L ỜI MỞ ĐẦU
2.2. Module chia được trên vành giao hoán
Trong phần này, nếu không chú thích thêm thì R là một vành giao hoán có đơn vị. Ngoài ra, khi R là một vành giao hoán có đơn vị thì một R−module trái có thể được xem như một R−module phải nên ta chỉ cần xét các R−module.
2.2.1. Module chia được
Như chúng ta đã biết thì miền nguyên là một vành không có ước của 0 nên trong định nghĩa về module chia được trên miền nguyên thì ta chỉ cần điều kiện là các phần tử trên vành hệ tử khác 0. Bây giờ khi vành hệ tử R chỉ là một vành giao hoán thì tích của hai phần tử khác 0 có thể bằng 0. Do đó, với định nghĩa về module chia được như trên miền nguyên thì lập tức nãy sinh mâu thuẫn như sau:
“Nếu x=λy và y=λ'z thì x=λλ'z với x y z, , ∈M và λ λ, '∈R\ 0{ }. Lúc này, nếu ta xét x≠0 và . 'λ λ =0 thì lập tức vô lý”.
Do đó, để tránh xuất hiện mâu thuẫn như trên, trong định nghĩa “module chia được trên vành giao hoán” ta sẽ loại đi tất cả những phần tử là ước của 0 như sau.
2.2.1a.1. Định nghĩa: M là module chia được nếu với mọi x∈M và mọi λ∈R,λ
không là ước của 0 thì x∈λM .
Định nghĩa trên hiển nhiên trùng với định nghĩa thông thường khi xét trên miền nguyên và nó khá tương tự với định nghĩa về module chia được trên miền nguyên nên hầu hết các kết quả trên miền nguyên vẫn còn đúng khi ta xét với định nghĩa 2.2.1a.1. Cụ thể như sau:
2.2.1a.2. Mệnh đề: Module thương của module chia được là module chia được.
2.2.1a.3. Mệnh đề: Tích trực tiếp và tổng trực tiếp của họ module chia được là module chia được.
25
2.2.1a.4. Mệnh đề: Module con thuần khiết của module chia được là module chia được.
2.2.1a.5. Mệnh đề: 1
S R− là một R−module chia được.
(trong đó, S =R A\ với A là tập tất cả các ước của 0)
2.2.1a.6. Mệnh đề: M là module chia được nếu và chỉ nếu λ*:M →M là một toàn cấu với mọi λ∈R,λ không là ước của 0.
2.2.1a.7. Mệnh đề: Mọi module đều có module con chia được lớn nhất.
Những mệnh đề trên đều được chứng minh hoàn toàn tương tự như trên miền nguyên. Chẳng hạn ta sẽ chứng minh mệnh đề 2.2.1a.7 như sau:
Chứng minh:
Lấy M là một module tùy ý. Khi đó, xét họ { }Mi i I∈ là họ tất cả các module con chia được của M (họ này khác rỗng vì có chứa module 0).
Đặt Md = M ii | ∈I . Với mọi x∈Md và mọi λ∈R ,λ không là ước của 0 thì
i hh
x=∑x (với xi∈Mi). Do Mi là các module chia được nên có yi∈Mi sao cho
i i
x =λy . Như vậy i hh
x=λ∑y nên Md là module chia được.
Do vậy, một số kết quả liên quan tới module tối giản trên miền nguyên khi xét trên vành giao hoán cũng hoàn toàn tương tự nhau.
Dựa vào định nghĩa 2.2.1a.1 ta có một kết quả tương tự với định lý 2.1.1.12 như sau.
2.2.1a.8. Định lý: M là một module chia được nếu và chỉ nếu Ext(R ,M) 0
R
λ = với
mọi λ∈R,λ không là ước thực sự của 0.
26
Cho M là module chia được. Khi đó, với mọi λ∈R,λ không là ước thực sự của 0. Ta cần chứng minh Ext(R ,M) 0 R λ = . Nếu λ =0 thì hiển nhiên ta có (R , ) ( , ) 0 Ext M Ext R M R
λ = = nên ta chỉ cần xét λ∈R thỏa Ann( )λ =0 . Lấy
0→M χ→ W σ→RλR→0 là dãy khớp tùy ý. Ta khẳng định dãy khớp ngắn trên là chẻ ra. Thật vậy, vì σ là một toàn cấu nên tồn tại w W∈ sao cho σ( )w =1. Giả sử λw≠0 . Vì σ λ( )w =0 nên λw Ker∈ σ =Imχ suy ra tồn tại x∈M thỏa
( )
w x
λ =χ . Mà M là module chia được và λ không là ước của 0 nên theo định nghĩa 2.2.1a.1, tồn tại y∈M thỏa x=λy.
Do đó, λw=χ λ( )y =λχ( )y nên λ(w−χ( )y )=0 . Đặt w0 = −w χ( )y thì ta có
( )w0 1
σ = và λw0 =0. Như vậy, luôn tồn tại w0∈W thỏa σ( )w0 =1 và λw0 =0. Xét
0 K = w thì hiển nhiên ta có ngay K R R λ ≅ và W = ⊕K Imχ nên dãy khớp ngắn trên là chẻ ra. Vậy Ext(R ,M) 0 R
λ = với mọi λ∈R,λ không là ước thực sự của 0.
Ngược lại, nếu Ext(R ,M) 0
R
λ = với mọi λ∈R,λ không là ước thực sự của 0. Ta
cần chứng minh M là một module chia được. Thật vậy,
Với mọi x∈M và mọi λ∈R,λ không là ước của 0. Ta xét dãy các đồng cấu sau
( ) 0 0 , M R R M R x χ σ λ λ ⊕ → → − → → (*) Trong đó, : ( ) , M R M x χ λ ⊕ → − định bởi χ( ) ( )y = y,0 ,∀ ∈y M . Và ( ) : , M R R R x σ λ λ ⊕ →
27
Với cách xác định như trên, ta dễ dàng chứng minh χ là một đơn cấu và σ là một toàn cấu. Ta sẽ chứng minh Imχ =Kerσ . Thật vậy,
Lấy y∈M tùy ý ta có σ χ( ( )y )=σ( )( )y,0 =0 nên Imχ ⊂Kerσ . Ngoài ra, với mọi ( )y r, ∈Kerσ ta có σ( )( )y r, =0 nên r=λr' (với r'∈R ). Do đó, ta có
( ) (y r, = y,λr') (= y+λr',0) nên ( )y r, ∈Imχ.
Vậy Imχ =Kerσ nên dãy (*) là khớp. Suy ra dãy (*) chẻ ra nên tồn tại đồng cấu
( ) : , M R M x ψ ⊕ λ → − sao cho ψχ =1M. Do đó, x=ψ χ( ( )x )=ψ ( )( )x,0 =ψ ( )( )0,λ =λψ ( )( )0,1 suy ra x∈λM . Nên ta có M là một module chia được.
Từ định lý 2.2.1a.8, ta có ngay hai hệ quả sau.
2.2.1a.9. Hệ quả: Mọi module nội xạ đều là module chia được.
2.2.1a.10. Hệ quả: Các khẳng định sau là tương đương: i. M là module chia được.
ii. λ* là toàn cấu với mỗi λ∈R,λ không là ước của 0. iii. Ext(R ,M) 0, R
R λ
λ = ∀ ∈ ,λ không là ước thực sự của 0.
Ở định nghĩa 2.2.1a.1, ta không xét phép chia cho tất cả những phần tử là ước của 0 trên vành giao hoán R. Tuy nhiên, vẫn có thể tồn tại phép chia đối với một số ước của 0. Cụ thể ta xét ví dụ sau:
28
Xét 4 là một 4 −module . Khi đó, 4 là một module chia được. Thật vậy, tập các ước của 0 là A={ }0;2 và 4 =1.4 =3.4 nên ta có điều cần chứng minh. Nhưng tồn tại 0≠ ∈2 4 thỏa 2∈24.
Như vậy, định nghĩa 2.2.1a.1 vẫn chưa “quét hết” tất cả các phần tử có thể chia được trên vành giao hoán. Do đó ta sẽ đưa ra một định nghĩa cho “module chia được trên vành giao hoán” tốt hơn định nghĩa 2.2.1a.1.
Những phần tử λ ≠0 khi xét trên miền nguyên và λ không là ước của 0 khi xét trên vành giao hoán, đều thỏa mãn Ann( )λ =0 . Bên cạnh đó, nếu x=λy thì
( ) ( ) 0
Ann λ x= Ann λ λy= (với x y, ∈M và λ∈R). Rõ ràng điều kiện Ann( )λ x=0
tổng quát hơn điều kiện Ann( )λ =0.
Vậy ta đưa ra định nghĩa về module chia được trên vành giao hoán như sau.
2.2.1b.1. Định nghĩa: Cho M là một R−module. Khi đó, M được gọi là R−module chia được nếu ∀ ∈x M,∀ ∈λ R mà Ann( )λ x=0 thì x∈λM .
Hiển nhiên định nghĩa 2.2.1b.1 đã “quét hết” các phần tử có thể chia được trên vành hệ tử R. Ngoài ra, ta còn có một số nhận xét để khẳng định định nghĩa 2.2.1b.1 là định nghĩa tốt như sau.
2.2.1b.2. Một số nhận xét:
i. Với mọi x∈M \ 0{ }ta đều không xét phép chia cho 0. Đồng thời nếu tồn tại
{ } \ 0
x∈M mà x=λy(với λ∈R và y∈M ) thì kết quả ykhông thể chia tiếp cho λ'∈Ann( )λ (tùy ý).
ii. Khi R là một miền nguyên thì định nghĩa 2.2.1b.1 trùng với định nghĩa về module chia được trên miền nguyên.
iii. Nếu M là một module chia được thì đồng cấu λ*:M →M là một toàn cấu, với mọi λ∈R, λ không là ước của 0.
29
Chứng minh i: Nếu λ =0 thì Ann( )λ =R nên từ Ann( )λ x=0 ta có ngay x=0. Đồng thời, Với mọi λ'∈Ann( )λ ta có 'λ λ =0 suy ra λ∈Ann( )λ' mà λy= ≠x 0. Do đó, Ann( )λ' y ≠0 nên y∉λ'M .
Chứng minh iii: Lấy λ ∈R và λ không là ước của 0 , tức là Ann( )λ =0 nên với mọi
x∈M do Ann( )λ x=0x=0 suy ra, theo định nghĩa 2.2.1b.1, ta có x∈λM . Do đó,
*
λ là một toàn cấu.
Chứng minh ii: Xét R là một miền nguyên.
Nếu M là một R−module thỏa định nghĩa 2.2.1b.1 thì theo nhận xét ii, ta có M là một module chia được.
Ngược lại, Với mọi x∈M và mọi λ∈R thỏa Ann( )λ x=0 thì ta có nếu λ =0 thì
( )
Ann λ =R suy ra x=0 nên x∈λM . Còn nếu λ ≠0 thì tồn tại y∈M sao cho
x=λy hay x∈λM .
Theo nhận xét 2.2.1b.2 thì định nghĩa 2.2.1b.1 thực sự là một mở rộng của định nghĩa về module chia được trên miền nguyên. Đồng thời, nếu M là module chia được theo định nghĩa 2.2.1b.1 thì M cũng là module chia được theo định nghĩa 2.2.1a.1. Ngoài ra, ví dụ sau đây chứng tỏ rằng định nghĩa thứ hai thực sự rộng hơn định nghĩa thứ nhất.
“Ta có 4 là một 4-module chia được theo cả hai định nghĩa. Suy ra 4 4
2
là
một module chia được theo định nghĩa thứ nhất. Tuy nhiên, 4 4
2
không là module
chia được theo định nghĩa thứ hai. ( Vì Ann( )2 1=0 và 4 4
1 2 2 ∉
)
Do vậy, trong tất cả các mục phía dưới ta chỉ xét module chia được ứng với định nghĩa 2.2.1b.1.
30
2.2.1b.3. Mệnh đề: Tổng trực tiếp và tích trực tiếp của họ module chia được là module chia đươc.
Chứng minh:
Giả sử { }Ai i I∈ là một họ các module chia được. Đặt i i I A A ∈ =⊕ và i i I B A ∈ =∏ . Ta sẽ chứng minh A và B là hai module chia được. Thật vậy:
Lấy x=( )ai ∈A và với mọi λ∈R thỏa Ann( )λ x=0. Khi đó, Ann( )λ ai =0 với mọi
i. Do với mỗi i ta có module Ai chia được nên ai ∈λAi. Như vậy ta có ngay x∈λA
nên A là module chia được. Tương tự, ta có B là module chia được.
Nói chung những kết quả trên miền nguyên sẽ không còn đúng khi ta chỉ xét R là một vành giao hoán (ta sẽ chứng minh ở các mục bên dưới) nên ta sẽ đưa ra điều kiện tương đương cho định nghĩa 2.2.1b.1 mà thuận lợi hơn cho việc triển khai các kết quả trên vành giao hoán. Trong hệ quả 2.1.1.13 đã cho chúng ta một số điều kiện tương đương của định nghĩa về module chia được trên miền nguyên. Định lý dưới đây sẽ cho ta một điều kiện tương đương với định nghĩa 2.2.1b.1 như sau.
2.2.1b.4. Định lý: M là một R− module chia được nếu và chỉ nếu
(R , ) 0
Ext M R
λ = với mọi λ∈R.
Chứng minh:
Chứng minh: Nếu M là module chia được thì Ext(R ,M) 0, R
R λ
λ = ∀ ∈ .
Với mọi λ∈R, ta lấy E: 0 M W R 0
R χ σ λ → → → → là phần tử thuộc nhóm (R , ) Ext M R
λ tùy ý. Ta sẽ chứng minh [ ]E =0 tức dãy khớp ngắn trên là chẻ.
Vì σ là toàn cấu nên tồn tại w W∈ sao cho σ ( )w =1. Giả sử λw≠0, vì σ λ( )w =0
31
( ) 0
Ann λ y = . Thật vậy, giả sử trái lại Ann( )λ y≠0 thì tồn tại λ'∈Ann( )λ và
'y 0
λ ≠ nên χ λ( 'y)≠0 mà λw=χ( )y suy ra 'λ λw≠0 ( vô lý, vì λ'∈Ann( )λ ). Do đó, Ann( )λ y =0 mà M là module chia được nên tồn tại z∈M sao cho y=λz. Suy ra λw=χ λ( )z =λχ( )z hay λ(w−χ( )z )=0.
Đặt w0 = −w χ( )z . Ta có ngay σ( )w0 =1 và λw0 =0. Như vậy, luôn tồn tại w0∈W
thỏa mãn σ( )w0 =1 và λw0 =0. Đặt K = w0 . Khi đó, hiển nhiên ta có ngay
R K
R
λ
≅ và W = ⊕K Imχ. Vậy [ ]E =0 nên Ext(R ,M) 0
R
λ = với mọi λ∈R.
Chứng minh: Nếu Ext(R ,M) 0
R
λ = thì M là module chia được.
Với mọi x∈M và mọi λ∈R thỏa Ann( )λ x=0. Ta xét dãy các đồng cấu sau
( ) 0 0(1) , M R R M R x χ σ λ λ ⊕ → → → → − Trong đó, : ( ) , M R M x χ → ⊕ λ − định bởi χ( ) ( )y = y,0 ,∀ ∈y M . Và ( ) : , M R R R x σ ⊕ λ → λ
− định bởi σ( )( )y r, =r với y∈M r, ∈R tùy ý.
Với cách xác định như trên, ta dễ dàng chứng minh được χ là một đơn cấu và σ là một toàn cấu. Ta sẽ chứng minh Imχ =Kerσ . Thật vậy, với mọi y∈M ta có
( )
( y ) (( )y,0 ) 0
32
Mặt khác, với mọi ( )y r, ∈Kerσ ta có σ( )( )y r, =0 nên r=λr' (với r'∈R). Do đó,
( ) (y r, = y,λr') (= y+λr',0) nên ( )y r, ∈Imχ.
Như vậy, Imχ =Kerσ nên dãy (1) là dãy khớp ngắn suy ra (1) là dãy chẻ ra ( vì
(R , ) 0 Ext M R λ = ) do đó có đồng cấu : ( ) , M R M x ψ λ ⊕ → − sao cho ψχ =1M.
Vậy x=ψ χ( ( )x )=ψ( )( )x,0 =ψ ( )( )0,λ =λψ ( )( )0,1 hay x∈λM nên M là một module chia được.
Như vậy, với định nghĩa 2.2.1b.1, ta cũng có kết quả sau.
2.2.1b.5. Hệ quả: Mọi module nội xạ đều là module chia được.
Định lý 2.2.1b.4 có thể xem như là định nghĩa thứ 2 về module chia được trên vành giao hoán. Như vậy ta sẽ xem xét các kết quả liên quan tới module chia được cùng với các dãy khớp. Cụ thể, ta sẽ liên hệ các module chia được với dãy khớp thuần khiết.