Ta ký hiệu S là tập con của khơng gian IRm , T là tập hợp con của khơng gian IR n, {xq} là một dãy các điểm của S, {yq} là một dãy các điểm của T.
1.1 Nếu với mỗi điểm x ∈ S xác định được một điểm duy nhất y ∈ T ta gọi đĩ là hàm f từ S vào T, x là biến, y là ảnh của x qua hàm f. Ta cĩ thể viết y gọi đĩ là hàm f từ S vào T, x là biến, y là ảnh của x qua hàm f. Ta cĩ thể viết y = f(x) hay x → f(x).
1.2 Cho hàm f là hàm từ S vào T, x0∈ S. Hàm f là liên tục tại x0 nếu
{xq}→ x0 , y0 = f(x0) , yq = f(xq) thì {yq}→ y0.
Hàm f là liên tục trên S nếu nĩ liên tục tại mọi điểm của S.
1.3 Cho S1, S2, T là các tập con trong các khơng gian IRm1, IRm2, IRn tương ứng. f là hàm từ S1 vào S2 và g là hàm từ S2 vào T. Định nghĩa hàm h từ S1 vào ứng. f là hàm từ S1 vào S2 và g là hàm từ S2 vào T. Định nghĩa hàm h từ S1 vào T như sau:
h(x) = g(f(x)) với mọi điểm x ∈ S1 ta cĩ:
• Nếu f liên tục tại x ∈ S1 và g liên tục tại f(x) ∈S2 thì h liên tục tại x.
1.4 Cho Y là tập con của T, f là hàm từ S vào T. Tập hợp các điểm x ∈ S mà ảnh của chúng nằm trong Y (f(x) ∈ Y) gọi là nghịch ảnh của Y. Ký hiệu là f- mà ảnh của chúng nằm trong Y (f(x) ∈ Y) gọi là nghịch ảnh của Y. Ký hiệu là f- 1(Y).
1.5 Một hàm f từ S vào T là liên tục nếu và chỉ nếu nghịch ảnh của mọi tập đĩng trong T là tập đĩng trong S. tập đĩng trong T là tập đĩng trong S.
1.6 Một tập con S ⊆IRm được gọi là compact nếu nĩ đĩng và giới nội.
1.7 • Cho hai tập S ⊆ IRm , T ⊆ IRn tập hợp của tất cả các véctơ cĩ dạng (x, y) với x ∈ S, y ∈ T gọi là tập tích của S và T. Ký hiệu: S X T dạng (x, y) với x ∈ S, y ∈ T gọi là tập tích của S và T. Ký hiệu: S X T
• Tương tự cho Si là các tập con của IRm i = 1,n. Tập S = là tập hợp của tất cả các phần tử cĩ dạng x = (x1, x2, …, xn) ∀xi∈ Si i = 1,n. (S là tập con của IRm1+...+mn).
1.8 Cho f là hàm từ S vào T. Nếu f liên tục trên S và nếu S là compact thì f(S) là tập compact (f(S) là tập mọi điểm f(x) với x ∈ S). thì f(S) là tập compact (f(S) là tập mọi điểm f(x) với x ∈ S).
1.9 Cho f là hàm từ S vào IR. Nếu f là liên tục trên S và nếu S là compact, khơng rỗng thì tập f(S) cĩ giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. compact, khơng rỗng thì tập f(S) cĩ giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
1.10 Nếu S1, S2,…, Sn là các tập con đĩng (compact) tương ứng của IR , …, IR thì tập S = cũng là đĩng (compact). …, IR thì tập S = cũng là đĩng (compact). 1 m n m ∏ = n 1 i i S