Ta ký hiệu P1,2,... là tập hợp các số nguyên dương. Cố định N P ,N 2. (1) Bộ p số hạng có thứ tự được kí hiệu là i1,...,ip , trong đó mỗi ij1,...,N. Chúng ta viết nếu , là các bộ p số hạng với là một đoạn đầu của , nghĩa là i1,...,ip và i1,... ,i ip p1,...,ip q với q0nào đó.
nghĩa là
và .
(2) C N , tập Cantor trên N kí hiệu, là tập các ánh xạ (nghĩa là các dãy)
:P 1,...,N
. Vì vậy 11,...,
p
C N N . Chúng ta viết p cho p . Một phần tử phổ biến của C N được viết dưới dạng 1... ...p hay i1.... ...ip . Chúng ta mở rộng kí hiệu cho trường hợp i1,...,ip và i i i1...p p1...ip q ...C N . (3) Nếu i1,...,N và i1,...,ip là một bộ p số hạng thì i i i, ,...,1 ip chỉ là phép ghép của i và . Tương tự, nếu C N thì i i 1... p1 p.... Cũng giống như vậy, nếu là một bộ q số hạng và là một bộ p số hạng hay C N , ta cũng xác định theo cách này.
Toán tử nâng thứ i : i C N C N được cho bởi i i.
(4) C N được trang bị topo tích (cũng được gọi là topo yếu) được cảm sinh từ topo rời rạc trên mỗi nhân tử 1,...,N. Vì vậy, một cơ sở con (sub-basis) của các tập mở được cho bởi các tập hợp có dạng : p i trong đóp P i , 1,...,N. C N là tập compact.
(5) Ta kí hiệu i iˆ ˆ1...plà một dãy vô hạn i i i i i i1... ... ... ... ...p1 p 1 p C N . Vì vậy,
1... ˆ 1...ˆ
p p p q
(6) Tập I được ký hiệu là một tập hữu hạn của các bộ hữu hạn có thứ tự (không nhất thiết cùng độ dài) từ 1,...,N.
Tập ˆ 1... ...:
q i
I I C N , trong đó ta ghép các bộ hữu hạn có thứ tự theo cách tự nhiên. Vì vậy, nếu I 1 ,..., N thì IˆC N . Nếu I 1, 2 , 1 thì
2 ˆ
2 ... ... p I.
(7) Với là một bộ có thứ tự, đặt C N : .
Chúng ta nói rằng I là chắc chắn nếu với mọi C N tồn tại I sao cho
. Điều này tương đương với: cho mọi bộ p số hạng mà
max :
p length I , tồn tại I sao cho . Vì Ilà hữu hạn nên tồn tại một thuật toán rõ ràng để kiểm tra liệu Icó chắc chắn hay không.
Ta nói I là ngặt nếu với mọi C N tồn tại đúng một I sao cho . Một lần nữa, chúng ta luôn có thể kiểm tra trong hữu hạn bước liệu rằng I là ngặt hay không.
(8) Mệnh đề
(i) Các khẳng định sau là tương đương (1) IˆC N ;
(2) C N I
;
(3) I là chắc chắn.
(ii) Các khẳng định sau là tương đương
(1) Mỗi phần tử của C N có thể được phân tích dưới dạng 1... ...q với aiI ; (2) I C N (hợp rời ( , ) : * I I x x ); (3) I là ngặt.
Chương 2. TẬP BẤT BIẾN
Trong chương này chúng ta dùng kí hiệu trong mục 1.1. Giả sử S1,...,S2là tập các ánh xạ co trên không gian mêtric đầy đủ X d, với Lip Si ri và
1...p i i s là điểm bất động của 1...p i i
S . Chúng ta trình bày sự tồn tại và duy nhất của tập compact bất biến ứng với và thảo luận về các tính chất của nó.
Mục 2.1 trình bày sự tồn tại và duy nhất của tập bất biến ứng với . Mục 2.2 trình bày một số ví dụ về tập bất biến. Mục 2.3 trình bày về các đường cong tham số bất biến qua lớp ánh xạ co có ảnh là một tập bất biến. Mục 2.4 đưa ra kết quả về các tập bất biến như là giá của các độ đo bất biến qua lớp các ánh xạ co. Đồng thời mục này cũng đưa ra các điều kiện những tập khác nhau của phép biến đổi đồng dạng sinh ra cùng một tập bất biến.