L ỜI NÓI ĐẦU
2.1.1. Các định nghĩa
Định nghĩa 2.1 (Zabreiko [4])
Giả sử 𝐸 là không gian Banach có phần tử không là 𝜃. Một tập con 𝑃 của 𝐸 được gọi là một nón nếu:
a) 𝑃 là tập đóng, khác rỗng và 𝑃 ≠ {𝜃};
b) 𝑎,𝑏 ∈ ℝ,𝑎,𝑏 > 0 và 𝑥,𝑦 ∈ 𝑃 ⟹ 𝑎𝑥+𝑏𝑦 ∈ 𝑃; c) 𝑃 ∩(−𝑃) = {𝜃}.
Thứ tự sinh bởi nón (Arandelovic and Keckic [1])
Cho nón 𝑃 ⊆ 𝐸, chúng ta định nghĩa quan hệ " ≤ " trên 𝐸 như sau:
𝑥 ≤ 𝑦 ⟺ 𝑦 − 𝑥 ∈ 𝑃. Chúng ta viết: 𝑥 <𝑦 nghĩa là 𝑥 ≤ 𝑦 và 𝑥 ≠ 𝑦; 𝑥 ≪ 𝑦nghĩa là 𝑦 − 𝑥 ∈ 𝐼𝑛𝑡𝑃. Nhận xét: 𝑥 ∈ 𝑃 ⟺ 𝑥 ≥ 𝜃. Quan hệ " ≤ " có các tính chất: 𝑎) Phản xạ: 𝑥 − 𝑥 =𝜃 ∈ 𝑃 ⟹ 𝑥 ≤ 𝑥,∀𝑥 ∈ 𝐸. b) Phản xứng: ∀𝑥,𝑦 ∈ 𝐸, nếu 𝑥 ≤ 𝑦 và 𝑦 ≤ 𝑥 thì 𝑦 − 𝑥 ∈ 𝑃 và 𝑥 − 𝑦 ∈ 𝑃 ⟹ 𝑦 − 𝑥 = 𝜃 hay 𝑥 =𝑦. c) Bắc cầu: ∀𝑥,𝑦,𝑧 ∈ 𝐸, nếu 𝑥 ≤ 𝑦 và 𝑦 ≤ 𝑧 thì 𝑦 − 𝑥 ∈ 𝑃 và 𝑧 − 𝑦 ∈ 𝑃. Do 𝑧 − 𝑥 = (𝑧 − 𝑦) + (𝑦 − 𝑥) ∈ 𝑃 nên 𝑥 ≤ 𝑧.
Vậy quan hệ " ≤" là quan hệ thứ tự trên 𝐸. Ta gọi (𝐸,≤) là không gian tuyến tính có thứ tự sinh bởi nón 𝑃.
30
Giả sử 𝐸 là không gian Banach và 𝑃 ⊆ 𝐸 là một nón. Ta nói rằng P là khối nón
khi và chỉ khi Int 𝑃 ≠ ∅.
Định nghĩa 2.3 (Arandelovic and Keckic [1])
Giả sử 𝐸 là không gian Banach, 𝑃 là một khối nón trong 𝐸 và " ≤" là một thứ tự trên 𝐸 sinh bởi 𝑃. Khi đó 𝑃 được gọi là một nón chuẩn khi và chỉ khi:
Tồn tại 𝐾 ∈ ℝ,𝐾 > 0 sao cho:
𝑥 ≤ 𝑦 ⟹ ‖𝑥‖ ≤ 𝐾‖𝑦‖, với mỗi 𝑥,𝑦 ∈ 𝑃. (2.1)
Số dương bé nhất K thỏa mãn (2.1) được gọi là hằng số chuẩn (hay hằng số phổ dụng) của 𝑃.
Nhận xét: 𝐾 ≥ 1.
Định nghĩa 2.4 (Zabreiko [4])
Giả sử 𝐸 là không gian Banach với quan hệ thứ tự " ≤", 𝑃 là khối nón trong 𝐸. Cho 𝑋 là tập khác rỗng. Giả sử ánh xạ 𝜌:𝑋×𝑋 → 𝑃 thỏa mãn:
a) 𝜌(𝑥,𝑦) ≥ 𝜃,∀𝑥,𝑦 ∈ 𝑋; 𝜌(𝑥,𝑦) = 𝜃 ⟺ 𝑥 =𝑦;
b) 𝜌(𝑥,𝑦) = 𝜌(𝑦,𝑥),∀𝑥,𝑦 ∈ 𝑋;
c) 𝜌(𝑥,𝑦) ≤ 𝜌(𝑥,𝑧) +𝜌(𝑧,𝑦),∀𝑥,𝑦,𝑧 ∈ 𝑋.
Khi đó 𝜌 được gọi là một metric nón trên 𝑋 và (𝑋,𝜌) được gọi là một không gian nón metric.
Định nghĩa 2.5 (Arandelovic and Keckic [1])
Cho (𝑋,𝜌) là một không gian nón metric, 𝑥 ∈ 𝑋 và (𝑥𝑛)𝑛 là một dãy trong 𝑋. Khi đó:
• 𝑥𝑛 hội tụ về 𝑥 nếu với mỗi 𝑐 ∈ Int𝑃, tồn tại 𝑁 ∈ ℕ∗ sao cho 𝑛 ≥ 𝑁𝜌(𝑥𝑛,𝑥)≪ 𝑐, với mọi 𝑛.
Ký hiệu: lim
31
•(𝑥𝑛)𝑛 là dãy Cauchy nếu với mỗi 𝑐 ∈ Int𝑃, tồn tại 𝑁 ∈ ℕ∗ sao cho 𝑚,𝑛 >
𝑁𝜌(𝑥𝑚,𝑥𝑛) ≪ 𝑐, với mọi 𝑚,𝑛.
•(𝑋,𝜌) là không gian nón metric đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong 𝑋 đều hội tụ.