Trong phần này ta xét các vành Noether.
Định nghĩa 2.6.1. Một vành A được gọi là có sự phân tích bất khả quy nếu đầy đủ
A của nó là một miền. Khi đóA cũng là một miền. Vành A có sự phân tích bất khả quy với iđêan nguyên tố P nếu vành địa phương AP có sự phân tích bất khả quy. Từ Mệnh đề 2.2.3 ta có Mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.6.2. Giả sử A là một vành, I là iđêan của A và A là I −đầy đủ của A.
Giả sử thêm A có sự phân tích bất khả quy với iđêan tối đại chứa I. Khi đó A là
miền có tính chất địa phương.
Bổ đề 2.6.3. Cho A là một vành. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i) A là một miền có tính chất địa phương;
(ii) Tồn tại miền A1,...,An thỏa A≅A1×…×An.
Chứng minh
Giả sử P1,...,Pn là các iđêan tối tiểu của A. Đặt Ai = A P/ i (i =1,..., ),n
φ:A→∏Ai =B là đồng cấu chính tắc, ta sẽ chỉ ra φ là song ánh. Để chỉ ra điều này ta sẽ chứng minh bất kì iđêan tối đại I nào của A đều cảm sinh đồng cấu
:
i AI B A AI
ϕ → ⊗ là song ánh . Thật vậy, vì AI là một miền nên tồn tại duy nhất i sao cho P Ai. I =(0) và P Aj. I = AI với mọi i≠ j. Điều này chứng tỏ B⊗A AI≅AI. Do đó,
i
ϕ là đẳng cấu và ta có (i)⇒(ii). Chiều ngược lại là hiển nhiên. ∎
Cho A là một vành (không nhất thiết Noether). Khi đó tập tất cả các iđêan nguyên tố của A là một không gian tôpô được gọi là phổ của A. Kí hiệu là specA
Bổ đề 2.6.4. Cho A là một vành (không nhất thiết Noether). Khi đó specA được gọi là liên thông nếu và chỉ nếu A không chứa các đơn vị khác 0 và khác 1.
Chứng minh. Xem [4, Hệ quả 2].
Hệ quả 2.6.5. Cho A là một vành. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i) A là một miền;
(ii) A là một miền có tính chất địa phương không chứa phần tử đơn vị khác 0 và khác 1;
(iii) A là một miền có tính chất địa phương và specA là liên thông.
Chứng minh
Từ (i) ⇒ (ii) là hiển nhiên. Từ Mệnh đề 2.6.3 ta có chiều ngược lại (ii) ⇒ (i). Theo Bổ đề 2.6.4 ta có (ii)⇔(iii). ∎
Bổ đề 2.6.6. Cho A là một I −vành đầy đủ, a là một phần tử của A thỏa a∈A I/
là đơn vị. Khi đó tồn tại duy nhất đơn vị e∈A sao cho e=a.
Chứng minh
Ta sẽ chứng minh tồn tại duy nhất x∈I thỏa e= +a xlà đơn vị . Dễ dàng kiểm tra
được x là một nghiệm của phương trình ( ) 0f X = với
2 2
( ) (2 1) .
f X = X + a− X + −a a
Vì a2− ∈a I , môđun I giảm nên ( )f X = X X( +2a−1) . Ta có
2 2
(2a−1) =4a −4a+ =1 1 nên (2a−1) là đơn vị , do đó các đa thức X và X +2a−1
của vành ( / )[X]A I là nguyên tố cùng nhau. Khi đó theo Bổ đề Hensel tồn tại duy nhất cặp đa thức g X( ), h X( ) thỏa:
( ) ( ) ( ) , ( ) , ( ) 2 1
f X =g X h X g X = X h X = X + a−
Ta có ( )g X = X −x với x∈I là nghiệm duy nhất thuộc I của phương trình ( ) 0
f X = . ∎
Hệ quả 2.6.7. Cho A là một I −vành và A là đầy đủ của nó. Khi đó spec A liên thông nếu và chỉ nếu spec A I( / ) liên thông.
Chứng minh
Do A I/ ≅ A I/ (Mệnh đề 1.2.6) nên spec A I( / ) liên thông nếu và chỉ nếu
( / )
spec A I liên thông. Mặt khác A là I −đầy đủ nên theo Bổ đề 2.6.6 tồn tại duy nhất
đơn vị e∈A. Do đó theo Bổ đề 2.6.4 ta có kết quả cần tìm. ∎
Mệnh đề 2.6.8. Cho A là một I −vành và A là đầy đủ của nó. Khi đó các điều kiện
sau là tương đương: (i) A là một miền;
(ii) A là một miền có tính chất địa phương và /A I không chứa các đơn vị khác
0,1;
(iii) A là một miền có tính chất địa phương và spec A I( / ) là liên thông;
(iv) A là một miền có tính chất địa phương và spec A là liên thông.
Chứng minh
Theo Bổ đề 2.6.6 và Hệ quả 2.6.5 ta có (i)⇔(ii), từ Bổ đề 2.6.4 ta có (ii) ⇔
(iii). Cuối cùng (iii) ⇔ (iv) do Hệ quả 2.6.7. ∎
Hệ quả 2.6.9. Cho A là một I −vành và A là đầy đủ của nó. Giả sử thêm A có sự
phân tích bất khả quy với iđêan tối đại chứa I. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
(i) A là một miền;
(ii) A I/ không chứa đơn vị khác 0 và khác 1; (iii) spec A I( / ) liên thông;
(iv) spec A liên thông.
Chứng minh
Theo Mệnh đề 2.6.2 ta có A là một miền có tính chất địa phương. Khi đó theo
các điều kiện tương đương của Mệnh đề 2.6.8 ta được các kết quả cần tìm. ∎
Bổ đề 2.6.10. Giả sử A là vành Zariski và A là đầy đủ của nó. Khi đó nếu A là một
Chứng minh
Do A là vành Zariski nên theo Định lí Krull A là Hausdorff vì thế đồng cấu chính tắc φ: A→ A là đơn ánh nên ta có kết quả cần chứng minh . ∎
Hệ quả 2.6.11. Giả sử A là một vành, I là iđêan của A và A là đầy đủ của A. Khi
đó các điều kiện sau là tương đương: (i) A là miền chính quy;
(ii) AN là chính quy với mọi iđêan tối đại N chứa I và spec A I( / ) liên thông. Hơn nữa , nếu ( / )A I là vành Zariski thì các điều kiện trên tương đương với:
(iii) spec A I( / ) liên thông và A là miền chính quy.
Chứng minh
Theo Định lí 2.4.3, A chính quy nếu và chỉ nếu A chính quy với mọi iđêan tối
đại N chứa I. Vì một vành địa phương chính quy là một miền nên theo Mệnh đề 2.6.8 A là miền chính quy,
N
A chính quy với mọi iđêan tối đại N chứa I và ( / )
spec A I là các mệnh đề tương đương do đó ta có (i) ⇔ (ii). Nếu ( , )A I là vành Zariski , từ Mệnh đề 2.6.7 spec A I( / ) liên thông nếu và chỉ nếu spec A liên thông, kết hợp (i) ta có được A là miền chính quy. Ngược lại, A là miền chính quy thì ANcũng chính quy với mọi iđêan tối đạiN chứa I do đó ta có (ii)⇒(i). ∎