M Ở ĐẦU
T ỔNG QUAN
2.3. Bóng của một đoạn trong poset các vectơ Boole
Dựa trên các kết quả đã đạt được, ta sẽ chứng minh điều kiện cần và đủ để bóng của một đoạn lại là một đoạn trong B n k( , ).
( 1, ) v∈B k+ k ; m∈B n( − +k 1, 1). Chứng minh. Bởi [x y; ] f [ ]x y; d[ ]x y; ∆ = ∆ ∪ ∆ với ∆d[ ]x y; ⊂ B n( −1,k −1) và ∆f [ ]x y; ⊂B n( −1,k)
nên muốn ∆[ ]x y; là đoạn trong B n( −1) thì buộc ∆d[ ]x y; phải chứa phần tử lớn nhất của B n( −1,k −1), còn ∆f [ ]x y; phải chứa phần tử bé nhất của B n( −1,k). Những đòi hỏi này, buộc đoạn [ ]x y; phải chứa các vectơ a =v bz; =mu với
( 1, 0)
z∈B n− −k ; v∈B k( +1, k); u∈B k( −1,k −1); m∈B n( − +k 1, 1). Điều này buộc x y, phải thỏa mãn
z;
x =v y=mu
Như vậy điều kiện cho x y, nói trong định lý hiển nhiên là cần.
Ta chứng minh điều kiện trên cũng là đủ để ∆[ ]x y; là đoạn trong B n( −1) . Vì
d f
max∆ bmin∆ a nên để chứng minh ∆[ ]x y; là đoạn trong B n( −1) ta chỉ việc chứng minh bóng đầy ∆f [ ]x y; và bóng khuyết ∆d[ ]x y; đều là các đoạn. Thật vậy, đối với x và y thỏa mãn yêu cầu định lý thì có các trường hợp sau đây xảy ra:
• x= g0igz<1zg = y: Theo mệnh đề 2.1.7 và 2.1.10 thì ∆f [ ]x y; là đoạn. Theo mệnh đề 2.2.1, 2.2.3 và 2.2.5 thì ∆d[ ]x y; là đoạn.
• x=g0igz<z zg1j = y : Lần lượt theo mệnh đề 2.1.6 và 2.2.6 thì ∆f [ ]x y; và [ ]; d x y ∆ đều là đoạn. • x=0gz< z zg1i = y: Theo mệnh đề 2.1.1, 2.1.3 và 2.1.5 thì ∆f [ ]x y; là đoạn. Theo mệnh đề 2.2.7 và 2.2.10 thì ∆d[ ]x y; là đoạn.
• Với trường hợp đặc biệt khi x= gz hay y= zg thì theo các mệnh đề 2.1.11 và 2.2.11 thì ∆f [ ]x y; và ∆d[ ]x y; đều là đoạn.
Vậy trong tất cả các trường hợp ta luôn có bóng đầy ∆f [ ]x y; và bóng khuyết ∆d[ ]x y; đều là các đoạn. Điều này dẫn đến việc ∆[ ]x y; là đoạn trong B n( −1).
Để kết thúc bài luận văn này, ta xét trường hợp khi x và y không cùng nằm trong
( ),
B n k . Ta có định lý sau đây:
Định lý 2.3.2 Trong poset B các vectơ Boole theo thứ tự dồn, cho x< y. Khi đó, bóng
[ ]x y;
∆ là đoạn nếu xảy ra các trường hợp sau:
( )i r x( ) ( )=r y và ω( )y −ω( )x ≥2. ( )ii r x( ) ( )<r y . Chứng minh. ( )i Giả sử ω( )x =k và ω( )y = +k m m( ≥2) . Gọi xi và yi lần lượt là các phần tử bé nhất và phần tử lớn nhất trong B n k( , +i) . Khi đó ta có [ ]x y; =[x y; 0] [∪ x y1; 1]∪ ∪... [xm−1;ym−1] [∪ xm;y] . Khi đó theo mệnh đề 2.1.11 và
là các đoạn. Do đó bóng đầy ∆f [ ]x y; và bóng khuyết ∆d[ ]x y; đều là các đoạn. Hơn nữa, vì max∆ ∈dy B n k( , + −m 1) và min∆ ∈fx B n k( ), với m≥2 nên
d f d f
min∆ <x min∆ <x max∆ <y max∆ y. Từ đó dẫn đến việc các đoạn bóng đầy và bóng khuyết không rời nhau. Vậy ∆[ ]x y; là đoạn trong trường hợp này.
( )ii Giả sử x∈B n k( ), và y∈B n( +m k′, ). Gọi xi và yi lần lượt là các phần tử bé nhất và phần tử lớn nhất trong B n( +i) . Khi đó ta có
[ ]x y; =[x y; 0] [∪ x y1; 1]∪ ∪... [xm−1;ym−1] [∪ xm;y]. Theo như kết quả từ ( )i thì rõ ràng
[x yi; i]
∆ và ∆[xm;y], ∆[x y; 0] đều là các đoạn (trường hợp nếu ω( )y −ω( )x <2 thì điều này cũng khá hiển nhiên). Do đó ∆[ ]x y; là đoạn nếu r x( ) ( )<r y .
KẾT LUẬN
Trong luận văn này, chúng tôi đã đưa ra và chứng minh các kết quả có liên quan đến cấu trúc bóng của một đoạn trong poset B – các vectơ Boole bổ sung thứ tự tuyến tính ∨, cụ thể là các kết quả sau:
Trong poset B – các vectơ Boole với thứ tự tuyến tính ∨:
1. Các điều kiện cần và đủ để bóng đầy của một đoạn lại là một đoạn. 2. Các điều kiện cần và đủ để bóng khuyết của một đoạn lại là một đoạn.
3. Kiểm tra được điều kiện cần và đủ để bóng của một đoạn lại là một đoạn theo hướng chứng minh mới, kết hợp kết quả của 2 phần trên.
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ
1. Nguyễn Hoàng Huy và Trần Huyên (2013), “Bóng khuyết của một đoạn trong poset các vecto Boole”, Tạp chí khoa học Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh (47), tr.17 -24.
TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt
1. Trần Ngọc Danh (2001), Cấu Trúc Của V Thứ Tự Và Định Lý Kiểu KRUSKAL –
KATONA, Luận án Tiến sĩ Toán học, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học
Quốc Gia, Thành Phố Hồ Chí Minh.
2. Trần Huyên (2009), “Bóng của đoạn trong K-poset các vecto Boole”, Tạp chí khoa học Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh (18), tr.3-9.
3. Trần Huyên (2013), “Bóng đầy của một đoạn trong poset các vecto Boole”, Tạp chí khoa học Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh (43), tr.58 -62.
Tiếng Anh
4. Ian Anderson (1989), Combinatorics of finite sets, Clarendon Press, Oxford.
5. Trần Ngọc Danh and Daykin, D.E. (1997), “Set of 0,1 vectors with minimal set subvectơrs”, Rostock Math,. Kollog (50), pp. 47-52.
6. Daykin, D.E (1996), “To find all suitable order of 0,1 vectors”, Congr. Numer. (113) , pp.55-60.