4.2.1 Các định nghĩa
1. Một tập con đĩng E+ của khơng gian định chuẩn Eđược gọi là một nĩn thứ tự nếu:E+ +E+ ⊂E+ , E+∩ −( E+) { }= 0 và cE+ ⊂E+ với c≥0.
Khơng gian Eđược trang bị bởi quan hệ “≤” định bởi:x y≤ ⇔ − ∈y x E+ được gọi là khơng gian định chuẩn cĩ thứ tự.
2. Khơng gian định chuẩn cĩ thứ tự Eđược gọi là cĩ tính chất ( )E nếu thoả: Những dãy đơn điệu và bị chặn của Eđều hội tụ yếu hoặc mạnh. Tồn tại x+ =sup 0,{ }x và x+ ≤ x với mọi x E∈ .
Bổ đề 4.2.2
Một khơng gian tơpơ cĩ thứ tự, khả mê tríc hoặc thoả mãn tiên đề đếm được thứ hai đều cĩ tính chất ( )C .
Các kết quả được sử dụng:
Cho khơng gian tơpơ cĩ thứ tự X. Ta nĩi x X∈ là điểm tụ của dãy ( )xn nếu mỗi lân cận Ucủa xvà mỗi n N∈ , tồn tại m n≥ sao cho xm∈U.
Nếu một dãy Ccủa khơng gian tơpơ cĩ thứ tự Xcĩ một tập con tách Avà mỗi dãy tăng của Acĩ một điểm tụ trong X thì Ccĩ một dãy tăng hội tụ về supC.
Cho Clà một dãy trong khơng gian mêtric cĩ thứ tự X. Nếu mỗi dãy tăng của C cĩ điểm tụ thì C cĩ một dãy con hội tụ về supC.
Một khơng gian tơpơ cĩ thứ tự thoả mãn tiên đề đếm được thứ hai cĩ tính chất
( )C .
Nếu P là khơng gian tơpơ cĩ thứ tự thoả mãn tiên đề đếm được thứ hai thì mỗi dãy của P là tách. Do đĩ P cĩ tính chất ( )C .
Một khơng gian tơpơ cĩ thứ tự khả mêtríc cĩ tính chất ( )C .
Một khơng gian định chuẩn Elà một khơng gian tơpơ cĩ thứ tự với tơpơ yếu và tơpơ thơng thường. Ngồi ra tính chất ( )C đúng với cả hai trường hợp.
Chứng minh:
Dễ thấy, khơng gian định chuẩn cĩ thứ tự là khơng gian tơpơ cĩ thứ tự . Chứng minh: Ethoả tính chất ( )C .
Trường hợp 1: Trên Etrang bị tơpơ yếu Cho Clà một xích sắp tốt trong E.
Nếu tất cả các dãy tăng của Cđều cĩ giới hạn yếu thì cĩ một dãy tăng ( )xn trong Chội tụ yếu đếnx=supC.
Nếu Clà một xích sắp tốt ngược và những dãy giảm của nĩ cĩ giới hạn yếu, thì −C là xích sắp tốt mà những dãy tăng cĩ giới hạn yếu.Do đĩ, tồn tại một dãy tăng ( )xn của −C
hội tụ yếu đến sup( )−C = −infC
Đặt yn = −xn, khi đĩ ta cĩ dãy giảm ( )yn của Chội tụ yếu đến infC
Trường hợp 2: E được trang bị một tơpơ thơng thường Khi đĩ E là khơng gian mêtric cĩ thứ tự
Theo bổ đề 4.2.2 thì Ecĩ tính chất ( )C .
Mệnh đề 4.2.4
Cho Plà một tập con của khơng gian định chuẩn cĩ thứ tự, và G P: →P là tăng.
( )a Nếu tập S+ ={x P x G x∈ : ≤ ( )} khác rỗng và Gbiến dãy tăng của S+ thành dãy hội tụ yếu hoặc mạnh trong P thì G cĩ điểm bất động lớn nhất .
Ngồi ra, với mỗi x S∈ +, Gcĩ điểm bất động nhỏ nhất trong [x) và nĩ tăng đối với G
( )b Nếu tập S− ={x P G x∈ : ( )≤x} khác rỗng và Gbiến dãy giảm của S− thành dãy hội tụ yếu hoặc mạnh trong P thì G cĩ điểm bất động nhỏ nhất.
Ngồi ra, với mỗix S∈ −, Gcĩ điểm bất động nhỏ nhất trong (x] và nĩ tăng đối với G. Chứng minh
Suy ra từ bổ đề 4.2.3 và mệnh đề 4.1.2 .
Mệnh đề 4.2.5
Cho một tập con P của khơng gian định chuẩn cĩ thứ tự E.
Giả sử G P: →P là tăng và dãy đơn điệu của G P[ ] cĩ giới hạn yếu trong P.
( )a Nếu tập đĩng yếu của G P[ ] cĩ một sup – center c trong P thì Gcĩ điểm bất động lớn nhất và nhỏ nhất. Ngồi ra, G cĩ điểm bất động lớn nhất x* trong (x], trong đĩ
x là nghiệm nhỏ nhất của phương trìnhx=sup ,{c G x( )}.Cả x và x* là tăng đối với G.
( )b Nếu tập đĩng yếu của G P[ ]cĩ một inf – center c trong P thì Gcĩ điểm bất động lớn nhất và nhỏ nhất. Ngồi ra, G cĩ điểm bất động nhỏ nhất x*trong [x), trong đĩ
x là nghiệm lớn nhất của phương trìnhx =inf ,{c G x( )}.Cả x và x* là tăng đối với G.
Mệnh đề 4.2.6
Cho các tập cĩ thứ tự Vvà tập con Pcủa khơng gian định chuẩn cĩ thứ tự. Ánh xạ
, : →
L N V Pthoả các giả thiết sau:
i) Với mỗix∈P, phương trình Lu= x cĩ nghiệm lớn nhất và nhỏ nhất và chúng
tăng theo x.
ii) Ntăng trong (V,) hoặc trong (V,≤). Khi đĩ:
a) Nếu N V[ ] cĩ một cận trên trong Pvà nếu các dãy giảm của N V[ ] cĩ giới hạn yếu hoặc mạnh trong Pthì phương trình Lu Nu= cĩ một nghiệm nhỏ nhất trong
(V,) và cĩ một nghiệm lớn nhất trong (V,≤) và nĩ tăng đối với N.
b) Nếu N V[ ] cĩ một cận dưới trong Pvà nếu các dãy tăng của N V[ ] cĩ giới hạn yếu hoặc mạnh trong Pthì phương trình Lu Nu= cĩ một nghiệm lớn nhất trong
(V,) và cĩ một nghiệm nhỏ nhất trong (V,≤) và nĩ tăng đối với N. Chứng minh
Suy ra từ bổ đề 4.2.3 và định lý 3.2.2
Bổ đề 4.2.7
Cho Elà khơng gian định chuẩn cĩ thứ tự thoả tính chất ( )E .
Nếu c E∈ và R∈(0,∞) thì clà một order – center củaB cR( ):={x E x c∈ : − ≤R}và mọi xích Ccủa B cR( )đều cĩ supC và infC thuộc B cR( ).
Chứng minh
1. Nhắc lại:Nếu một dãy ( )xn của khơng gian định chuẩn Ehội tụ yếu đến x thì ( )xn bị
chặn nghĩa là sup n n x < ∞ và lim inf n n x x →∞ ≤ 2.Chứng minh:
Do sup ,{ } (c x = x c− )+ +c và inf ,{ }c x = − −c (c x)+ với mọi x E∈
Nên sup ,{ }c x − =c inf ,{ }c x − =c (x c− )+ ≤ x c− ≤R với mọi x B c∈ R( )
Vậy cả sup ,{ }c x và inf ,{ }c x đều thuộc B cR( ). Cho Clà một xích trong B cR( ).
Do Cbị chặn nên cĩ một dãy tăng ( )xn trong Chội tụ yếu đến x=supC. Vì xn− ≤c R với mọi n nên lim inf n
n
x c x c R
→∞
− ≤ − ≤
Vậy cĩ x=supC thuộc B cR( ).
Tương tự, ta cĩ x=infC thuộc B cR( ).
Định lý 4.2.8
Cho khơng gian định chuẩn cĩ thứ tự Ethoả tính chất ( )E , P E⊂
Giả sử G P: →P là tăng và G P[ ]⊂B cR( )⊂P với c P∈ và R∈(0,∞) thì G cĩ:
( )b Điểm bất động nhỏ nhất và lớn nhất x* và x* trong đoạn cĩ thứ tự [ ]x x, của
P, trong đĩ x là nghiệm lớn nhất của x=inf ,{c G x( )} và x là nghiệm nhỏ nhất
của x=sup ,{c G x( )}.
Ngồi ra, x x x*, ,* và x là tăng đối với G. Chứng minh:
Áp dụng định lý 2.3.4 Gọi Clà một xích trong P.
Do G C[ ] là một xích trong B cR( ) nên cĩ supG C[ ] và infG C[ ] trong E và chúng thuộc B cR( )⊂ P
Do clà một order – center của B cR( ) và ocl G P( [ ])⊂G P[ ]⊂B cR( )⊂P
Nên clà một order – center của ocl G P( [ ])trong P.
Định lý 4.2.9
Cho tập cĩ thứ tự V vàP E⊂ . Ánh xạ L N V, : →P. Giả sử:
i) Với mỗi x∈P, phương trình Lu=x cĩ nghiệm lớn nhất và nhỏ nhất và chúng tăng theo x.
ii) Ntăng trong (V,≤)(tương ứng trong(V,)). iii) N V[ ]⊂B cR( )⊂P với c E∈ và R∈(0,∞). Khi đĩ: Phương trình Lu Nu= cĩ
a) Nghiệm tối đại và tối tiểu trong (V,).
b) Nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất u* và u* trong đoạn cĩ thứ tự [ ]u u, của
(V,≤)(tương ứng(V,)) trong đĩ u là nghiệm lớn nhất của phương trình
{ } inf , Lu= c Nu trong { 1{ } } min − : − = ∈ V L x x P và ulà nghiệm nhỏ nhất của phương trình Lu=sup ,{c Nu} trong { 1{ } }
max − :
+ = ∈
Ngồi ra u u u*, ,* và u là tăng đối với N trong (V,≤).
Định lý 4.2.10
Giả sử P E⊂ và B cR( )⊂P với c E∈ và R∈(0,∞). Khi đĩ:
1. Nếu F: 2 \P
P→ ∅ là hàm tăng, tập các giá trị của Flà tập compact yếu trong
E vàF[ ]P ⊂BR( )c , thì F cĩ điểm bất động tối đại và tối tiểu. 2. Nếu L V: →P và N:V →2 \P ∅ thoả các giả thiết sau:
i) Với mỗix∈P, phương trình Lu= x cĩ nghiệm lớn nhất và nhỏ nhất và chúng tăng theo x.
ii) N tăng trong (V,) hoặc trong (V,≤)và tập các giá trị của nĩ là tập
compact yếu trong E và N[ ]V ⊂ BR( )c .
Thì bao hàm thức Lu∈ Nu cĩ nghiệm tối đại và tối tiểu trong (V,)
Chứng minh:
1) Suy ra từ bổ đề 4.2.7 và định lý 2.2.5 chương 2 2) Suy ra từ bổ đề 4.2.7 và định lý 3.1.2 chương 3.
KẾT LUẬN
Trong luận văn này, tơi đã giới thiệu phương pháp lặp suy rộng của Heikkila và ứng dụng nĩ để trình bày một cách tương đối đầy đủ, cĩ hệ thống các kết quả về điểm bất động của ánh xạ tăng trong khơng gian cĩ thứ tự với các chứng minh chi tiết.
Quá trình thực hiện luận văn giúp tơi bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học và bản thân đã biết vận dụng những kiến thức đã học vào việc nghiên cứu một vấn đề cụ thể.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Đậu Thế Cấp, Giải tích Hàm, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam, (2009). [2] Bernd S.V. Schroeder, Ordered Sets, Birkhauser, Boston (2002).
[3] K. Deimling, Nonlinear Functional Analysis, Springer – Verlag, Berlin Heidelberg New York Tokyo (1985).
[4] S.Carl, S.Heikkila, Fixed point theory in ordered sets and applications, Springer, New York, 2010.
[5] S.Carl, S.Heikkila, Nonlinear Differential Equations in Ordered Spaces, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, (2000).
[6] S.Heikkila, V.Lakshmikantham, Monotone Iterative Techniques for Discontinuous Nonlinear Differential Equations, Marcel Dekker Inc, New York (1994).