Tính n ội xạ trên vành Noether

M Ở ĐẦU

2.3. Tính n ội xạ trên vành Noether

Mệnh đề (*): Một Z môđun là nội xạ nếu và chỉ nếu nó chia được. Bất

kì Z môđun nào cũng đều được nhúng vào một Z môđun nội xạ.

Trong trường hợp R=Z, E(M) được biết như là “bao nội xạ chia được” của nhóm aben M. Đặt Cn là nhóm cyclic cấp n, với số nguyên tố p đặt Cp∞

hợp của các nhóm dây chuyền tăng

2 3 ...

p p p

C ⊂C ⊂C ⊂

Từ đó Cp∞ là p chia được và do đó nó chia được ( nó đẳng cấu với p thành phần nguyên sơ của  / ). Theo mệnh đề (*) Cp∞là Z- nội xạ và theo chú ý (1) của (2.1.1) Cp∞ là cốt yếu trên các Cpi(i≥1) . Do đó E C( pi)=Cp∞ với mọi i≥1.

Qua ví dụ này ta thấy được E C( pi)=Cp∞ với mọi i≥1. Như vậy ta có thể tính được bao nội xạ của tất cả các nhóm cyclic cấp i

p với i≥1 và bao nội xạ của chúng đều là Cp∞. Qua đó ta thấy được Cp∞ là một hình ảnh khá đẹp về bao nội xạ của các nhóm cyclic.

2.2.4. Ví dụ

Cũng nói về các nhóm cyclic ta sẽ tìm tìm hiểu về bao nội xạ của tổng trực tiếp của các nhóm cyclic cấp p.

Trên bất kì vành R, nếu Mj ⊆Ej với mọi j∈J thì ⊕Mj ⊆ ⊕e Ej nếu và chỉ nếu Mj ⊆e Ejvới mọi j. Chiều ngược là hiển nhiên. Chiều thuận ta chỉ kiểm tra trong trường hợp tổng trực tiếp hữu hạn.(theo chú ý 1 của 2.1.1).Đặt

{1, 2,.. }

J = n và sử dụng tính bắc cầu ta chỉ cần kiểm tra rằng :

1 2 ... n e 1 2 ... n

M ⊕E ⊕ ⊕E ⊆ E ⊕E ⊕ ⊕E khi đó M1⊆e E1

Trường hợp này được kiểm tra dễ dàng bằng cách sử dụng lại (theo chú ý 1 của 2.1.1). Bây giờ giả sử rằng tất cả các Ej là nội xạ. Nếu J < ∞ thì theo 1.6.2 ⊕j J∈ Ej cũng là nội xạ cho nên ta có : ( j) ( j)

j J j J

E M E M

∈ ∈

⊕ = ⊕ (J < ∞) Đặc biệt R= thì tất cả các Ej đều là nhóm aben chia được. ⊕j J∈ Ej

cũng chia được với mỗi tập con J. Do đó ( j) ( j)

j J j J

E M E M

∈ ∈

⊕ = ⊕ đã trở thành Z- môđun mà không cần bất cứ giả thiết nào trên J. Đặc biệt nếu ta lấy J là tập tất cả các số nguyên tố và Mp =Cp với mỗi p∈J thì điều này cho ta

2 3 5 2 3 5

( ...) ...

E C ⊕C ⊕C ⊕ =C∞ ⊕C∞ ⊕C∞ ⊕

Qua ví dụ này ta có được kết quả E C( 2⊕C3⊕C5⊕...)=C2∞ ⊕C3∞ ⊕C5∞ ⊕.... Như vậy bao nội xạ của tổng trực tiếp các nhóm cyclic cấp p chính bằng tổng trực tiếp của các bao nội xạ của chúng.

2.2.5. Ví dụ

Cho R là một đại số hữu hạn chiều trên trường k. Chúng ta có

^

( , )

k

R=Hom R k xem như R môđun phải và theo 1.6.10 là nôi xạ.Chúng ta sẽ chứng minh rằng ^

R chính là bao nội xạ của R môđun phải R/radR, tại đó rad R là radical Jacobson của R. Để thấy được điều này ta đặt S là tổng trực tiếp của tất cả các R môđun con đơn của ^

nào mà chứa một môđun con đơn chúng ta có S⊆e R . Do đó ^ ( )

E S =R. Điều này cần thiết để thấy đẳng cấu của S là R môđun phải.Ta có :

^ ^ ^ { : . 0} ( : ( ) 0} ( / ) S f R f radR S f R f radR R radR = ∈ = = ∈ = ≅

Qua ví dụ này ta thấy được với R là đại số hữu hạn trên trường k, S là tổng trựctiếp của tất cả các R môđun con đơn của ^

R với ^ ( , ) k R=Hom R k thì ^ ( ) E S =R.

Trước khi đưa thêm một số ví dụ về bao nội xạ của môđun ta hãy tìm hiểu một phương pháp khác để kiểm tra tính nội xạ của môđun.

2.2.6. Bổ đề

Cho R là vành con của vành S và B là một tập con khác rỗng của R sao cho S B. ⊆R. Giả sử IS là một S môđun phải trên chính nó thì trên B có linh hóa tử ( nghĩa là với mọi i∈B mà i B. = ⇒ =0 i 0). Nếu I là nội xạ như là một S môđun thì I cũng nội xạ như R môđun.

Chứng minh:

Ta biết rằng với mỗi ideal J ⊆R và f ∈Hom J IR( , ) có thể được mở rộng đến g∈Hom J S IS( . , ) và g có thể mở rộng đến S bởi tính nội xạ của IS. Chúng ta xây dựng g như sau :

( i i) ( )i i

g ∑a s =∑ f a s (ai∈J s, i∈S)

Để chứng minh định nghĩa trên là tốt ta giả sử ∑a si i =0. Với mọi b∈B

ta có s bi. ∈S B. ⊆R cho nên từ ∑a s bi i =0 ta có ∑ f a( )(i s bi )=0. Điều này nghĩa là ∑ f a s( )i i∈I là không đúng bởi mỗi b∈B cho nên theo giả thiết

( )i i 0

f a s =

∑ . Điều này cho thấy g là định nghĩa tốt. Từ đó dễ dàng thấy rằng g là S-đồng cấu. Điều này suy ra từ tiêu chuẩn Baer bởi tính nội xạ của IR.

2.2.7. Ví dụ

Nói về vành các ma trận ta sẽ đi tìm hiểu về bao nội xạ của môđun trên vành các ma trận. Qua ví dụ này ta sẽ biết được cách tính bao nội xạ của một ma trận cụ thể.

Cho S =M kn( ) , tại đó k là vành nửa đơn, đặt B là ideal trái của S chứa tất cả ma trận với chỉ cột thứ n có thể khác 0. Từ đó linh hóa tử trái của B trong S là 0, từ đó một ma trận khác 0 không thể có linh hóa tử trái trên mỗi cột vectơ. Và dĩ nhiên ta có S B. =B. Do đó ta có thể áp dụng (2.2.6) với I =SS

và R là vành con bất kì chứa B. Chú ý rằng S là một vành nửa đơn mà tất cả S môđun phải đặc biệt là SS đều nội xạ.Ngoài ra, ∀ ∈s S s B: . = ⇒ =0 s 0 ta có thể suy ra được rằng RR ⊆e SR (theo chú ý 1 của 2.1.1). Từ đó áp dụng (2.2.6) ta có thể kết luận rằng E R( R)=SR. Từ kết luận này ta có thể giả sử rằng vành con R chứa B. Hơn nữa R có thể không chứa k, và vành con của tất cả ma trận chéo. Sau đây là một số ví dụ cụ thể về R :

(1) R= vành con của tất cả ma trận tam giác trên n n× trên k.

(2) R= vành con của tất cả các ma trận hệ số khác 0 trên đường chéo chính và trên cột thứ n.

(3) R= vành con của vành (2) mà chứa các ma trận với đường chéo bất định. (4) (n=3) R chứa tất cả các ma trận (aij ) với a31=a32 =0 (5) (n=3) R chứa tất cả các ma trận (aij ) với a12 =a31=a32 =0 (6) (n=3) 0 0 0 R     =             với k = hoặc 0 0 0 R     =             với k=

Chúng ta hãy phân tích các ví dụ cụ thể hơn, trọng tâm của các ví dụ có thể ở (1). Do vậy xét R là vành tất cả ma trận tam giác trên n n× . Để đơn giản ta hãy giả sử k là vành chia. Trong trường hợp này ta có sự phân tích như sau:

1 ...

S n

S =E ⊕ ⊕E , RR = ⊕ ⊕P1 ... Pn

Tại đó Ei là S ideal phải chứa các ma trận với hệ số khác 0 chỉ trên dòng thứ i và Pi =Ei∩R ( trong đó Pi có đường chéo chính khôn phân tích được thành R môđun phải . Từ R⊆e S ta có Pi ⊆e Ei với mọi i theo (2.2.4). Cũng từ

R

S là nội xạ và (E Ri) là nội xạ ta có E P( )i =Ei với mọi i. Từ đó tất cả các Ei

đều đẳng cấu với nhau trên S môđun và cũng đẳng cấu trên R môđun. Do đó tất cả các Pi có cùng bao nội xạ là điều hiển nhiên.Từ đó, mỗi Pi đều đẳng cấu với mở rộng cốt yếu R môđun con của P1. ( Nghĩa là P1 =E1 là xạ ảnh và nội xạ trên mR và trên mS).

Trong ví dụ trên ta có E(RR)=S. Từ đó ta có thể áp dụng môđun trái (2.2.6) bằng cách chọn B là ideal phải của S chứa ma trận với hệ số khác 0 trên dòng đầu tiên.

Các vị trí thì khác nhau tuy nhiên với vành con trong ví dụ (2.2.7)(2) . Để tránh nhầm lẫn ta hãy đổi tên vành này thành vành T. Khi ta có E T( T)=S

theo (2.2.7) chúng ta không thể có E T( T)=Svới n≥3. Thật vậy ma trận đơn vị

12

E ∈S chúng ta có thể dễ dàng thấy rằng T E. 12∩ =T (0) cho nên S ⊇TT không là mở rộng cốt yếu.

2.2.8. Ví dụ (Osofsky)

Trong (2.2.2) ta thấy rằng với miền giao hoán R, E R( R) là trường các thương của R. Trong (2.2.7) chúng ta đã xem xét cấu trúc của các ví dụ về vành R mà ứng với mỗi ER có từ M kn( ). Đặt biệt E R( R) có cấu trúc vành tương thích với cấu trúc của R môđun trên E R( R). Tuy nhiên ví dụ của Osofsky cho thấy rằng ER không có cấu trúc của vành.

Cho A là vành Z / 4Z, µ =2A và cho R là « vành tam giác »

0 A A µ       của 32 phần tử . Chúng ta biết rằng các môđun nội xạ ER ⊇R không thể có cấu

trúc vành giao hoán với cấu trúc R môđun phải trên E.(Đặt biệt R≠E R( R). Ngoài ra, ta đặt ideal 0 0

0

I

µ   =  

 . Xem I là ideal phải của R ta có thể tìm thấy một bản sao của E I( )⊇I bên ngoài E. Do đó tồn tại x∈E I( ) thỏa phương trình 0 2 0 0 . 0 0 0 2 x    =        

Từ đó E(I) chia được, và ta dễ dàng kiểm tra được rằng đơn vị phải của

0 2

0 0

   

  thì được chứa trong 0 0

0 2

     .

Tương tự ta có thể kiểm tra rằng tồn tại y∈E sao cho

0 2 .2 0 0 y   =     Chúng ta cần thấy rằng . 2 0 0 0 0 x  =     . Nếu giả sử . 2 0 0 0 0 x  ≠     thì từ ( ) e I ⊆ E I , . 2 0 0 0 0 x R I ∩ ≠     nhưng 2 0 2 0 2 . : , , 0 0 0 0 0 2 0 : 0 0 2 0 0, 0 0 a b x R x a b c A c a x a A x        = ∈                  =   ∈         =        Từ đó ta có . 2 0 0 0 0 0 0 2 x    =    

   ( chỉ khác không ở I). Thực hiện phép nhân bên phải bởi 1 0

0 0       dẫn đến . 2 0 0 0 0 x  =  

  và ngược lại. Nếu E có cấu trúc vành giao hoán với cấu trúc R môđun phải, nó sẽ dẫn đến kết quả sau :

2 0 1 0 1 0 0 2 0 2 0 0 0 . 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 x y x  y x   x    =   =   =   =   =            

Đến đây ta gặp mâu thuẩn

Trong ví dụ trên vành R không là vành nửa đơn Jacobson. Thật vậy rad(R) được cho bởi

0

µ µ µ    

 . Và ví dụ Osofsky cũng có cấu trúc là vành nửa đơn Jacobson.

Như vậy, ví dụ trên cho ta thấy mọi vành đều tự xạ ảnh nhưng không phải vành nào cũng tự nội xạ.

Tiếp theo ta sẽ đi nghiên cứu về bao nội xạ của môđun trên một lớp vành đặc biệt. Đó là lớp vành Noether. Vậy bao nội xạ trên lớp vành này có hình ảnh như thế nào chúng ta sẽ đi tìm hiểu về chúng.

2.3. Tính nội xạ trên vành Noether

2.3.1. Định lý Bass Papp

Cho vành R bất kì, khi đó các điều sau tương đương :

(1) : Bất kì giới hạn trực tiếp của R môđun phải nội xạ là nội xạ. (2) : Bất kì tổng trực tiếp của R môđun phải nội xạ là nội xạ

(3) : Bất kì tổng trực tiếp đếm được của R môđun phải nội xạ là nội xạ (4) : R là vành Noether phải

Chứng minh:

Chúng ta sẽ chứng minh theo sơ đồ sau (1)⇒(2)⇒(3)⇒(4)⇒(1)

(1)⇒(2) Do tổng trực tiếp của R môđun phải có thể được hiểu là giới hạn trực tiếp của thành phần hữu hạn của nó.

(2)⇒(3)là hiễn nhiên

(3)⇒(4)Xét chuỗi các ideal phải tăng dần J1⊆J2 ⊆... , đặt J là hợp của tất cả chúng và đặt E= ⊕i≥1E R J( / i) . Ta định nghĩa ánh xạ f J: →E bởi a∈J

thành (a+Ji i)≥1 tại đó a+Ji được xem như một phần tử trongR J/ i ⊆E R J( / i)Từ a∈Ji , f a( ) là tổng trực tiếp thực sự trong E. Theo giả thiết ER là nội xạ cho nên R- đồng cấu f có thể được viết thành

( )

Tại đó e=( )ei i≥1 là phần tử thích hợp trong E. Với i đủ lớn ta có ei=0 , vì thế ta có a∈J, 0= f a( )i = +a Ji . Điều này nghĩa là J=Ji với i đủ lớn cho nên ta có thể chứng minh rằng ideal phải của R thỏa điều kiện dây chuyền tăng.

(4)⇒(1) Cho I là giới hạn trực tiếp limIα

→ tại đó Iα∈MR là nội xạ và α sắp thứ tự trên một tập có hướng. Để áp dụng tiêu chuẩn Baer với IR, xét f bất