Các kết quả về lý thuyết đ-ợc trình bày trên đ-ợc sử dụng nh- một công cụ để nghiên cứu bài toán cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơị
Gọi I là tập hợp các ng-ời chơi và T là tập hợp các tham số, đặc tr-ng cho các thay đổi của môi tr-ờng mà ng-ời chơi tham giạTa kí hiệuX =Q
i∈IXi là tập hợp các bộ ph-ơng án (chiến l-ợc) của các ng-ời chơị Với mỗi x = {xi}i∈I vài ∈ I ta kí hiệu
x = (x−i, xi), ở đâyxi là ph-ơng án (chiến l-ợc) của ng-ời chơi thứivàx−i là bộ các ph-ơng án của các ng-ời chơi còn lạị Với x ∈ X và t ∈ T cố định, gọiXix,t ⊆ Xi
là tập hợp các ph-ơng án phản hồi của ng-ời chơi thứ i lựa chọn đ-a ra đối với tác động(x, t)(bộ ph-ơng án xvà tham số tác độngt). Ta gọiut
i(x)∈Wi = (Wi,4i)là lợi nhuận ng-ời chơi thứ i thu đ-ợc. Ta nói ph-ơng án phản hồiy¯i của ng-ời chơi thứi
đối với tác động (x, t)là tối -u nếu
uti(x−i,y¯i) = max{uit(x−i, yi) :yi ∈Xix,t}
Một bộ ph-ơng án x = {xi}i∈I đ-ợc gọi là điểm cân bằng Nash với t ∈ T nếu các ph-ơng án phản hồi xi của ng-ời chơi thứi đối với tác động(x, t)đều là ph-ơng án tối -ụ
Ta kí hiệuFt
i(x)là tập hợp các ph-ơng án phản hồi tối -u của ng-ời chơi thứ iđối với tác động(x, t). Vậy điểm cân bằng Nash đ-ợc định nghĩa trên chính là điểm bất động của ánh xạ đa trịFt={Fit}i∈I.
Trong mục này chúng ta sẽ trình bày các điều kiện cho tập các ph-ơng án phản hồi
Xix,t và hàm lợi nhuậnut
i sao cho điểm cân bằng Nash tồn tạị
Hơn nữa, chúng ta còn chỉ ra rằng điểm cân bằng Nash lớn nhất x¯t là tồn tại và làm cho hàm uti(x)đạt giá trị lớn nhất trên tập hợp các điểm cân bằng Nash với mỗit∈T
(1) CácXi là order-bounded và là tập con order-closed của không gian định chuẩn có thứ tựEi với thứ tự sinh bởi nón chính quị
(2) Các Xix,tlà closed và directed upwards. (3) Các ánh xạx7→Xit,x là increasing upwards. (4) Các hàmut
i là increasing.
Định nghĩa 2.4.1. Tập hợpA⊆Xix,tgọi là tập mức củaux,ti nếuA= (ux,ti )−1(wi)và là tập mức trên củaux,ti nếuA= (ux,ti )−1[[wi)]vớiwinào đó trongux,ti [Xix,t]
Nhận xét2.4.1. Các tập mức và tập mức trên củaux,ti là tập con củaFit(x)và bằngFit(x)khi
wi = maxux,ti [Xix,t].
Định lý 2.4.1. Giả sử rằng các giả thiết sau đ-ợc thỏa:
(Ha)ux,ti [Xix,t]chứa một chặn trên của các xích khác rỗng và directed upwards trong nó. (Hb) Các xích khác rỗng củaS
{Xix,t :x∈X}có chặn trên nhỏ nhất và chặn d-ới lớn nhất trongXivới mọii∈I vàt ∈T.
(Hc) Mỗi tập mức của mỗiux,ti là closed upwards và directed upwards.
(Hd) Nếu x <x¯trongX, i ∈I vàt ∈T, thì tồn tại tập mức trênAcủaux,ti vàB củau¯x,ti
sao cho vớiyi ∈Avàzi ∈B tồn tại mộtz¯i ∈Xix,t¯ thỏayi ≤i z¯ivàux,ti¯ (¯zi)⊀ u¯x,ti (zi). Nếu mỗiXi có một sup-center làci thì với mỗit ∈ T tồn tại điểm cân bằng Nash lớn nhất
xttrong khoảng thứ tự(bt]củaX, trong đóbtđ-ợc xác định bởi:
bt= min{y∈[c) : sup{c,maxFt(y)} ≤y}, c={ci}i∈I.
Hơn nữa, các ánh xạt7→btvàt7→xtlà tăng nếu giả thiết sau đ-ợc thỏa:
(He) Nếu t <t¯trongT, i∈ I vàx ∈X, thì tồn tại tập mức trên Acủaux,ti vàB củaux,i ¯t
sao cho vớiyi ∈Avàzi ∈B tồn tại mộtz¯i ∈Xix,t¯ thỏayi ≤i z¯ivàux,i ¯t(¯zi)⊀ ux,i ¯t(zi).
Chứng minh. Lấyi∈I, t∈T vàx∈X cố định. Dựa vào bổ đồ Zorn và điều kiện (Ha) của định lý ta suy ra tập hợp ux,ti [Xix,t]có phần tử tối đại và phần tử này chính là điểm cực đại của ux,ti [Xix,t]. Vì vậy tập hợpFt
khác rỗng trong nó theo giả thiết (Hb) và (Hc). Hơn nữa, doFt
i(x)là directed upwards nên
maxFt
i(x)là tồn tạị
Tiếp theo ta chứng minh x 7→ Fit(x), i ∈ I, t ∈ T là increasing upwards. Thật vậy, giả sử
x < x¯ và lấy yi ∈ Fit(x). Chọn zi ∈ Fit(¯x), theo giả thiết (Hd) tồn tại z¯i ∈ Xix,t¯ sao cho
yi ≤i z¯i và u¯x,ti (¯zi)⊀i ux,ti¯ (zi). Dựa vào kết quả này ta suy raz¯i ∈Ft
i(¯x). Doyi ≤i z¯i nên
Ft
i là increasing upwards.
Các chứng minh trên chứng tỏ giả thiết (hd) của định lý 2.3.7 đ-ợc thỏạ Giả thiết (ha) của định lý 2.3.7 đ-ợc suy ra từ giả thiết (Hb) của định lý. Do đó, nếu cácXi có một sup-center
ci thì Ft={Ft
i}i∈I có điểm bất động lớn nhấtxttrong khoảng thứ tự(bt]củaX, trong đó
(bt] đ-ợc chỉ ra trong định lý. Theo định nghĩa ban đầu, xt chính là điểm cân bằng Nash trong(bt].
Bằng kỹ thuật chứng minh t-ơng tự trong chứng minh Ft
i là increasing upwards ta chứng minh đ-ợct 7→Fit(x)là increasing upwards với mỗii ∈I vàx ∈X. Theo định lý 2.3.3 ta suy ra các ánh xạt7→btvàt7→ xtlà tăng.
Định lý 2.4.2. Giả sử rằng giả thiết (Hb) của định lý 2.4.1 và các giả thiết sau đ-ợc thỏa: (Hf) MỗiXix,t là closed upwards và directed upwards.
(Hg) Mỗi ánh xạux,ti là tăng.
(Hh) Mỗi ánh xạx7→Xix,t là increasing upwards.
Nếu mỗiXi có một sup-center làci thì với mỗit ∈ T tồn tại điểm cân bằng Nash lớn nhất
xttrong khoảng có thứ tự(bt]củaX, trong đóbtđ-ợc xác định bởi:
bt= min{y∈[c) : sup{c,maxFt(y)} ≤y}, c={ci}i∈I.
Hơn nữa, các ánh xạt7→btvàt7→xtlà tăng nếu giả thiết sau đ-ợc thỏa: (Hi) Mỗi ánh xạt 7→Xix,t là increasing upwards.
Chứng minh. Lấy i ∈ I, t ∈ T và x ∈ X cố định. Sử dụng bổ đề Zorn và các giả thiết (Hb) và (Hf) ta suy ra zi = maxXix,t là tồn tạị Nếu yi ∈ Xix,t thì yi ≤i zi và khi đó
ux,ti (yi) 4 ux,ti (zi) theo (Hg). Điều này đúng với mỗiyi ∈ Xix,t nênzi ∈ Fit(x). Hơn nữa
zi = maxFit(x)doFt
Ta chứng minhFt
i, t ∈T, i∈Ilà increasing upwards. Giả sửx≤x¯và lấyyi ∈Ft
i(x). Theo (Hh) tồn tại zi ∈ Xix,t¯ sao choyi ≤zi. Vì vậy,yi ≤ maxXix,t¯ ∈ Fit(¯x). Điều này chứng tỏ
Fitlà incresing upwards.
Sử dụng giả thiết (Hi) và maxFit(x) = maxXix,t với mọii ∈ I, t∈ T và x ∈X ta suy ra
t 7→Ft
i(x)là increasing upwards với mọii∈I vàx∈X.
Các kết quả trên chứng tỏ các giả thiết (Ha), (Hc), (Hd) và (He) của định lý 2.4.1 đ-ợc thỏạ Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh.
Định lý 2.4.3. Giả sử giả thiết (Hb) của định lý 2.4.1 và các giả thiết sau đ-ợc thỏa: (Hf') MỗiXix,t là closed downwards và directed downwards.
(Hg') Mỗi ánh xạ ux,ti là giảm.
(Hh') Mỗi ánh xạx7→Xix,tlà increasing downwards.
Nếu mỗiXi có một inf-center làci thì với mỗit ∈T tồn tại điểm cân bằng Nash nhỏ nhất
xttrong khoảng có thứ tự[at)củaX, trong đóatđ-ợc xác định bởi:
at= max{y∈(c] :y ≤inf{c,minFt(y)}}, c={ci}i∈I
Hơn nữa, các ánh xạt7→atvàt7→xtlà tăng nếu giả thiết sau đ-ợc thỏa: (Hớ) Mỗi ánh xạt 7→Xix,t là increasing downwards.
Chứng minh. Kết quả của định lý chính là đối ngẫu của định lý 2.4.3.
Định lý 2.4.4. Giả sử các giả thiết của định lý 2.4.1 và 2.4.2 và giả thiết sau đ-ợc thỏạ (Hj)S
{Xix,t :x∈X}là bị chặn trên với mọii∈I vàt ∈T.
Khi đó, điểm cân bằng Nash lớn nhấtx¯t tồn tại với mỗit ∈ T. Hơn nữa, mỗix¯t chính là điểm cực đại củaut
i(x)trên tập hợp các điểm cân bằng Nash với mỗitnếu: (Hk)x−i 7→uti(x−i, xi)là tăng trongX−i =Q
j∈I\iXj với mọii∈I,xi ∈Xi vàt∈T.
Chứng minh. Giả thiết (Hj) suy ra sự tồn tạibt={bt
i}i∈I sao choFt(x)≤btvới mỗix∈X
và t ∈T. Từ đây ta suy ra đ-ợc các giả thiết của định lý 2.3.4 đ-ợc thỏạ Do đó ánh xạ Ft
có điểm bất động lớn nhấtx¯ttrong(bt]. DoFt[X] ⊆(bt]với mỗit ∈T nên mỗix¯tlà điểm lớn nhất trong các điểm bất động củaFtvà cũng là điểm cân bằng Nash lớn nhất. Do đó kết
luận thứ nhất của định lý đ-ợc chứng minh. Dựa vào kết quả này và giả thiết (Hk) ta suy ra kết luận thứ haị
Định lý 2.4.5. Giả sử các giả thiết của định lý 2.4.3 và giả thiết sau đ-ợc thỏạ (Hj')S
{Xix,t :x∈X}là bị chặn d-ới với mọii∈I vàt ∈T.
Khi đó, điểm cân bằng Nash nhỏ nhất x¯t tồn tại với mỗit ∈ T. Hơn nữa, mỗi x¯tchính là điểm cực tiểu củaut
i(x)trên tập hợp các điểm cân bằng Nash với mỗitnếu: (Hk)x−i 7→uti(x−i, xi)là giảm trongX−i =Q
j∈I\iXj với mọii∈I,xi∈Xi vàt∈T.
Chứng minh. Kết quả của định lý này chính là đối ngẫu của của định lý 2.4.4.
Định lý 2.4.6. Điểm cân bằng Nashx¯tlà tồn tại và làm các hàm lợi nhuậnut
i(x)đạt giá trị lớn nhất trên tập hợp các điểm cân bằng Nash với mỗit∈ T nếu giả thiết (Hf), (Hg), (Hh), (Hk) và giả thiết sau đ-ợc thỏạ
(Hi) Tập hợp các ph-ơng ánXicủa ng-ời chơi thứilà tập con bị chặn thứ tự, order-closed của không gian định chuẩn có thứ tự sinh bởi nón chính quị
Chứng minh. Giả thiết (Hi) kéo theo các giả thiết (Hb) và (Hj) đ-ợc thỏạ Do đó dựa vào định lý 2.4.4 ta suy ra kết luận của định lý.
Kết luận
Các kết quả chính trong luận văn đều đ-ợc trình bày trong các tài liệu [2] và [5]. Trong quá trình tiếp cận hai bài báo này, chúng tôi có thu đ-ợc một số kết quả nhỏ, cung cấp và thay đổi một số chứng minh cho các ví dụ, định lý . Cụ thể nh- sau:
Trong ch-ơng 1, các ví dụ 1.1.1, 1.3.1, 1.3.2 không đ-ợc chứng minh trong [5]. Định lý điểm bất động Fan-Browder đ-ợc chứng minh theo cách tiếp cận khác thông qua bổ đề và định lý tách KyFan. Định lý điểm yên ngựa và hệ quả không đ-ợc trình bày trong [5]. Trong ch-ơng 2, định lý 2.1.2, 2.2.1 chỉ đ-ợc phát biểu trong [2] và không chứng minh.
H-ớng nghiên cứu bài toán cân bằng Nash trên không gian có thứ tự là khá mớị Trong thời gian tới, chúng tôi sẽ cố gắng dành nhiều thời gian cho h-ớng nghiên cứu này và hi vọng sẽ thu đ-ợc nhiều kết quả khả quan hơn.
Tài liệu tham khảo
1. S. Heikkila, V. Lakshmikantham,Monotone Iterative Techniques for Disconti- nuous Nonlinear Differential Equations, Marcel Dekker, New York, 1994.
2. S. Heikkila, K. Reffett, "Fixed point theorems and their applications to theory of Nash equilibria",Nonlinear Analysis 64(2006)1415-1436.
3. S. Heikkila, "On chain methods used in fixed point theory",Nonlinear Stud. 6(2)
(1999) 171-180.
4. Charles D. Horvath, Juan Vicente Llinares Ciscar, "Maximal elements and fixed points for binary relations on topological ordered spaces",Journal
of Mathematical Economics, 25 (1996), 291-306.
5. Qun Luo, "KKM and Nash Equilibria Type Theorems in Topological Ordered Spaces",Journal of Mathematical Analysis and Applications, 264, 262-269
(2003).
6. Q. Luo, "Ky Fan's section Theorem and its Application in Topological Ordered spaces",Applied Mathematics Letters 17 (2004), 1113-1119.
7. Eberhard Zeidler,Nonlinear Functional Analysis and its Applications, vol I, Springer, Berlin 1988.
8. Jean-Pierre Aubin, Hélène Frankowska,Set-Valued Analysis, Birkhauser, Boston 1990.
9. George Xian-Zhi Yuan,KKM Theory and Applications in Nonlinear Analysis, Marcel Dekker, New York 1999.