thuộc đường trịn phổ và giao của nĩ với (u) là phổ điểm ngoại vi của u.
Ví dụ: Giả sử E là 1 khơng gian Banach thực cĩ chiều lớn hơn hoặc bằng 2, ký hiệu bởi F là khơng gian con đĩng cĩ số đối chiều là 1, và bởi
G={x0: } một khơng gian con bù sao cho E=GF. Với mỗi một xE,
giả sử x=x0+y là biểu diễn duy nhất sao cho yF.
Tập hợp c={ xE: y }, là một nĩn chuẩn tắc đĩng sao cho E=C-C; vì
sao cho nĩn dương của L(E) là chuẩn tắc. Bây giờ giả sử L (F) thỏa mãn
1 và xác định uL(E) bởi u(x)=x0+(y) (xE)
hay u=P + 0(e-p) trong đĩ p ký hiệu phép chiếu xx0 của E lên trên G. Bởi vì 1, ta cĩ u(C) C và do đĩ u là dương (thật vậy: với xC ta
cĩ x=x0+y, y và do 1 nên (y) y y do đĩ:
u(x)= x0+ (y) C.Suy ra: u(C) C và hiển nhiên u là dương, do C
dương); hiển nhiên r (u)=1 và (u) ={1} (), trong đĩ () ký hiệu cho
phổ của L(F). Chọn E sao cho F đẳng cấu với một khơng gian Banach
thích hợp và bởi một sự lựa chọn thích hợp của L (F), ta cĩ thể cĩ (u) là 1 tập con đĩng gán trước của {:||=1} chứa 1.
Định lý 4.1.3: Một tự đồng cấu dương liên tục u0 của một dàn Banach là bất khả quy nếu và chỉ nếu khơng cĩ khơng gian con liên tục, đĩng khác {0} và E là bất biến đối với u.
Chứng minh
() Giả sử u là bất khả quy và giả sử F{0} là một khơng gian con liên tục, đĩng bất biến đối với u (Ta chứng minh F=E).
Nếu 0x FC thì với > r (u) thích hợp, y=uR()x là một điểm tựa trong của C do u bất khả quy và y chứa trong F do u(F) F.
Do đĩ F=E.
()Đảo lại, nếu u khơng cĩ khơng gian con riêng liên tục, đĩng
{0}của E bất biến thì u(x)>0 cho mỗi một x>0; Nếu u (x0)=0 với một x0 >0 nào đĩ sẽ suy ra rằng u cĩ khơng gian con đĩng, liên tục; Gọi G là khơng gian con liên tục, đĩng, sinh ra bởi x0 , ta cĩ G{0} và u(G)G. Suy ra G bất biến qua u.
Vì vậy nếu x>0 thì y=u R()x >0, (>r (u) là tuỳ ý) Mặt khác xE, E là bất biến qua u nên u(x) x u2(x) u(x) Suy ra : un+1(x) un(x) Do đĩ u(y) = 1 n -n un+1(x) 1 n -n un(x) = y và ta suy ra khơng
gian con liên tục, đĩng F được sinh ra bởi y là bất biến qua u. Do đĩ : F=E , vậy y là một điểm tựa trong của E
Suy ra u là bất khả quy.