Cho (q, ) là một không gian vectơ toàn phương. Kí hiệu O(q) là nhóm các ánh xạ trực giao trên q và o(q) là đại số Lie của O(q), tức là đại số Lie chứa các ánh xạ phản xứng trên q (tương ứng với dạng song tuyến tính ). Nhắc lại rằng, tác động phụ hợp là tác động của nhóm O(q) lên đại sốo(q) bởi phép phụ hợp. Trong trường hợpq = ℂ|, ta dùng kí hiệu O(¦) và o(¦) thay cho O(q) và o(q). Ta có định lý phân loại các đại số Lie toàn phương kì dị như sau:
Định lý 2.9. Cho (q, ) là một không gian vectơ toàn phương. Ta kí hiệu g= (ℂ6⊕ ℂ6)⊕⊥qvàg' = (ℂ6N ⊕ ℂ6N)⊕⊥qlần lượt là các mở rộng kép củaqbởi> và >′£. Khi đó:
(1) Tồn tại một đẳng cấu đại số Lie giữagvàg' nếu và chỉ nếu tồn tại một ánh xạ khả nghịch: q → qvà một số ∈ ℂ khác 0 sao cho
>£ = >′ g6và ∗> = >,
ở đây∗là ánh xạ phụ hợp vớitương ứng với .
(2) Tồn tại một đẳng cấu đẳng cự giữa g và g' nếu và chỉ nếu >£′ thuộc O(q)-quỹ đạo phụ hợp đi qua> với ∈ ℂkhác 0.
Ta kí hiệu ®(¦ + 2) là tập hợp chứa tất cả các cấu trúc đại số Lie toàn phương kì dị giải được trên ℂ|a7, ` (¦ + 2)® và `®^(¦ + 2) tương ứng là tập hợp các lớp đẳng cấu và tập hợp các lớp đẳng cấu đẳng cự của các phần tử trong ®(¦ + 2). Cho > ∈o(¦), khi đó sẽ có một mở rộng képg¯ liên kết với > và ta có hệ quả như sau.
Hệ quả 2.10. Ánh xạ> ↦ g¯ cảm sinh một song ánh từ tập hợp 6± (o(¦))cácO(¦)-quỹ đạo trong 6(o(¦)) vào `®^(¦ + 2), ở đây 6(o(¦)) là không gian xạ ảnh của đại số Lie
o(¦).
Chú ý rằng, một dạng yếu hơn của hệ quả trên đã được đưa ra trong [FS], ở đó một số điều kiện không cần thiết có thể bỏ đi. Do đó, Hệ quả 2.10 có thể được xem như là một mở rộng của kết quả trong [9]. Ngoài ra, hệ quả này được phát biểu tổng quát hơn trong
28 Định lý 2.14 dưới đây, ở đó khái niệm đẳng cấu đẳng cự có thể được thay thế bởi khái niệm đẳng cấu. Tuy nhiên để chứng minh được kết quả này đòi hỏi phải xét định lý trong ba trường hợp cụ thể: trường hợp lũy linh, trường hợp chéo hóa và trường hợp khả nghịch.
Kí hiệu ³(¦ + 2) là tập hợp các cấu trúc đại số Lie toàn phương kì dị lũy linh trên ℂ|a7, ³`(¦ + 2) và ³`^(¦ + 2) tương ứng là tập hợp các lớp đẳng cấu và tập hợp các lớp đẳng cấu đẳng cự trong ³(¦ + 2). Sử dụng Định lý Jacobson-Morosov, chúng tôi chứng minh được kết quả sau:
ĐĐĐĐịnh lýịnh lýịnh lýịnh lý 2.112.112.112.11.
(1) Cho g và g' thuộc ³(¦ + 2). Khi đógđẳng cấu đẳng cự với g' nếu và chỉ nếu chúng đẳng cấu với nhau. Do đó³`(¦ + 2) = ³`^(¦ + 2).
(2) Kí hiệu ³·(¦) là tập hợp các O(¦)-quỹ đạo lũy linh trong o(¦). Khi đó ánh xạ
> ↦ g¯ cảm sinh một song ánh từ ³·(¦) vào³`(¦ + 2).
Chúng ta có thể sử dụng khái niệm tích trộn để mô tả chi tiết tập hợp ³`(¦ + 2), ở đó mỗi một đại sốgthuộc ³(¦ + 2) sẽ đẳng cấu đẳng cự một cách duy nhất với tích trộn của các đại số Lie lũy linh dạng Jordan. Chi tiết cách mô tả độc giả có thể xem trong phần Phụ lục.
Trong trường hợp > chéo hóa được, tương đương với > nửa đơn thì ta gọig¯ là một đại số Lie toàn phương kì dị chéo hóa được. Kí hiệu ¸(¦ + 2) là tập hợp các cấu trúc như thế trên ℂ|a7, ¸`(¦ + 2) và ¸`^(¦ + 2) tương ứng là tập hợp các lớp đẳng cấu và tập hợp các lớp đẳng cấu đẳng cự trong ¸(¦ + 2), ¸`¹(¦ + 2) và ¸`¹^(¦ + 2) tương ứng là các tập con của ¸`(¦ + 2) và ¸`^(¦ + 2) chứa lớp các phần tử rút gọn. Khi đó ta có định lý sau:
29 (1) Tồn tại một song ánh giữa¸`^(¦ + 2)và tập hợp cácO(¦)-quỹ đạo nửa đơn
trong 6(o(¦)). Hơn nữa¸`¹^(¦ + 2)song ánh với tập hợpO(¦)-quỹ đạo nửa đơn khả nghịch trong 6(o(¦)).
(2) Chogvàg' rút gọn thuộc¸(¦ + 2). Khi đó¦phải là số chẳn, đồng thờigvà
g' đẳng cấu nếu và chỉ nếu chúng đẳng cấu đẳng cự. Do đó¸`¹(2º + 2) = ¸`¹^(2º + 2)với mọiº ≥ 1.
(3) Cho (g, ) là một đại số Lie toàn phương kì dị chéo hóa rút gọn. Gọig là mở
rộng kép củaℂ7bởi ánh xạ phản xứng > = ¨1 00 −1©.Khi đóglà tích trộn của các đại số Lie toàn phương mà mỗi đại số đó đều đẳng cấu đẳng cự vớig. Chúng ta tiếp tục với khái niệm đại số Lie toàn phương kì dị khả nghịch (tức là > trong định nghĩa mở rộng kép là khả nghịch). Trong trường hợp này số chiều của đại số Lie phải là một số chẳn. Kí hiệu ^|w(2º + 2) là tập hợp các cấu trúc như thế trên ℂ7»a7 và ¼ (2º + 2)_|w là tập hợp các lớp đẳng cấu của các phần tử trong ^|w(2º + 2). Từ Định lý 2.9, ta dể dàng chứng minh được rằng khái niệm đẳng cấu và khái niệm đẳng cấu đẳng cự là tương đương đối với các phần tử trong tập hợp ^|w(2º + 2). Để phân loại các lớp đẳng cấu trong ^|w(2º + 2) ta tiến hành như sau: đặt (¦) là tập hợp các phần tử khả nghịch trong o(¦) và ½(¦) là tập hợp các quỹ đạo phụ hợp của các phần tử trong (¦). Chú ý rằng (2º + 1) = ∅, do đó ta xét ¦ = 2º. Định nghĩa tập hợp ¸ = ¿(À6, … , À¹) ∈ ℕ¹ | À6 ≥ À7 ≥ ⋯ ≥ À¹ ≥ 1 ¹∈ℕ∗ và ánh xạ Φ∶ ¸ → ℕ xác định bởi Φ(À6, … , À¹) = ¢ À¹ ^ ^\6 . Ta giới thiệu tập hợp i» gồm tất cả các bộ ba (Λ, Ã, À) sao cho:
(1) Λ là tập con của ℂ\0 với #Λ ≤ 2p và ∈Λ nếu và chỉ nếu − ∈Λ. (2) à ∶ Λ→ ℕ∗ thỏa mãn Ã() = Ã(−) với mọi ∈ Λ và ¢Æ∈ΛÃ() = 2º. (3) À ∶ Λ → ¸ thỏa mãn À() = À(−) với mọi ∈Λ và Φ∘ À = Ã.
30 Khi đó, với mỗi > ∈ (2º), ta liên kết nó với mỗi bộ ba (Λ, Ã, À) của i» như sau: viết > = + ³ với và ³ lần lượt là các thành phần nửa đơn và lũy linh trong phân tích Jordan của >. Khi đó Λ là phổ của , Ã là bội của các phần tử thuộc Λ và À là kích cỡ của khối Jordan của ³. Do đó ta thu được một ánh xạ : (2º) → i» và ta có định lý sau:
Định lý 2.13. Ánh xạ : (2º) → i» cảm sinh một song ánh từ ½(2º) vàoi» và do đó tồn tại một song ánh giữa tập hợp ¼ (2º + 2)_|w và tập hợpi»/ℂ∗.
Sử dụng Phân tích Fitting và khái niệm mở rộng kép, ta định nghĩa các thành phần Fitting của một đại số Lie toàn phương kì dị giải được như sau: choglà một đại số Lie toàn phương kì dị giải được, khi đó g được xem như một mở rộng kép của ℂ| bởi > ∈ o(¦). Xét thành phần khả nghịch > và thành phần lũy linh >È của > trong Phân tích Fitting. Khi đó g = g¯Ê và gÈ = g¯Ëđược gọi là các thành phần Fitting củag. Chú ý rằng
g chính là tích trộn của g và gÈ, đồng thời g cũng được đặc trưng bởi các thành phần Fitting của nó nhờ định lý sau đây.
Định lý 2.14. Cho gvàg' là hai đại số Lie toàn phương kì dị giải được. Gọig, gÈ vàg',
g'È lần lượt là các thành phần Fitting củagvàg', Khi đó ta có:
(1) g đẳng cấu đẳng cự với g' nếu và chỉ nếu các thành phần Fitting tương ứng đẳng cấu đẳng cự. Kết quả vẫn còn đúng nếu thay khái niệm đẳng cấu đẳng cự bởi khái niệm đẳng cấu.
(2) g đẳng cấu đẳng cự với g' nếu và chỉ nếu chúng đẳng cấu với nhau. Do đó
` (¦ + 2) = ® `®^(¦ + 2).
Như vậy lớp các đại số Lie toàn phương kì dị giải được là lớp các đại số Lie toàn phương khá đặc biệt, ở đó khái niệm đẳng cấu tương đương với khái niệm đẳng cấu đẳng cự. Sự phân loại trong hai trường hợp lũy linh và khả nghịch kết hợp với định lý trên cho ta kết quả phân loại hoàn toàn lớp các đại số Lie toàn phương kì dị.
31
Chương 3. KẾT LUẬN 3.1. Một số kết quả khác
Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày thêm một số kết quả đáng chú ý khác nằm ngoài dự kiến ban đầu của đề tài. Dự kiến ban đầu của chúng tôi là phân loại hoàn toàn lớp các đại số Lie toàn phương kì dị, tuy nhiên nhờ các kết quả đó chúng tôi đã đi đến việc chứng minh được rằng số dup là một bất biến của các đại số Lie toàn phương, tức là hai đại số Lie toàn phương đẳng cấu với nhau thì số dup phải bằng nhau. Kết quả này khá lý thú bởi vì đây là một bất biến số, xuất hiện lần đầu tiên trong nghiên cứu các đại số Lie toàn phương và có tính chất khác với những bất biến quen thuộc. Tuy nhiên chứng minh của nó không thực sự tầm thường, đòi hỏi phải mô tả đầy đủ các đồng cấu trên một đại số Lie toàn phương kì dị giao hoán với các đạo hàm trong và hệ quả của việc mô tả này là xác định được số chiều của không gian các dạng song tuyến tính đối xứng bất biến trên một đại số Lie toàn phương kì dị. Đây là một trong những trường hợp hiếm hoi (cùng với trường hợp các đại số Lie nửa đơn hoặc reductive), số chiều của không gian này được tính toán một cách tường minh.
Cho (g, ) là một đại số Lie toàn phương. Với mỗi dạng song tuyến tính đối xứng ′ củag, tồn tại một ánh xạ liên kết ¸: g → gthỏa mãn:
N(, ) = (¸(), ), ∀, ∈ g.
Vì và ′ đối xứng nên ¸ là một ánh xạ đối xứng (tương ứng với dạng song tuyến tính ), tức là (¸(), ) = (, ¸()) với mọi , ∈ g.
Bổ đề 3.1.
(1) ′ bất biến nếu và chỉ nếu ¸ thỏa mãn tính chất :
¸(, ) = ¸(), = , ¸(), ∀, ∈ g. (2) ′ không suy biến nếu và chỉ nếu¸ khả nghịch.
Định nghĩa 3.2. Một ánh xạ đối xứng ¸ thỏa mãn tính chất trong Bổ đề 3.1 (1) được gọi là một centromorphism củag.
32 Chú ý rằng, đẳng thức trong Bổ đề 3.1 (1) tương đương với
¸ ∘ ad() = ad() ∘ ¸ = ad/¸()0, ∀ ∈ g. Tức là ¸ giao hoán với các đạo hàm trong củag.
Kí hiệu >(g) là không gian các centromorphism của g và >(g) là không gian con của >(g) sinh bởi các centromorphism khả nghịch của g. Bổ đề 2.1 trong [4] nói rằng >(g) = >(g). Do đó không gian các dạng song tuyến tính đối xứng bất biến của g và không gian con của nó sinh bởi các phần tử không suy biến sẽ trùng nhau, ta kí hiệu các không gian này bởi (g). Chiều của (g) được gọi là chiều toàn phương củagvà được kí hiệu là ÀÌ(g). Chú ý rằng ÀÌ(g) = dim(>(g)).
Kết quả sau cho ta một công thức mô tả tường minh không gian >(g) của một đại số Lie toàn phương kì dị rút gọn cũng như chiều toàn phương của nó.
Mệnh đề 3.3. Choglà một đại số Lie toàn phương kì dị rút gọn và ¸: g → glà một ánh xạ đối xứng. Khi đó :
(1) ¸ là một centromorphism nếu và chỉ nếu tồn tại một số ∈ ℂ và một ánh xạ đối xứng Í: g →(g) sao cho 2Í|g,g = 0 và ¸ = Id + Í. Hơn nữa ¸ khả nghịch nếu và chỉ nếu ≠ 0.
(2)
ÀÌ(g) = 1 +dim((g))(1 + dim((2 g))).
Định lý 3.4. Số dup là một bất biến dưới tác động của các đẳng cấu, tức làgvàg′ là hai đại số Lie toàn phương đẳng cấu nhau thì dup(g) = dup(g').
Chứng minh. Chứng minh của Định lý 3.4 có thể được tóm tắt như sau. Giả sử gvàg′ là hai đại số Lie toàn phương đẳng cấu. Khi đó ta có thể đồng nhấtgvàg′ như là một đại số Lie được trang bị hai dạng song tuyến tính đối xứng bất biến không suy biến và ′, tức làgcó hai số dup là dupÎ(g) và dupÎÏ(g). Lúc này ta chỉ cần chứng minh:
33 Dể dàng chứng minh được rằng nếugbị phân tích thành g= z
⊥
⊕l giống như Mệnh đề 1.4 thì dup(g) = dup(l). Do đó ta có thể giả sử ngay từ đầu glà rút gọn.
Ta xét từng trường hợp dupÎ(g) = 3, dupÎ(g) = 1 và dupÎ(g) = 0. Khi đó dupÎÏ(g) cũng nhận cùng giá trị tương ứng. Phần chứng minh này độc giả có thể tham khảo trong phần Phụ lục.