Chứng minh định lý 2.2.1.
Giả sử A nén.
Lấy y=(y y1, 2,K ,yn)∈ ∆A. Với mọi x< y, x = −k 1, ta chứng minh
( 1, 2, , n)
x= x x K x ∈ ∆A.
Ta có, y=(y y1, 2,K ,yn)∈ ∆A kéo theo tồn tại j ≤n sao cho
( 1 )
' , , j 1,..., n
y = y K y + y ∈A. Gọi ilà chỉ số đầu tiên mà xi < yi.
( ) ( )
1 x1, ,xj 1,...,xn y1, ,yj 1,...,yn y'
α = K + < K + = ∈A
nhưng A nén nên α1∈A kéo theo x∈ ∆A. Bây giờ, ta xét j >i.
Nếu tồn tại r>i sao cho xr <kr thì
( ) ( )
2 x1, , ,...,xi xr 1,...,xj,...,xn y1, ,yi,...,yr,...,yj 1,...,yn y'
α = K + < K + = ∈A
kéo theo α2∈A kéo theo x∈ ∆A. Nếu xi < yi−1 thì
( )
3 x1, ,xi 1,...,xj,...,xn
α = K + <(y1,K ,yi,...,yj +1,...,yn)= y' kéo theo α3∈A kéo theo x∈ ∆A.
Cuối cùng, nếu xi = yi −1 và xr =kr với mọi r>i thì
( 1,..., i 1, i 1, i 1, , n)
x= y y− y − k+ K k . Ta có x = y = −k 1, kéo theo
( 1,..., i 1, ,i i 1, , t 1,..., n)
y= y y− y k+ K k − k
với duy nhất t >i nào đó tức là tại tọa độ t, yt = − <kt 1 kt. Mặt khác,
( 1 )
' , , i, , j 1,..., n
y = y K y K y + y
hay yj + ≤1 kj hay yj ≤kj − <1 kj. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Do tính duy nhất của t nên j =t kéo theo yj =kj −1 kéo theo
( 1 1 )
' , , i, i , , j,..., n
y = y K y k+ K k k ∈A
kéo theo x∈ ∆A.
Ta đến với điều kiện thứ hai.
Định lý 2.2.2 (Clements và Lindstrom 1969) Cho k1≤k2 ≤ ≤... kn, A là bộ phận trong mức hạng kcủa M =S k k( 1, ,2...,kn). Khi đó,
(C ) C( )∆ A ⊂ ∆A (2.1) ∆ A ⊂ ∆A (2.1) Để ý rằng, nếu (2.1) đúng thì (C ) C( ) ∆ A ≤ ∆A = ∆A
Theo định lý 2.2.1, ∆(CA) nén. Nhưng C( )∆A cũng nén nên
C C
∆ A ⊂ ∆A khi và chỉ khi ∆CA ≤ ∆C A = ∆A
Điều này có nghĩa, chỉ cần chứng minh
C
∆ A ≤ ∆A
thay vì phải chứng minh ∆CA⊂ ∆C A
Định lý 2.2.2được chứng minh bằng quy nạp nhưng lại cần nhiều kết quả khác. Kết quả đầu tiên ứng với n=2.
Định lý 2.2.3. Khi n=2, biểu thức (2.1) trong định lý 2.2.2 đúng tức là nếu 1 2, k ≤k A là bộ phận trong mức hạng kcủa S k k( 1, 2) thì (C ) C( ) ∆ A ⊂ ∆A . Chứng minh định lý 2.2.3. Giả sử A không nén. Xét trường hợp k<k1.
Xét các bộ phận B trong mức hạng kcủa S k k( 1, 2) mà B chứa các phần tử liên tiếp nhau tức là
( ) ( ) ( )
{ l k, l , l 1,k l 1 ,..., h k, h }, l h k
= − + − − − ≤ ≤