Nén thì ∆ cũng nén.

Một phần của tài liệu Một số vấn đề về k poset các tập con của tập đa bội (Trang 33 - 36)

Chứng minh định lý 2.2.1.

Giả sử A nén.

Lấy y=(y y1, 2,K ,yn)∈ ∆A. Với mọi x< y, x = −k 1, ta chứng minh

( 1, 2, , n)

x= x x K x ∈ ∆A.

Ta có, y=(y y1, 2,K ,yn)∈ ∆A kéo theo tồn tại jn sao cho

( 1 )

' , , j 1,..., n

y = y K y + yA. Gọi ilà chỉ số đầu tiên mà xi < yi.

( ) ( )

1 x1, ,xj 1,...,xn y1, ,yj 1,...,yn y'

α = K + < K + = ∈A

nhưng A nén nên α1∈A kéo theo x∈ ∆A. Bây giờ, ta xét j >i.

Nếu tồn tại r>i sao cho xr <kr thì

( ) ( )

2 x1, , ,...,xi xr 1,...,xj,...,xn y1, ,yi,...,yr,...,yj 1,...,yn y'

α = K + < K + = ∈A

kéo theo α2∈A kéo theo x∈ ∆A. Nếu xi < yi−1 thì

( )

3 x1, ,xi 1,...,xj,...,xn

α = K + <(y1,K ,yi,...,yj +1,...,yn)= y' kéo theo α3∈A kéo theo x∈ ∆A.

Cuối cùng, nếu xi = yi −1 và xr =kr với mọi r>i thì

( 1,..., i 1, i 1, i 1, , n)

x= y yyk+ K k . Ta có x = y = −k 1, kéo theo

( 1,..., i 1, ,i i 1, , t 1,..., n)

y= y yy k+ K kk

với duy nhất t >i nào đó tức là tại tọa độ t, yt = − <kt 1 kt. Mặt khác,

( 1 )

' , , i, , j 1,..., n

y = y K y K y + y

hay yj + ≤1 kj hay yjkj − <1 kj.

Do tính duy nhất của t nên j =t kéo theo yj =kj −1 kéo theo

( 1 1 )

' , , i, i , , j,..., n

y = y K y k+ K k kA

kéo theo x∈ ∆A.

Ta đến với điều kiện thứ hai.

Định lý 2.2.2 (Clements và Lindstrom 1969) Cho k1≤k2 ≤ ≤... kn, A là bộ phận trong mức hạng kcủa M =S k k( 1, ,2...,kn). Khi đó,

(C ) C( )∆ A ⊂ ∆A (2.1) ∆ A ⊂ ∆A (2.1)  Để ý rằng, nếu (2.1) đúng thì (C ) C( ) ∆ A ≤ ∆A = ∆A

Theo định lý 2.2.1, ∆(CA) nén. Nhưng C( )∆A cũng nén nên

C C

A ⊂ ∆A khi và chỉ khi ∆CA ≤ ∆C A = ∆A

Điều này có nghĩa, chỉ cần chứng minh

C

A ≤ ∆A

thay vì phải chứng minh ∆CA⊂ ∆C A

Định lý 2.2.2được chứng minh bằng quy nạp nhưng lại cần nhiều kết quả khác. Kết quả đầu tiên ứng với n=2.

Định lý 2.2.3. Khi n=2, biểu thức (2.1) trong định lý 2.2.2 đúng tức là nếu 1 2, kk A là bộ phận trong mức hạng kcủa S k k( 1, 2) thì (C ) C( ) ∆ A ⊂ ∆A . Chứng minh định lý 2.2.3. Giả sử A không nén. Xét trường hợp k<k1.

Xét các bộ phận B trong mức hạng kcủa S k k( 1, 2) mà B chứa các phần tử liên tiếp nhau tức là

( ) ( ) ( )

{ l k, l , l 1,k l 1 ,..., h k, h }, l h k

= − + − − − ≤ ≤

Một phần của tài liệu Một số vấn đề về k poset các tập con của tập đa bội (Trang 33 - 36)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(50 trang)